Aplicaciones de las integrales en geometría

En el mundo del cálculo, las integrales juegan un papel vital en varias aplicaciones, especialmente en el campo de la geometría. El aspecto sorprendente de las integrales es su capacidad para calcular el tamaño de varias formas geométricas, el área bajo curvas, el volumen de objetos complejos, y mucho más. A un nivel fundamental, las integrales pueden considerarse como una herramienta para sumar partes infinitamente pequeñas para encontrar un todo. Vamos a aprender cómo se utilizan las integrales con fines geométricos.

1. Área bajo la curva

Una de las aplicaciones más básicas de las integrales es encontrar el área entre una curva y el eje x. Considere una función continua f(x) representada como una curva en un gráfico. El área debajo de esta curva y arriba del eje x desde los puntos a a b se puede calcular usando la integral definida:

Área = ∫ desde a hasta b de f(x) dx

Por ejemplo, calculemos el área bajo la curva f(x) = x^2 desde x = 0 hasta x = 1 Se verá algo así:

Área = ∫ desde 0 hasta 1 de x^2 dx = [x^3/3] desde 0 hasta 1 = (1^3/3) - (0^3/3) = 1/3

2. Entre dos curvas

Las integrales también pueden encontrar el área entre dos curvas. Si tiene dos funciones, f(x) y g(x), donde f(x) ≥ g(x) en el intervalo [a, b], entonces el área entre las dos curvas se da por:

Área = ∫ desde a hasta b de (f(x) - g(x)) dx

Supongamos que queremos encontrar el área entre f(x) = x^2 y g(x) = x desde x = 0 hasta x = 1 La integral se convierte en:

Área = ∫ desde 0 hasta 1 de (x - x^2) dx = [(x^2/2 - x^3/3)] desde 0 hasta 1 = (1/2 - 1/3) - (0) = 1/6

3. Volumen de sólidos de revolución

Las integrales también se utilizan para determinar el volumen de objetos que se forman al rotar curvas alrededor de una línea (o eje). Este proceso se llama sólido de revolución. Para calcular el volumen, hay dos métodos principales que son el método del disco y el método del cascarón.

3.1 Método del disco

El método del disco es aplicable cuando el sólido se modela rotando una esfera alrededor del eje x o y. Para el eje x, donde f(x) es la función que se está rotando, el volumen V se calcula como:

V = π ∫ desde a hasta b de [f(x)]^2 dx

Considere la función f(x) = sqrt(x) rotada sobre el eje x desde x = 0 hasta x = 1 El volumen es:

V = π ∫ desde 0 hasta 1 de (sqrt(x))^2 dx = π ∫ desde 0 hasta 1 de (x) dx = π [x^2/2] desde 0 hasta 1 = π/2

3.2 Método del cascarón

El método del cascarón rota una región alrededor de un eje (generalmente el eje y). Si consideramos una función f(x) rotada alrededor del eje y, el volumen es:

V = 2π ∫ desde a hasta b de x * f(x) dx

Ejemplo: Dada f(x) = x^3, calculamos el volumen cuando esta curva se rota alrededor del eje y desde x = 0 hasta x = 1:

V = 2π ∫ desde 0 hasta 1 de x * x^3 dx = 2π ∫ desde 0 hasta 1 de x^4 dx = 2π [x^5/5] desde 0 hasta 1 = 2π/5

4. Longitud del arco

Medir la longitud de una curva es otra aplicación geométrica de la integración. Para la curva y = f(x) desde x = a hasta x = b, la longitud L se da por:

L = ∫ desde a hasta b de √[1 + (f'(x))^2] dx

Como ejemplo, encontremos la longitud del arco de la curva f(x) = x^2 desde x = 0 hasta x = 1:

f'(x) = 2x L = ∫ desde 0 hasta 1 de √[1 + (2x)^2] dx = ∫ desde 0 hasta 1 de √[1 + 4x^2] dx

Nota: Esta integral en particular puede no tener una solución en forma cerrada simple, y los métodos numéricos pueden usarse para calcular un valor aproximado.

5. Área de superficie de sólidos de revolución

Calcular el área de la superficie para sólidos de revolución ayuda a determinar cuánta cantidad de material se necesita para crear una estructura física. Para una función f(x) que gira alrededor del eje x, el área de superficie A se calcula como:

A = 2π ∫ desde a hasta b de f(x) √[1 + (f'(x))^2] dx

Rote f(x) = x^2 alrededor del eje x desde x = 0 hasta x = 1 Encuentre el área de la superficie:

f'(x) = 2x A = 2π ∫ desde 0 hasta 1 de x^2 √[1 + (2x)^2] dx = 2π ∫ desde 0 hasta 1 de x^2 √[1 + 4x^2] dx

Al igual que con la longitud del arco, resolver esta integral puede requerir aproximaciones numéricas.

6. Centroide y centro de masa

En geometría, el centroide es el centro de masa de un objeto geométrico con densidad uniforme. Para un plano con una función de densidad ρ(x, y), las coordenadas (x̄, ȳ) se pueden encontrar utilizando:

x̄ = (1/M) * ∬ x ρ(x, y) dA ȳ = (1/M) * ∬ y ρ(x, y) dA

donde M es la masa total, que se encuentra usando lo siguiente:

M = ∬ ρ(x, y) dA

Aunque las integrales anteriores son en dos dimensiones, en ejercicios prácticos, especialmente en el nivel de Clase 12, a menudo se da énfasis a la densidad uniforme, y los centroides geométricos se simplifican.

Si consideramos un semicírculo de radio 1, el centroide puede simplificarse y observarse la simetría del eje x con integrales evaluadas para formas simples.

Conclusión

Las integrales son una herramienta versátil y poderosa en el campo del cálculo que nos permite resolver una amplia variedad de problemas relacionados con la geometría. Ya sea calculando el área entre curvas, determinando el volumen y el área de superficie de sólidos, encontrando la longitud de curvas o identificando centroides, las integrales proporcionan la base matemática necesaria para entender y resolver estos fascinantes problemas. Más allá de estas simples ilustraciones, las integrales forman el pilar de muchas aplicaciones avanzadas en física, ingeniería y más allá.

Comentarios