समिश्र संख्याएँ

गणित में, एक समिश्र संख्या एक संख्या होती है जिसे a + bi के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ a और b वास्तविक संख्याएँ हैं, और i एक काल्पनिक इकाई है जो समीकरण i2 = -1 को संतुष्ट करती है। संख्या a को समिश्र संख्या का वास्तविक भाग कहा जाता है, और b को काल्पनिक भाग कहा जाता है।

काल्पनिक इकाई i को समझना

काल्पनिक इकाई i की एक अनोखी विशेषता होती है कि जब इसे वर्ग किया जाता है, तो यह -1 के बराबर होता है। यह प्रारंभ में भ्रमित करने वाला हो सकता है क्योंकि कोई वास्तविक संख्या यह विशेषता नहीं रखती। स्पष्टीकरण के लिए:

i = √(-1) i² = -1

समिश्र संख्याओं का स्वरूप

एक समिश्र संख्या को ऐसे लिखा जा सकता है:

z = a + bi

जहाँ:

• z एक समिश्र संख्या है।
• a वास्तविक भाग है, Real(z)।
• b काल्पनिक भाग है, Imag(z)।

समिश्र संख्या का उदाहरण: 3 + 4i

ग्राफिकल प्रस्तुति

समिश्र संख्याओं को दो-आयामी विमान जिसे समिश्र विमान कहा जाता है, पर ग्राफिक रूप से प्रस्तुत किया जा सकता है। क्षैतिज अक्ष वास्तविक भाग का प्रतिनिधित्व करता है, और लंबवत अक्ष काल्पनिक भाग का प्रतिनिधित्व करता है।

उपरोक्त आरेख में, मूल बिंदु से बिंदु (3, 4) तक का वेक्टर समिश्र संख्या 3 + 4i का प्रतिनिधित्व करता है। क्षैतिज दूरी वास्तविक घटक है, और लंबवत दूरी काल्पनिक घटक है।

समिश्र संयुग्म

एक समिश्र संख्या का समिश्र संयुग्म प्राप्त किया जाता है काल्पनिक भाग के चिह्न को बदल कर। एक समिश्र संख्या z = a + bi के लिए, इसका समिश्र संयुग्म a - bi होता है।

उदाहरण:

यदि z = 3 + 4i हो, तो z का संयुग्मित, जो z̅ द्वारा दर्शाया गया है, 3 - 4i है।

समिश्र संख्याओं पर अंकगणितीय क्रियाएँ

जोड़

दो समिश्र संख्याओं को जोड़ने के लिए, आप उनके संबंधित वास्तविक भागों और काल्पनिक भागों को जोड़ते हैं। समिश्र संख्याओं z₁ = a + bi और z₂ = c + di के लिए, योग है:

z₁ + z₂ = (a + c) + (b + d)i

उदाहरण:

z₁ = 3 + 4i, z₂ = 1 + 2i z₁ + z₂ = (3 + 1) + (4 + 2)i = 4 + 6i

घटाना

दो समिश्र संख्याओं को घटाने के लिए, आप उनके संबंधित वास्तविक भागों और काल्पनिक भागों को घटाते हैं। समिश्र संख्याओं z₁ = a + bi और z₂ = c + di के लिए, अंतर है:

z₁ - z₂ = (a - c) + (b - d)i

उदाहरण:

z₁ = 3 + 4i, z₂ = 1 + 2i z₁ - z₂ = (3 - 1) + (4 - 2)i = 2 + 2i

गुणा

दो समिश्र संख्याओं को गुणा करने के लिए, आप प्रत्येक भाग का विस्तार करते हैं और गुणधर्म i² = -1 का उपयोग करते हैं। समिश्र संख्याओं z₁ = a + bi और z₂ = c + di के लिए, गुणनफल है:

z₁ * z₂ = (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i

उदाहरण:

z₁ = 3 + 4i, z₂ = 1 + 2i z₁ * z₂ = (3 * 1 - 4 * 2) + (3 * 2 + 4 * 1)i = (3 - 8) + (6 + 4)i = -5 + 10i

भाग

एक समिश्र संख्या को दूसरी समिश्र संख्या से भाग करने के लिए, हर भागकर्ता को हर संयुग्म से गुणा करें। समिश्र संख्याओं z₁ = a + bi और z₂ = c + di के लिए, भागफल है:

z₁ / z₂ = [(a + bi)(c - di)] / [(c + di)(c - di)] = [(ac + bd) + (bc - ad)i] / (c² + d²)

उदाहरण:

z₁ = 3 + 4i, z₂ = 1 + 2i z₁ / z₂ = [(3 + 4i)(1 - 2i)] / (1² + 2²) = [(3*1 + 4*2) + (4*1 - 3*2)i] / (1 + 4) = (3 + 8 + i(4 - 6)) / 5 = (11 - 2i) / 5 = 11/5 - (2/5)i

समिश्र संख्या का मापांक और तर्क

मापांक

एक समिश्र संख्या z = a + bi का मापांक, जो |z| द्वारा दर्शाया जाता है, समिश्र विमान में मूल बिंदु से बिंदु (a, b) तक की दूरी है। इसे निम्नलिखित रूप में दिया गया है:

|z| = √(a² + b²)

उदाहरण:

z = 3 + 4i |z| = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5

तर्क

एक समिश्र संख्या का तर्क वह कोण है जो मूल बिंदु से बिंदु (a, b) को मिलाने वाली रेखा ने सकारात्मक वास्तविक अक्ष के साथ बनाता है। इसे सामान्यतः arg(z) के रूप में दर्शाया जाता है।

एक समिश्र संख्या z = a + bi के लिए, तर्क θ निम्नप्रकार से पाया जा सकता है:

θ = tan-1 (b / a)

उदाहरण:

z = 3 + 4i θ = tan-1 (4 / 3)

समिश्र संख्याओं का ध्रुवीय रूप

एक समिश्र संख्या को ध्रुवीय रूप में भी प्रस्तुत किया जा सकता है जैसे z = r (cos θ + i sin θ) या अधिक संक्षिप्त रूप से, यूलर सूत्र का उपयोग करके, z = reiθ के रूप में, जहाँ r मापांक है और θ तर्क है।

उदाहरण:

z = 3 + 4i |z| = 5, और θ = tan-1 (4/3) ध्रुवीय रूप: z = 5 (cos θ + i sin θ)

समिश्र संख्याओं के अनुप्रयोग

समिश्र संख्याओं का विभिन्न क्षेत्रों में व्यापक अनुप्रयोग है जैसे कि इंजीनियरिंग, भौतिकी, और अनुप्रयुक्त गणित।

• विद्युत अभियान्त्रिकी: एसी परिपथों का विश्लेषण करने के लिए उपयोग किया जाता है, जहाँ प्रतिरोध, प्रेरकता, और धारिता को समिश्र प्रतिरोध के रूप में व्यक्त किया जाता है।
• द्रव गतिकी: द्रव प्रवाह के मॉडल अक्सर समिश्र संख्याओं में शामिल होते हैं, खासकर द्वि-आयामी प्रवाह में।
• क्वांटम यांत्रिकी: तरंग कार्यों को समिश्र संख्याओं का उपयोग करके व्यक्त किया जाता है।

निष्कर्ष

समिश्र संख्याएँ एक-अक्षीय संख्याओं की संकल्पना को दो-आयामी समिश्र विमान तक विस्तारित करती हैं, और वास्तविक भाग के अतिरिक्त एक काल्पनिक घटक का उपयोग करते हुए। समिश्र संख्याओं को समझना उन विशिष्ट समीकरणों के समाधान प्रदान करता है जिनके लिए वास्तविक संख्या प्रणाली में कोई समाधान नहीं है और गणित और इसके अनुप्रयोगों के अधिक उन्नत विषयों की ओर एक मार्गदर्शक के रूप में सेवा करता है।

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