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रेखाओं और विमानों के बीच की दूरी
त्रि-आयामी ज्यामिति में, रेखाओं और विमानों के बीच दूरी की अवधारणा को समझना विभिन्न गणितीय और वास्तविक-world समस्याओं को हल करने के लिए आवश्यक है। इस विषय में रेखा और विमान जैसे तत्वों के बीच सबसे छोटी दूरी की गणना करना शामिल है, जो कि वेक्टर और विमान ज्यामिति का एक मौलिक अवधारणा है।
बिंदु और विमान के बीच की दूरी
पहली आधारभूत अवधारणा जिसे हमें समझने की आवश्यकता है, वह बिंदु और विमान के बीच की दूरी है। एक विमान को इस समीकरण द्वारा परिभाषित किया जाता है:
Ax + By + Cz + D = 0और एक बिंदु P(x₁, y₁, z₁)। बिंदु P से विमान तक की दूरी d की गणना करने का सूत्र निम्नलिखित है:
d = |Ax₁ + By₁ + Cz₁ + D| / sqrt(A² + B² + C²)दिया गया विमान 2x + 3y - 4z + 5 = 0 और एक बिंदु P(1, -2, 2), इन दोनों के बीच की दूरी खोजें। सूत्र लागू करके:
d = |2(1) + 3(-2) - 4(2) + 5| / sqrt(2² + 3² + (-4)²)
d = |2 - 6 - 8 + 5| / sqrt(4 + 9 + 16)
d = |-7| / sqrt(29)
d = 7 / sqrt(29)
रेखा और विमान के बीच की दूरी
रेखा और विमान के बीच की दूरी खोजने के लिए, उनके स्थान की स्थापना करना महत्वपूर्ण है। मान लीजिए हमारे पास एक रेखा है जो इस प्रकार प्रदर्शित की गई है:
x = x₀ + at y = y₀ + bt z = z₀ + ctयहां, (x₀, y₀, z₀) रेखा का एक बिंदु है और (a, b, c) रेखा का दिशा अनुपात दर्शाता है। उस विमान पर विचार करें जिसकी समीकरण है:
Ax + By + Cz + D = 0रेखा विमान के समानांतर होती है यदि दिशा वेक्टर (a, b, c) और विमान के सामान्य वेक्टर (A, B, C) का डॉट उत्पाद शून्य होता है:
aA + bB + cC = 0यदि रेखा विमान के समानांतर नहीं होती, तो वे प्रतिच्छेद कर सकती हैं और संभावित दूरी शून्य होती है।
मान लीजिए हमारे पास एक रेखा है जिसका परमेट्रिक समीकरण है:
x = 2 + 3t y = -1 + 4t z = 5tऔर एक विमान:
3x - y + 2z - 6 = 0पहले, हम रेखा के दिशा वेक्टर (3, 4, 5) और विमान के सामान्य वेक्टर (3, -1, 2) का डॉट उत्पाद निकालते हैं:
3(3) + 4(-1) + 5(2) = 9 - 4 + 10 = 15
क्योंकि डॉट उत्पाद शून्य नहीं है, रेखा और विमान प्रतिच्छेद करते हैं, यानी दूरी शून्य है।
समानांतर रेखा और विमान के बीच की दूरी
यदि एक रेखा विमान के समानांतर है, तो उनके बीच न्यूनतम दूरी रेखा से विमान तक खींचे गए लंब के साथ मापी जाती है। मान लेते हैं कि रेखा का दिशा वेक्टर (a, b, c) है और विमान को Ax + By + Cz + D = 0 द्वारा प्रदर्शित किया जाता है, तो दूरी d इस प्रकार गणना की जाती है:
d = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / sqrt(A² + B² + C²)यह महत्वपूर्ण है कि बिंदु (x₀, y₀, z₀) रेखा पर कोई भी बिंदु हो सकता है।
मान लें हमारे पास एक रेखा है:
x = -1 + ty = 2 + 2t z = 3और एक विमान:
4x - 2y + 5z + 1 = 0जांचें कि रेखा विमान के समानांतर है या नहीं:
रेखा का दिशा वेक्टर (1, 2, 0) और विमान का सामान्य वेक्टर (4, -2, 5) है।
डॉट उत्पाद: 4(1) - 2(2) + 5(0) = 4 - 4 + 0 = 0
चूंकि डॉट उत्पाद शून्य के बराबर है, रेखा विमान के समानांतर है।
(x₀, y₀, z₀) = (-1, 2, 3) का उपयोग कर, विमान से दूरी गणना की जाती है:
d = |4(-1) - 2(2) + 5(3) + 1| / sqrt(4² + (-2)² + 5²)
d = |-4 - 4 + 15 + 1| / sqrt(16 + 4 + 25)
d = 8 / sqrt(45)
सरल रूप में, d = 8 / 3sqrt(5)
दूरी की गणना का दृश्य उदाहरण
ऊपर के दृश्य में, काला रेखा 3D अंतरिक्ष में रेखा का प्रतिनिधित्व करता है और नीला आयत विमान का। लाल डैश्ड रेखा सबसे छोटी दूरी का प्रतिनिधित्व करती है, जो दोनों के लिए लंबवत होती है, दिखाती है कि कैसे लंबवर्ग प्रक्षेपण न्यूनतम दूरी निर्धारित करते हैं।
निष्कर्ष
रेखाओं और विमानों के बीच की दूरी की अवधारणाओं को समझने के लिए वेक्टर बीजगणित और ज्यामितीय सिद्धांतों का उपयोग करना आवश्यक है। दूरी की गणना करते समय, यह निर्धारित करना अनिवार्य है कि रेखाएं समानांतर हैं, प्रतिच्छेद करती हैं, या तिरछी होती हैं ताकि सही सूत्र लागू किया जा सके। इन अवधारणाओं में महारत हासिल करके, कोई जटिल समस्याओं को 3D अंतरिक्ष में कुशलतापूर्वक हल कर सकता है, जिनका उपयोग विभिन्न क्षेत्रों में किया जा सकता है, जैसे कि भौतिकी, इंजीनियरिंग, और कंप्यूटर ग्राफिक्स।
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