12º ano
  1. Introdução à Álgebra  1.1. Matrizes  1.1.1. Definição e tipos de matrizes  1.1.2. Operações em matrizes  1.1.3. Transposição de uma matriz  1.1.4. Determinantes e suas propriedades  1.1.5. Inverso de uma matriz  1.1.6. Resolvendo equações lineares usando matrizes  1.1.7. Aplicações de matrizes  1.2. Números complexos  1.2.1. Definição e representação de números complexos  1.2.2. Compreendendo a álgebra dos números complexos  1.2.3. Módulo e argumento de números complexos  1.2.4. Introdução aos números complexos  1.2.5. Teorema de De Moivre  1.2.6. Raízes de números complexos  1.2.7. Aplicações em geometria  1.3. Vetores e geometria 3D  1.3.1. Álgebra vetorial  1.3.2. Produto escalar e vetorial  1.3.3. Equação de uma linha no espaço  1.3.4. Equação de um plano em vetores e geometria 3D  1.3.5. Distância entre retas e planos  1.3.6. Ângulo entre linhas e planos
  2. Cálculos  2.1. Limites e continuidade  2.1.1. O conceito de limites  2.1.2. Continuação das obras  2.1.3. Tipos de descontinuidade  2.1.4. Compreendendo as limitações da mão esquerda e da mão direita  2.2. Discriminação  2.2.1. Derivado como taxa de variação  2.2.2. Técnicas de diferenciação  2.2.3. Derivadas de ordem superior  2.2.4. Aplicações de derivadas  2.2.5. Tangente e normal  2.2.6. Funções crescentes e decrescentes  2.3. Integração  2.3.1. Integral indefinida  2.3.2. Integral definida  2.3.3. Técnicas de integração  2.3.4. Compreendendo a área sob a curva na integração  2.3.5. Aplicações de integrais em geometria  2.4. Equações Diferenciais  2.4.1. Formação de equações diferenciais  2.4.2. Ordem e grau de equações diferenciais  2.4.3. Soluções de equações diferenciais  2.4.4. Aplicações de equações diferenciais  2.4.5. Introdução às equações diferenciais lineares de primeira ordem
  3. Probabilidade e estatística  3.1. Compreendendo a Probabilidade  3.1.1. Compreendendo a probabilidade condicional  3.1.2. Teorema de Bayes  3.1.3. Compreendendo variáveis aleatórias em probabilidade e estatística  3.1.4. Distribuições de probabilidade  3.1.5. Distribuição binomial e normal  3.2. Figuras  3.2.1. Média e desvio padrão  3.2.2. Variância e covariância  3.2.3. Correlação e regressão  3.2.4. Compreendendo o teste de hipóteses em estatística
  4. Programação linear  4.1. Método gráfico em programação linear  4.1.1. Compreendendo regiões viáveis e inviáveis em programação linear  4.1.2. Solução ótima no método gráfico de programação linear  4.1.3. Análise de sensibilidade no método gráfico  4.2. Método Simplex  4.2.1. Formulação de problemas no método simplex  4.2.2. Resolvendo problemas de programação linear usando o método simplex  4.2.3. Método dual do simplex
  5. Relações e funções  5.1. Tipos de relações  5.1.1. Relação reflexiva  5.1.2. Relações simétricas  5.1.3. Compreendendo relações transitivas  5.1.4. Relação de equivalência  5.2. Tipos de tarefas  5.2.1. Função sobrejetora  5.2.2. Função um-para-um  5.2.3. Função inversa  5.2.4. Trabalho conjunto  5.3. Funções trigonométricas inversas  5.3.1. Valores principais em funções trigonométricas inversas  5.3.2. Propriedades e gráficos das funções trigonométricas inversas  5.3.3. Aplicações em cálculo
  6. Trigonometria avançada  6.1. Introdução às equações trigonométricas  6.1.1. Soluções gerais de equações em equações trigonométricas  6.1.2. Fórmula de transformação  6.2. Funções hiperbólicas  6.2.1. Definições e propriedades das funções hiperbólicas  6.2.2. Relação entre funções hiperbólicas e trigonométricas
  7. Lógica aritmética  7.1. Raciocínio lógico  7.1.1. Declarações e conectivos lógicos  7.1.2. Tautologia e contradição  7.2. Evidência  7.2.1. Evidência direta  7.2.2. Evidência indireta  7.2.3. Prova por contradição  7.2.4. Prova por indução matemática
  8. Aplicações da Matemática  8.1. Aplicações do cálculo  8.1.1. Problemas de máximo e mínimo  8.1.2. Aplicações de economia e biologia  8.1.3. Taxa de variação na física  8.2. Aplicações de Probabilidade  8.2.1. Análise de risco  8.2.2. Tomada de decisão em aplicações de probabilidade  8.2.3. Teoria dos jogos

12º ano → Introdução à Álgebra → Vetores e geometria 3D ↓


Distância entre retas e planos


Na geometria tridimensional, entender o conceito de distância entre retas e planos é essencial para resolver vários problemas matemáticos e do mundo real. Este tópico envolve o cálculo do caminho mais curto entre elementos como uma reta e um plano, que é um conceito fundamental na geometria vetorial e plana.

Distância entre um ponto e um plano

O primeiro conceito básico que precisamos entender é a distância entre um ponto e um plano. Considere um plano definido pela equação:

Ax + By + Cz + D = 0

e um ponto P(x₁, y₁, z₁). A fórmula para calcular a distância d do ponto P ao plano é dada por:

d = |Ax₁ + By₁ + Cz₁ + D| / sqrt(A² + B² + C²)
Exemplo:

Dado um plano 2x + 3y - 4z + 5 = 0 e um ponto P(1, -2, 2), vamos encontrar a distância entre eles. Aplicando a fórmula:

d = |2(1) + 3(-2) - 4(2) + 5| / sqrt(2² + 3² + (-4)²)
d = |2 - 6 - 8 + 5| / sqrt(4 + 9 + 16)
d = |-7| / sqrt(29)
d = 7 / sqrt(29)

Distância entre uma reta e um plano

Para encontrar a distância entre uma reta e um plano, é importante estabelecer sua posição no espaço. Digamos que temos uma reta representada parametricamente:

x = x₀ + at y = y₀ + bt z = z₀ + ct

Aqui, (x₀, y₀, z₀) é um ponto da reta e (a, b, c) denota a razão de direção da reta. Considere o plano com a equação:

Ax + By + Cz + D = 0

A reta é paralela ao plano se o produto escalar do vetor de direção (a, b, c) da reta e o vetor normal (A, B, C) do plano for zero:

aA + bB + cC = 0

Se as retas não são paralelas ao plano, elas podem se interceptar, e a distância possível é zero.

Exemplo:

Suponha que temos uma reta com uma equação paramétrica:

x = 2 + 3t y = -1 + 4t z = 5t

E um plano:

3x - y + 2z - 6 = 0

Primeiro, encontramos o vetor de direção da reta (3, 4, 5) e o vetor normal do plano (3, -1, 2). O produto escalar é:

3(3) + 4(-1) + 5(2) = 9 - 4 + 10 = 15

Como o produto escalar não é zero, a reta e o plano se interceptam, ou seja, a distância é zero.

Distância entre linha paralela e plano

Se uma reta é paralela a um plano, então a distância mínima entre eles é medida ao longo do perpendicular traçado da reta ao plano. Dado que o vetor de direção da reta é (a, b, c) e o plano é representado por Ax + By + Cz + D = 0, a distância d é calculada da seguinte maneira:

d = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / sqrt(A² + B² + C²)

É importante notar que o ponto (x₀, y₀, z₀) pode ser qualquer ponto na reta.

Exemplo:

Suponha que temos uma reta:

x = -1 + ty = 2 + 2t z = 3

E um plano:

4x - 2y + 5z + 1 = 0

Descubra se a reta é paralela ao plano:

O vetor de direção da reta é (1, 2, 0) e o vetor normal do plano é (4, -2, 5).

Produto escalar: 4(1) - 2(2) + 5(0) = 4 - 4 + 0 = 0

Como o produto escalar é igual a zero, a reta é paralela ao plano.

Usando (x₀, y₀, z₀) = (-1, 2, 3), a distância para o plano é calculada como:

d = |4(-1) - 2(2) + 5(3) + 1| / sqrt(4² + (-2)² + 5²)
d = |-4 - 4 + 15 + 1| / sqrt(16 + 4 + 25)
d = 8 / sqrt(45)
Simplificado, d = 8 / 3sqrt(5)

Exemplo de visualização de cálculo de distância

plano Reta A menor distância

Na visualização acima, a linha preta representa a reta no espaço 3D e o retângulo azul representa o plano. A linha vermelha tracejada representa a menor distância, que é perpendicular a ambos, mostrando como as projeções ortogonais determinam a distância mínima.

Conclusão

É necessário utilizar álgebra vetorial e princípios geométricos para entender os conceitos de distância entre retas e planos. Ao calcular distâncias, determinar se as retas são paralelas, se intersectam ou são reversas é crucial para aplicar as fórmulas corretas. Ao dominar esses conceitos, é possível resolver eficientemente problemas complexos no espaço 3D, que podem ser usados em diversos campos, como física, engenharia e computação gráfica.


12º ano → 1.3.5


U
username
0%
concluído em 12º ano

← Anterior (1.3.4)
Equação de um plano em vetores e geometria 3D
Próximo (1.3.6) →
Ângulo entre linhas e planos

Comentários 



Distância entre retas e planos

https://www.buddymath.com/g12/1.3.5?bmal=pt