Комплексные числа

В математике комплексное число — это число, которое можно выразить в виде a + bi, где a и b — действительные числа, а i — мнимая единица, удовлетворяющая уравнению i2 = -1. Число a называется действительной частью комплексного числа, а b называется мнимой частью.

Понимание мнимой единицы i

Мнимая единица i имеет уникальное свойство: если ее возвести в квадрат, она равна -1. Это может быть поначалу запутанно, поскольку ни одно действительное число не обладает таким свойством. Чтобы прояснить:

i = √(-1) i² = -1

Форма комплексных чисел

Комплексное число можно записать как:

z = a + bi

Где:

• z — комплексное число.
• a — действительная часть, Real(z).
• b — мнимая часть, Imag(z).

Пример комплексного числа: 3 + 4i

Графическое представление

Комплексные числа можно графически представить на двумерной плоскости, называемой комплексной плоскостью. Горизонтальная ось представляет действительную часть, а вертикальная ось представляет мнимую часть.

На диаграмме выше вектор от начала координат к точке (3, 4) представляет комплексное число 3 + 4i. Горизонтальное расстояние — это действительная составляющая, а вертикальное расстояние — мнимая составляющая.

Комплексные сопряженные числа

Комплексное сопряженное комплексного числа получается путем изменения знака мнимой части. Для комплексного числа z = a + bi его комплексным сопряженным будет a - bi.

Пример:

Если z = 3 + 4i, то сопряженное z, обозначаемое как z̅, равно 3 - 4i.

Арифметические операции над комплексными числами

Сложение

Чтобы сложить два комплексных числа, сложите их соответствующие действительные и мнимые части. Для комплексных чисел z₁ = a + bi и z₂ = c + di сумма:

z₁ + z₂ = (a + c) + (b + d)i

Пример:

z₁ = 3 + 4i, z₂ = 1 + 2i z₁ + z₂ = (3 + 1) + (4 + 2)i = 4 + 6i

Вычитание

Чтобы вычесть два комплексных числа, вычтите их соответствующие действительные и мнимые части. Для комплексных чисел z₁ = a + bi и z₂ = c + di разность:

z₁ - z₂ = (a - c) + (b - d)i

Пример:

z₁ = 3 + 4i, z₂ = 1 + 2i z₁ - z₂ = (3 - 1) + (4 - 2)i = 2 + 2i

Умножение

Чтобы умножить два комплексных числа, распространите каждую часть и используйте свойство i² = -1. Для комплексных чисел z₁ = a + bi и z₂ = c + di произведение:

z₁ * z₂ = (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i

Пример:

z₁ = 3 + 4i, z₂ = 1 + 2i z₁ * z₂ = (3 * 1 - 4 * 2) + (3 * 2 + 4 * 1)i = (3 - 8) + (6 + 4)i = -5 + 10i

Деление

Чтобы разделить одно комплексное число на другое, умножьте числитель и знаменатель на сопряженное знаменателя. Для комплексных чисел z₁ = a + bi и z₂ = c + di частное:

z₁ / z₂ = [(a + bi)(c - di)] / [(c + di)(c - di)] = [(ac + bd) + (bc - ad)i] / (c² + d²)

Пример:

z₁ = 3 + 4i, z₂ = 1 + 2i z₁ / z₂ = [(3 + 4i)(1 - 2i)] / (1² + 2²) = [(3*1 + 4*2) + (4*1 - 3*2)i] / (1 + 4) = (3 + 8 + i(4 - 6)) / 5 = (11 - 2i) / 5 = 11/5 - (2/5)i

Модуль и аргумент комплексного числа

Модуль

Модуль комплексного числа z = a + bi, обозначаемый |z|, это расстояние от начала координат до точки (a, b) на комплексной плоскости. Он задается следующим образом:

|z| = √(a² + b²)

Пример:

z = 3 + 4i |z| = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5

Аргумент

Аргумент комплексного числа — это угол, который линия, соединяющая начало координат с точкой (a, b), составляет с положительной действительной осью. Обычно он обозначается arg(z).

Для комплексного числа z = a + bi аргумент θ можно найти, используя:

θ = tan-1 (b / a)

Пример:

z = 3 + 4i θ = tan-1 (4 / 3)

Полярная форма комплексных чисел

Комплексное число также можно представить в полярной форме как z = r (cos θ + i sin θ) или более компактно, используя формулу Эйлера, как z = reiθ, где r — модуль, а θ — аргумент.

Пример:

z = 3 + 4i |z| = 5, и θ = tan-1 (4/3) Полярная форма: z = 5 (cos θ + i sin θ)

Применение комплексных чисел

Комплексные числа широко применяются в различных областях, таких как инженерия, физика и прикладная математика.

• Электротехника: Используются для анализа цепей переменного тока, где сопротивление, индуктивность и емкость представляются в виде комплексных импедансов.
• Динамика жидкостей: Модели потоков жидкости часто включают комплексные числа, особенно в двухмерных потоках.
• Квантовая механика: Волновые функции выражаются с использованием комплексных чисел.

Заключение

Комплексные числа расширяют понятие одномерных чисел до двумерной комплексной плоскости, используя мнимую составляющую в дополнение к действительной части. Понимание комплексных чисел помогает находить решения некоторых уравнений, которые не имеют решения в системе действительных чисел, и служит мостом к более продвинутым темам в математике и её применениях.

комментарии