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直線と平面の距離
三次元幾何学において、直線と平面の間の距離の概念を理解することは、さまざまな数学的および現実世界の問題を解決するために不可欠です。このトピックは、ベクトルと平面幾何学における基本的な概念である直線と平面などの要素間の最短経路を計算することを含みます。
点と平面の間の距離
まず理解すべき基本的な概念は、点と平面の間の距離です。次の式で定義される平面を考えてみます：
Ax + By + Cz + D = 0そして、点P(x₁, y₁, z₁)。点Pから平面までの距離dを計算する式は次のとおりです：
d = |Ax₁ + By₁ + Cz₁ + D| / sqrt(A² + B² + C²)平面2x + 3y - 4z + 5 = 0と点P(1, -2, 2)が与えられた場合、それらの距離を求めます。式を適用すると：
d = |2(1) + 3(-2) - 4(2) + 5| / sqrt(2² + 3² + (-4)²)
d = |2 - 6 - 8 + 5| / sqrt(4 + 9 + 16)
d = |-7| / sqrt(29)
d = 7 / sqrt(29)
直線と平面の間の距離
直線と平面の間の距離を求めるには、それらの空間における位置を確立することが重要です。次のようにパラメトリックに表される直線があるとしましょう：
x = x₀ + at y = y₀ + bt z = z₀ + ctここで、(x₀, y₀, z₀)は直線上の点であり、(a, b, c)は直線の方向比を示します。次の式で表される平面を考えます：
Ax + By + Cz + D = 0直線が平面と平行している場合、直線の方向ベクトル(a, b, c)と平面の法線ベクトル(A, B, C)の内積がゼロになります：
aA + bB + cC = 0もし直線が平面と平行でない場合、それらは交差する可能性があり、距離はゼロになります。
次のようなパラメトリック方程式の直線を考えてみます：
x = 2 + 3t y = -1 + 4t z = 5tそして平面：
3x - y + 2z - 6 = 0まず、直線の方向ベクトル(3, 4, 5)と平面の法線ベクトル(3, -1, 2)を求めます。内積は：
3(3) + 4(-1) + 5(2) = 9 - 4 + 10 = 15
内積がゼロでないため、直線と平面は交差し、距離はゼロです。
平行な直線と平面の間の距離
直線が平面と平行している場合、それらの間の最小距離は直線から平面に垂直に引かれた線に沿って測定されます。直線の方向ベクトルが(a, b, c)であり、平面がAx + By + Cz + D = 0と表される場合、距離dは次のように計算されます：
d = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / sqrt(A² + B² + C²)点(x₀, y₀, z₀)は直線上の任意の点であることに注意してください。
次のような直線があるとします：
x = -1 + ty = 2 + 2t z = 3そして平面：
4x - 2y + 5z + 1 = 0直線が平面と平行かどうかを調べます：
直線の方向ベクトルは(1, 2, 0)であり、平面の法線ベクトルは(4, -2, 5)です。
内積：4(1) - 2(2) + 5(0) = 4 - 4 + 0 = 0
内積がゼロであるため、直線は平面と平行しています。
(x₀, y₀, z₀) = (-1, 2, 3)を使用して、平面からの距離を次のように計算します：
d = |4(-1) - 2(2) + 5(3) + 1| / sqrt(4² + (-2)² + 5²)
d = |-4 - 4 + 15 + 1| / sqrt(16 + 4 + 25)
d = 8 / sqrt(45)
簡約して、d = 8 / 3sqrt(5)
距離計算の視覚化例
上の図では、黒い線が3D空間の直線を表し、青い長方形が平面を表しています。赤い破線は最短距離を表しており、垂直投影がどのように最小距離を決定するかを示しています。
結論
ベクトル代数と幾何学的原理を活用して、直線と平面の間の距離の概念を理解することが必要です。距離を計算する際には、直線が平行であるか、交差しているか、または斜交しているかを判断することが、適切な式を適用するために重要です。これらの概念をマスターすることにより、物理学、工学、コンピュータグラフィックスを含むさまざまな分野で使用される3D空間での複雑な問題を効率的に解決することができます。
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