12º ano
  1. Introdução à Álgebra  1.1. Matrizes  1.1.1. Definição e tipos de matrizes  1.1.2. Operações em matrizes  1.1.3. Transposição de uma matriz  1.1.4. Determinantes e suas propriedades  1.1.5. Inverso de uma matriz  1.1.6. Resolvendo equações lineares usando matrizes  1.1.7. Aplicações de matrizes  1.2. Números complexos  1.2.1. Definição e representação de números complexos  1.2.2. Compreendendo a álgebra dos números complexos  1.2.3. Módulo e argumento de números complexos  1.2.4. Introdução aos números complexos  1.2.5. Teorema de De Moivre  1.2.6. Raízes de números complexos  1.2.7. Aplicações em geometria  1.3. Vetores e geometria 3D  1.3.1. Álgebra vetorial  1.3.2. Produto escalar e vetorial  1.3.3. Equação de uma linha no espaço  1.3.4. Equação de um plano em vetores e geometria 3D  1.3.5. Distância entre retas e planos  1.3.6. Ângulo entre linhas e planos
  2. Cálculos  2.1. Limites e continuidade  2.1.1. O conceito de limites  2.1.2. Continuação das obras  2.1.3. Tipos de descontinuidade  2.1.4. Compreendendo as limitações da mão esquerda e da mão direita  2.2. Discriminação  2.2.1. Derivado como taxa de variação  2.2.2. Técnicas de diferenciação  2.2.3. Derivadas de ordem superior  2.2.4. Aplicações de derivadas  2.2.5. Tangente e normal  2.2.6. Funções crescentes e decrescentes  2.3. Integração  2.3.1. Integral indefinida  2.3.2. Integral definida  2.3.3. Técnicas de integração  2.3.4. Compreendendo a área sob a curva na integração  2.3.5. Aplicações de integrais em geometria  2.4. Equações Diferenciais  2.4.1. Formação de equações diferenciais  2.4.2. Ordem e grau de equações diferenciais  2.4.3. Soluções de equações diferenciais  2.4.4. Aplicações de equações diferenciais  2.4.5. Introdução às equações diferenciais lineares de primeira ordem
  3. Probabilidade e estatística  3.1. Compreendendo a Probabilidade  3.1.1. Compreendendo a probabilidade condicional  3.1.2. Teorema de Bayes  3.1.3. Compreendendo variáveis aleatórias em probabilidade e estatística  3.1.4. Distribuições de probabilidade  3.1.5. Distribuição binomial e normal  3.2. Figuras  3.2.1. Média e desvio padrão  3.2.2. Variância e covariância  3.2.3. Correlação e regressão  3.2.4. Compreendendo o teste de hipóteses em estatística
  4. Programação linear  4.1. Método gráfico em programação linear  4.1.1. Compreendendo regiões viáveis e inviáveis em programação linear  4.1.2. Solução ótima no método gráfico de programação linear  4.1.3. Análise de sensibilidade no método gráfico  4.2. Método Simplex  4.2.1. Formulação de problemas no método simplex  4.2.2. Resolvendo problemas de programação linear usando o método simplex  4.2.3. Método dual do simplex
  5. Relações e funções  5.1. Tipos de relações  5.1.1. Relação reflexiva  5.1.2. Relações simétricas  5.1.3. Compreendendo relações transitivas  5.1.4. Relação de equivalência  5.2. Tipos de tarefas  5.2.1. Função sobrejetora  5.2.2. Função um-para-um  5.2.3. Função inversa  5.2.4. Trabalho conjunto  5.3. Funções trigonométricas inversas  5.3.1. Valores principais em funções trigonométricas inversas  5.3.2. Propriedades e gráficos das funções trigonométricas inversas  5.3.3. Aplicações em cálculo
  6. Trigonometria avançada  6.1. Introdução às equações trigonométricas  6.1.1. Soluções gerais de equações em equações trigonométricas  6.1.2. Fórmula de transformação  6.2. Funções hiperbólicas  6.2.1. Definições e propriedades das funções hiperbólicas  6.2.2. Relação entre funções hiperbólicas e trigonométricas
  7. Lógica aritmética  7.1. Raciocínio lógico  7.1.1. Declarações e conectivos lógicos  7.1.2. Tautologia e contradição  7.2. Evidência  7.2.1. Evidência direta  7.2.2. Evidência indireta  7.2.3. Prova por contradição  7.2.4. Prova por indução matemática
  8. Aplicações da Matemática  8.1. Aplicações do cálculo  8.1.1. Problemas de máximo e mínimo  8.1.2. Aplicações de economia e biologia  8.1.3. Taxa de variação na física  8.2. Aplicações de Probabilidade  8.2.1. Análise de risco  8.2.2. Tomada de decisão em aplicações de probabilidade  8.2.3. Teoria dos jogos

12º ano → Introdução à Álgebra → Vetores e geometria 3D ↓


Álgebra vetorial


Álgebra vetorial é um ramo da matemática que lida com quantidades que têm magnitude e direção. Essas quantidades são chamadas de vetores e são usadas para representar quantidades físicas como força, velocidade e deslocamento. Neste guia abrangente, vamos nos aprofundar nos princípios e operações da álgebra vetorial, que são essenciais para entender vetores e geometria 3D.

O que é um vetor?

Um vetor é uma entidade matemática que possui magnitude e direção, enquanto um escalar possui apenas magnitude. Vetores podem ser representados de várias formas: geometricamente como setas, algebricamente como uma lista ordenada de números ou simbolicamente usando letras.

Representação geométrica

Geometricamente, um vetor é representado por uma seta. O comprimento da seta representa a magnitude, enquanto a ponta da seta representa a direção.

,
|--> este é um vetor
| (do ponto O ao ponto A)
O(0,0) A(3,4)

Aqui, o ponto O é a cauda do vetor e o ponto A é a cabeça do vetor.

Representação algébrica

Algebricamente, um vetor é representado por um tupla (uma lista ordenada de números). Por exemplo:

Seja v = (3, 4) um vetor no espaço 2D.

Aqui, 3 e 4 são as coordenadas no eixo x e y, respectivamente.

Operações básicas com vetores

Soma de vetores

A soma de vetores é o processo de combinar vetores para determinar o vetor resultante. Se você tiver dois vetores a = (a1, a2) e b = (b1, b2), a soma é encontrada somando os componentes correspondentes:

a + b = (a1 + b1, a2 + b2)

Exemplo: Se a = (1, 2) e b = (3, 4), então:

a + b = (1+3, 2+4) = (4, 6)

Subtração de vetores

A subtração de vetores é feita subtraindo os componentes correspondentes de dois vetores. Para os vetores a = (a1, a2) e b = (b1, b2), a diferença é:

a - b = (a1 - b1, a2 - b2)

Exemplo: Se a = (5, 5) e b = (2, 3), então:

a - b = (5-2, 5-3) = (3, 2)

Multiplicação por escalar

A multiplicação por escalar envolve multiplicar um vetor por um escalar (um número real). Se você tiver um vetor a = (a1, a2) e um escalar k, o produto é:

k * a = (k*a1, k*a2)

Exemplo: Se a = (3, 4) e k = 2, então:

k * a = 2 * (3,4) = (2*3, 2*4) = (6, 8)

Representação visual de vetores

Visualizar vetores pode ser muito útil para entender seu comportamento e operações. Vamos representar o conceito de soma de vetores graficamente.

Considere dois vetores a = (1, 2) e b = (3, 1). Sua soma vetorial a + b pode ser visualizada da seguinte forma:

Comece na origem. Desenhe o vetor a = (1, 2).
Selecione a cabeça de a como o novo ponto de partida.
A partir do vértice de a, desenhe o vetor b = (3, 1).
O vetor resultante a + b é o caminho direto do ponto de partida original até o final em b.

Conceitos estendidos de vetores

Produto escalar (produto interno)

O produto escalar de dois vetores resulta em uma quantidade escalar. Para os vetores a = (a1, a2, a3) e b = (b1, b2, b3), o produto escalar é:

a b = a1*b1 + a2*b2 + a3*b3

Exemplo: Se a = (1, 3, 4) e b = (2, 5, 6), então:

a b = 1*2 + 3*5 + 4*6 = 2 + 15 + 24 = 41

Produto vetorial (produto externo)

O produto vetorial de dois vetores resulta em outro vetor que é perpendicular a ambos os vetores originais. É definido apenas no espaço tridimensional. Para os vetores a = (a1, a2, a3) e b = (b1, b2, b3), o produto vetorial é dado por:

a × b = (a2*b3 - a3*b2, a3*b1 - a1*b3, a1*b2 - a2*b1)

Exemplo: Se a = (1, 0, 0) e b = (0, 1, 0), então:

a × b = (0*0 - 0*1, 0*0 - 1*0, 1*1 - 0*0) = (0, 0, 1)

Aplicações da álgebra vetorial na geometria 3D

Vetores são fundamentais na geometria 3D, pois fornecem um meio de descrever linhas, planos e movimentos no espaço.

Equação de uma linha

Uma linha em 3D pode ser representada usando vetores assim:

r = a + t * b

Aqui, r é o vetor de posição de qualquer ponto na linha, a é o vetor de posição de um ponto conhecido na linha, t é um parâmetro escalar e b é um vetor na direção da linha.

Exemplo: Encontre a equação vetorial da linha que passa pelo ponto (1, 2, 3) e é paralela ao vetor (4, 5, 6).

R = (1, 2, 3) + T * (4, 5, 6)

Equação de um plano

Um plano em 3D pode ser dado pela equação vetorial:

r n = d

onde r é o vetor de posição de qualquer ponto no plano, n é o vetor normal perpendicular ao plano e d é uma constante.

Exemplo: Se o vetor normal é (1, -2, 1) e ele passa pelo ponto (2, -3, 5), a equação do plano é:

(x, y, z) · (1, -2, 1) = 1*(2) + (-2)*(-3) + 1*(5) = 2 + 6 + 5 = 13

Portanto, a equação é: x - 2y + z = 13.

Vetores na vida real

A álgebra vetorial não é apenas um conceito teórico; é amplamente aplicada no mundo real. Por exemplo:

  • Pilotar aviões e navios envolve considerar velocidade (magnitude) e direção (ângulo).
  • Na física, forças são representadas como vetores, o que ajuda a entender estruturas e mecânicas.
  • Em gráficos de computador, vetores são usados para modelar formas e movimentos complexos.

Conclusão

A álgebra vetorial é uma ferramenta matemática poderosa que se estende muito além de cálculos aritméticos ou algébricos simples. Ela está integrada em muitos campos, incluindo engenharia, física, ciência da computação e mais. Compreender as operações e aplicações fundamentais dos vetores na geometria 3D é importante para estudantes e profissionais que lidam com qualquer forma de análise espacial ou sistemas de força.


12º ano → 1.3.1


U
username
0%
concluído em 12º ano

← Anterior (1.3)
Vetores e geometria 3D
Próximo (1.3.2) →
Produto escalar e vetorial

Comentários 



Álgebra vetorial

https://www.buddymath.com/g12/1.3.1?bmal=pt