Класс 12
  1. Введение в алгебру  1.1. Матрицы  1.1.1. Определение и типы матриц  1.1.2. Операции с матрицами  1.1.3. Транспонирование матрицы  1.1.4. Определители и их свойства  1.1.5. Обратная матрица  1.1.6. Решение линейных уравнений с помощью матриц  1.1.7. Применение матриц  1.2. Комплексные числа  1.2.1. Определение и представление комплексных чисел  1.2.2. Понимание алгебры комплексных чисел  1.2.3. Модуль и аргумент комплексных чисел  1.2.4. Введение в комплексные числа  1.2.5. Теорема Муавра  1.2.6. Корни комплексных чисел  1.2.7. Приложения в геометрии  1.3. Векторы и 3D геометрия  1.3.1. Векторная алгебра  1.3.2. Скалярное и векторное произведения  1.3.3. Уравнение прямой в пространстве  1.3.4. Уравнение плоскости в векторах и 3D геометрии  1.3.5. Расстояние между линиями и плоскостями  1.3.6. Угол между прямыми и плоскостями
  2. Вычисления  2.1. Пределы и непрерывность  2.1.1. Понятие границ  2.1.2. Продолжение работ  2.1.3. Виды разрывов  2.1.4. Понимание ограничений левой и правой руки  2.2. Дискриминация  2.2.1. Производная как скорость изменения  2.2.2. Техники дифференцирования  2.2.3. Производные высших порядков  2.2.4. Применение производных  2.2.5. Касательная и нормаль  2.2.6. Возрастательные и убывающие функции  2.3. Интеграция  2.3.1. Неопределенный интеграл  2.3.2. Опрелеленный интеграл  2.3.3. Техники интеграции  2.3.4. Понимание площади под кривой в интегрировании  2.3.5. Применение интегралов в геометрии  2.4. Дифференциальные уравнения  2.4.1. Формирование дифференциальных уравнений  2.4.2. Порядок и степень дифференциальных уравнений  2.4.3. Решения дифференциальных уравнений  2.4.4. Применение дифференциальных уравнений  2.4.5. Введение в линейные дифференциальные уравнения первого порядка
  3. Вероятность и статистика  3.1. Понимание вероятности  3.1.1. Понимание условной вероятности  3.1.2. Теорема Байеса  3.1.3. Понимание случайных величин в теории вероятностей и статистике  3.1.4. Распределения вероятностей  3.1.5. Биномиальное и нормальное распределение  3.2. Фигуры  3.2.1. Среднее и стандартное отклонение  3.2.2. Дисперсия и ковариация  3.2.3. Корреляция и регрессия  3.2.4. Понимание проверки гипотез в статистике
  4. Линейное программирование  4.1. Графический метод в линейном программировании  4.1.1. Понимание допустимых и недопустимых областей в линейном программировании  4.1.2. Оптимальное решение в графическом методе линейного программирования  4.1.3. Анализ чувствительности в графическом методе  4.2. Метод симплекс  4.2.1. Формулировка задач в методе симплекс  4.2.2. Решение задач линейного программирования с использованием метода симплекс  4.2.3. Метод двойственного симплекса
  5. Отношения и функции  5.1. Типы отношений  5.1.1. Рефлексивное отношение  5.1.2. Симметричные отношения  5.1.3. Понимание транзитивных отношений  5.1.4. Отношение эквивалентности  5.2. Типы задач  5.2.1. Отображение на  5.2.2. Функция взаимно однозначного соответствия  5.2.3. Обратная функция  5.2.4. Совместная работа  5.3. Обратные тригонометрические функции  5.3.1. Основные значения в обратных тригонометрических функциях  5.3.2. Свойства и графики обратных тригонометрических функций  5.3.3. Применения в анализе
  6. Продвинутая тригонометрия  6.1. Введение в тригонометрические уравнения  6.1.1. Общие решения уравнений в тригонометрических уравнениях  6.1.2. Формула преобразования  6.2. Гиперболические функции  6.2.1. Определения и свойства гиперболических функций  6.2.2. Связь между гиперболическими и тригонометрическими функциями
  7. Арифметическая логика  7.1. Логическое мышление  7.1.1. Утверждения и логические связки  7.1.2. Тавтология и противоречие  7.2. Доказательство  7.2.1. Прямое доказательство  7.2.2. Непрямые доказательства  7.2.3. Доказательство от противного  7.2.4. Доказательство методом математической индукции
  8. Применение математики  8.1. Применения исчисления  8.1.1. Проблемы максимума и минимума  8.1.2. Приложения экономики и биологии  8.1.3. Скорость изменения в физике  8.2. Применение вероятности  8.2.1. Анализ риска  8.2.2. Принятие решений в приложениях вероятности  8.2.3. Теория игр

Класс 12 → Введение в алгебру → Векторы и 3D геометрия ↓


Расстояние между линиями и плоскостями


В трехмерной геометрии понимание концепции расстояния между линиями и плоскостями необходимо для решения различных математических и практических задач. Эта тема включает в себя расчет кратчайшего пути между элементами, такими как линия и плоскость, что является основным понятием в векторной и планарной геометрии.

Расстояние между точкой и плоскостью

Первое базовое понятие, которое нам нужно понять, — это расстояние между точкой и плоскостью. Рассмотрим плоскость, определяемую уравнением:

Ax + By + Cz + D = 0

и точку P(x₁, y₁, z₁). Формула для расчета расстояния d от точки P до плоскости задается следующим образом:

d = |Ax₁ + By₁ + Cz₁ + D| / sqrt(A² + B² + C²)
Пример:

Дана плоскость 2x + 3y - 4z + 5 = 0 и точка P(1, -2, 2), найдем расстояние между ними. Применяя формулу:

d = |2(1) + 3(-2) - 4(2) + 5| / sqrt(2² + 3² + (-4)²)
d = |2 - 6 - 8 + 5| / sqrt(4 + 9 + 16)
d = |-7| / sqrt(29)
d = 7 / sqrt(29)

Расстояние между линией и плоскостью

Для определения расстояния между линией и плоскостью важно установить их положение в пространстве. Допустим, у нас есть линия, представленная параметрически:

x = x₀ + at y = y₀ + bt z = z₀ + ct

Здесь (x₀, y₀, z₀) — это точка на линии, а (a, b, c) обозначает направляющие косинусы линии. Рассмотрим плоскость с уравнением:

Ax + By + Cz + D = 0

Линия параллельна плоскости, если скалярное произведение вектора направления (a, b, c) линии и нормального вектора (A, B, C) плоскости равно нулю:

aA + bB + cC = 0

Если линии не параллельны плоскости, они могут пересекаться, и потенциальное расстояние равно нулю.

Пример:

Предположим, у нас есть линия с параметрическим уравнением:

x = 2 + 3t y = -1 + 4t z = 5t

И плоскость:

3x - y + 2z - 6 = 0

Сначала мы находим направляющий вектор линии (3, 4, 5) и нормальный вектор плоскости (3, -1, 2). Скалярное произведение:

3(3) + 4(-1) + 5(2) = 9 - 4 + 10 = 15

Поскольку скалярное произведение не равно нулю, линия и плоскость пересекаются, то есть расстояние равно нулю.

Расстояние между параллельной линией и плоскостью

Если линия параллельна плоскости, то минимальное расстояние между ними измеряется по перпендикуляру, проведенному из линии на плоскость. С учетом того, что направляющий вектор линии — (a, b, c), а плоскость представлена уравнением Ax + By + Cz + D = 0, расстояние d рассчитывается следующим образом:

d = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / sqrt(A² + B² + C²)

Важно отметить, что точка (x₀, y₀, z₀) может быть любой точкой на линии.

Пример:

Предположим, у нас есть линия:

x = -1 + ty = 2 + 2t z = 3

И плоскость:

4x - 2y + 5z + 1 = 0

Узнаем, параллельна ли линия плоскости:

Вектор направления линии — (1, 2, 0), а нормальный вектор плоскости — (4, -2, 5).

Скалярное произведение: 4(1) - 2(2) + 5(0) = 4 - 4 + 0 = 0

Поскольку скалярное произведение равно нулю, линия параллельна плоскости.

Используя (x₀, y₀, z₀) = (-1, 2, 3), расстояние до плоскости рассчитывается так:

d = |4(-1) - 2(2) + 5(3) + 1| / sqrt(4² + (-2)² + 5²)
d = |-4 - 4 + 15 + 1| / sqrt(16 + 4 + 25)
d = 8 / sqrt(45)
Упрощенно, d = 8 / 3sqrt(5)

Пример визуализации расчета расстояния

плоскость Линия Кратчайшее расстояние

На приведенной выше визуализации черная линия представляет линию в 3D-пространстве, а синий прямоугольник представляет плоскость. Красная пунктирная линия представляет кратчайшее расстояние, перпендикулярное обоим, показывая, как ортогональные проекции определяют минимальное расстояние.

Заключение

Необходимо использовать векторную алгебру и геометрические принципы для понимания концепций расстояния между линиями и плоскостями. При расчете расстояний определение того, являются ли линии параллельными, пересекающимися или не пересекающимися, имеет решающее значение для применения правильных формул. Освоив эти концепции, можно эффективно решать сложные задачи в 3D-пространстве, что может быть полезно в различных областях, включая физику, инженерное дело и компьютерную графику.


Класс 12 → 1.3.5


U
username
0%
завершено в Класс 12

← предыдущая (1.3.4)
Уравнение плоскости в векторах и 3D геометрии
следующая (1.3.6) →
Угол между прямыми и плоскостями

комментарии 



Расстояние между линиями и плоскостями

https://www.buddymath.com/g12/1.3.5?bmal=ru