10º ano ↓
Geometria coordenada
A geometria coordenada, também conhecida como geometria analítica, é um ramo fascinante da matemática que mistura álgebra com geometria. Ao contrário da geometria tradicional, que lida principalmente com a forma, o tamanho e as dimensões de objetos como pontos, linhas, superfícies e sólidos, a geometria coordenada fornece uma conexão entre álgebra e geometria através dos gráficos de equações. Ela usa um par de valores numéricos chamados coordenadas para determinar a posição de pontos, linhas e planos no espaço bidimensional ou até mesmo tridimensional.
Sistema de coordenadas cartesianas
Nomeado em homenagem ao matemático francês René Descartes, o sistema de coordenadas cartesianas é um plano bidimensional definido por uma linha numérica horizontal (eixo x) e uma linha numérica vertical (eixo y). Esses eixos se interceptam em um ponto chamado origem, que geralmente é designado como o ponto (0,0). Cada ponto neste plano é descrito por um par ordenado de números: a coordenada x e a coordenada y. A coordenada x especifica a distância à direita ou à esquerda do eixo y, enquanto a coordenada y especifica a distância acima ou abaixo do eixo x.
eixo x ------------------
,
| *(3, 4)
,
,
-------------------|------------------- eixo y
,
,
No diagrama acima, a estrela representa um ponto com coordenadas (3, 4) no plano bidimensional. Isso significa que o ponto está 3 unidades à direita do eixo y e 4 unidades acima do eixo x.
Plotagem de pontos
Plotar pontos em geometria coordenada é simples. Você pega um par ordenado e determina a posição do ponto pertencente a esse par.
Por exemplo, vamos plotar o ponto (-2, 5):
eixo x ------------------
,
| * (-2, 5)
,
,
-------------------|------------------- eixo y
,
,
Aqui, -2 significa mover 2 unidades à esquerda do eixo y, e 5 significa mover 5 unidades para cima do eixo x, assim nosso ponto chegará à posição correta.
Distância entre dois pontos
Para encontrar a distância entre dois pontos, você pode usar a fórmula da distância derivada do Teorema de Pitágoras. Se você tem dois pontos, (x1, y1) e (x2, y2), a distância d entre eles é dada por:
D = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)
Por exemplo, para encontrar a distância entre os pontos A (1, 2) e B (4, 6):
D = √((4 - 1)² + (6 - 2)²)
= √(3² + 4²)
= √(9 + 16)
= √25
= 5
A distância entre os pontos é 5 unidades.
Ponto médio de um segmento de linha
O ponto médio de um segmento de linha que conecta dois pontos é simplesmente o ponto que divide o segmento de linha em duas partes. Dado os dois pontos finais, (x1, y1) e (x2, y2), o ponto médio (xm, ym) é calculado como se segue:
xm = (x1 + x2) / 2
ym = (y1 + y2) / 2
Vamos encontrar o ponto médio do segmento de linha que une os pontos C (2, 3) e D (10, 9):
xm = (2 + 10) / 2 = 12 / 2 = 6
ym = (3 + 9) / 2 = 12 / 2 = 6
Ponto médio = (6, 6)
Inclinação da linha
A inclinação de uma linha é uma medida de sua declividade e direção. A fórmula para encontrar a inclinação m de uma linha através de dois pontos (x1, y1) e (x2, y2) é:
m = (y2 - y1) / (x2 - x1)
Considere os pontos E (2, 3) e F (5, 7), a inclinação é:
m = (7 - 3) / (5 - 2)
= 4 / 3
A inclinação da linha que une os pontos E e F é 4/3.
Equação da linha
A equação de uma linha é descrita em várias formas, sendo as mais comuns a forma inclinação-intercepto e a forma ponto-inclinação.
Forma inclinação-intercepto
Esta forma da equação para uma linha é expressa como y = mx + c, onde m é a inclinação e c é o intercepto y (o ponto onde a linha cruza o eixo y).
Por exemplo, se a inclinação de uma linha é 2 e ela intercepta o eixo y em -3, a equação é:
y = 2x – 3
Forma ponto-inclinação
Se você conhece um ponto (x1, y1) na linha e sua inclinação m, você pode escrever a equação usando:
y - y1 = m(x - x1)
Dado um ponto G (3, 4) e inclinação 5, a equação é:
y – 4 = 5(x – 3)
Forma geral
A forma geral de uma equação linear é expressa por Ax + By + C = 0, onde A, B e C são constantes.
Converter a forma ponto-inclinação ou inclinação-intercepto em forma normal envolve manipulação algébrica, como expandir parênteses e coletar termos semelhantes.
Linhas paralelas e perpendiculares
As linhas são paralelas se tiverem a mesma inclinação. Assim, duas linhas com inclinações m1 e m2 são paralelas se m1 = m2.
Por exemplo, as linhas y = 2x + 3 e y = 2x - 4 são paralelas porque ambas têm uma inclinação de 2.
As linhas são perpendiculares se o produto de suas inclinações for -1. Assim, as linhas com inclinações m1 e m2 são perpendiculares se m1 * m2 = -1.
Por exemplo, se uma linha é y = 3x + 5, então a outra linha é perpendicular se sua inclinação for -1/3.
Seções cônicas
Na geometria coordenada, o estudo também inclui seções cônicas: círculos, elipses, parábolas e hipérboles. Estas são as curvas obtidas pela interseção de um cone circular reto com um plano.
Círculo
A equação padrão de um círculo com centro (h, k) e raio r é:
(x – h)² + (y – k)² = r²
A equação de um círculo centrado em (2, -1) e de raio 5 é:
(x - 2)² + (y + 1)² = 25
Elipse
A equação da elipse com centro (h, k) é:
(x - h)²/a² + (y - k)²/b² = 1
Os valores de a e b determinam a forma e a orientação da elipse.
Parábola
Uma parábola que se abre para cima/baixo com vértice em (h, k) é dada por:
(x – h)² = 4p(y – k)
onde p é a distância do vértice da parábola ao foco.
Hipérbole
A equação padrão é:
(x - h)²/a² - (y - k)²/b² = 1
Uma hipérbole tem duas curvas distintas chamadas ramos que são simétricos entre si.
Conclusão
A geometria coordenada é um assunto importante e seus conceitos são aplicados em vários campos, como física, gráficos por computador, engenharia e navegação. Ser capaz de representar formas geométricas com equações permite que operações algébricas sobre essas formas sejam realizadas mais facilmente, o que ajuda muito na visualização e resolução de problemas que, de outra forma, seriam bastante complexos.
Compreendendo o básico da plotagem de pontos, cálculo de distâncias, determinação de inclinações e resolução de equações de linhas, os alunos podem resolver problemas geométricos mais complexos mais facilmente.
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