複素数
数学において、複素数とは、a + biの形で表現できる数であり、ここでaとbは実数で、iはi2 = -1という方程式を満たす虚数単位です。数aは複素数の実部と呼ばれ、bは虚部と呼ばれます。
虚数単位iの理解
虚数単位iは、二乗すると-1になるというユニークな性質を持っています。これは最初は混乱するかもしれませんが、なぜなら実数の中にはこの性質を持つものはないからです。明確にするために：
i = √(-1) i² = -1複素数の形式
複素数は次のように書くことができます：
z = a + biここで：
zは複素数です。aは実部、Real(z)です。bは虚部、Imag(z)です。
複素数の例：3 + 4i
グラフ表現
複素数は複素数平面と呼ばれる二次元平面上でグラフ的に表現できます。水平軸は実部を表し、垂直軸は虚部を表します。
上記の図では、原点から点(3, 4)へのベクトルが複素数3 + 4iを表しています。水平距離が実成分であり、垂直距離が虚成分です。
共役複素数
複素共役は、虚部の符号を変えることによって得られます。複素数z = a + biに対する共役はa - biです。
例：
z = 3 + 4iの場合、zの共役は3 - 4iです。複素数の算術演算
加算
二つの複素数を加えるには、対応する実部と虚部を加えます。複素数z₁ = a + biとz₂ = c + diに対して、和は：
z₁ + z₂ = (a + c) + (b + d)i例：
z₁ = 3 + 4i、z₂ = 1 + 2i z₁ + z₂ = (3 + 1) + (4 + 2)i = 4 + 6i減算
二つの複素数を減算するには、対応する実部と虚部を減算します。複素数z₁ = a + biとz₂ = c + diに対して、差は：
z₁ - z₂ = (a - c) + (b - d)i例：
z₁ = 3 + 4i、z₂ = 1 + 2i z₁ - z₂ = (3 - 1) + (4 - 2)i = 2 + 2i乗算
二つの複素数を乗算するには、各部分を分配してi² = -1の性質を使用します。複素数z₁ = a + biとz₂ = c + diに対して、積は：
z₁ * z₂ = (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i例：
z₁ = 3 + 4i、z₂ = 1 + 2i z₁ * z₂ = (3 * 1 - 4 * 2) + (3 * 2 + 4 * 1)i = (3 - 8) + (6 + 4)i = -5 + 10i除算
一つの複素数を別の複素数で除算するには、分子と分母を分母の共役で乗算します。複素数z₁ = a + biとz₂ = c + diに対して、商は：
z₁ / z₂ = [(a + bi)(c - di)] / [(c + di)(c - di)] = [(ac + bd) + (bc - ad)i] / (c² + d²)例：
z₁ = 3 + 4i、z₂ = 1 + 2i z₁ / z₂ = [(3 + 4i)(1 - 2i)] / (1² + 2²) = [(3*1 + 4*2) + (4*1 - 3*2)i] / (1 + 4) = (3 + 8 + i(4 - 6)) / 5 = (11 - 2i) / 5 = 11/5 - (2/5)i複素数の絶対値と引数
絶対値
複素数の絶対値z = a + biは、複素平面上で原点から点(a, b)までの距離を表し、|z|で示されます。次のように与えられます：
|z| = √(a² + b²)例：
z = 3 + 4i |z| = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5引数
複素数の引数は、原点から点(a, b)への線が正の実軸と成す角度です。通常はarg(z)で表されます。
複素数z = a + biに対して、引数θは次のようにして見つけることができます：
θ = tan-1 (b / a)例：
z = 3 + 4i θ = tan-1 (4 / 3)複素数の極形式
複素数は、極形式としても表現できます：z = r (cos θ + i sin θ)または、オイラーの公式を使用してより簡潔にz = reiθと表現されます。ここで、rは絶対値、θは引数です。
例：
z = 3 + 4i |z| = 5, and θ = tan-1 (4/3) 極形式: z = 5 (cos θ + i sin θ)複素数の応用
複素数は、工学、物理学、応用数学など様々な分野で広く応用されています。
- 電気工学：抵抗、インダクタンス、キャパシタンスが複素インピーダンスとして表現される交流回路の分析に使用されます。
- 流体力学：特に二次元の流れにおいて、流体の流れのモデルには複素数がよく用いられます。
- 量子力学：波動関数は複素数を使用して表されます。
結論
複素数は、実部に加えて虚数成分を使用することによって、一次元の数の概念を複素平面へと拡張します。複素数を理解することにより、実数系では解を持たない特定の方程式に対して解を提供し、数学やその応用におけるより高度なトピックへの入り口を提供します。
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