Pós-graduação
  1. Introdução à análise real  1.1. Teoria dos conjuntos e lógica em análise real  1.1.1. Conjuntos e operações na teoria dos conjuntos e lógica em análise real  1.1.2. Relações e funções  1.1.3. Lógica e quantificadores  1.1.4. Cardinalidade dos conjuntos  1.2. Espaço métrico  1.2.1. Introdução aos conjuntos abertos e fechados em espaços métricos  1.2.2. Convergência de sequências em um espaço métrico  1.2.3. Função contínua em um espaço métrico  1.2.4. Compacidade e completude em espaços métricos na análise real  1.3. Sequências e séries  1.3.1. Convergência de sequências  1.3.2. Séries infinitas  1.3.3. Convergência uniforme  1.3.4. Séries de potências  1.4. Discriminação  1.4.1. Teorema do valor médio  1.4.2. Série de Taylor  1.4.3. Funções de várias variáveis  1.4.4. Derivada parcial  1.5. Integração  1.5.1. Integração de Riemann e Lebesgue  1.5.2. Integrais impróprias  1.5.3. Teoria da Medida: uma ferramenta fundamental na integração  1.5.4. Teorema de Fubini  1.6. Análise funcional  1.6.1. Compreendendo espaços de Banach  1.6.2. Espaços de Hilbert  1.6.3. Operadores em espaços  1.6.4. Teoria Espectral
  2. Álgebra Abstrata  2.1. Compreendendo grupos na álgebra abstrata  2.1.1. Definições e exemplos de grupos na álgebra abstrata  2.1.2. Homomorfismos de grupos  2.1.3. Introdução aos subgrupos normais  2.1.4. Teorema de Sylow  2.2. Anéis e campos  2.2.1. Ideais e anéis quocientes  2.2.2. Extensões de campos  2.2.3. Teoria de Galois  2.2.4. Anéis de polinômios  2.3. Introdução aos módulos em álgebra abstrata  2.3.1. Homomorfismo de Módulos  2.3.2. Módulos livres  2.3.3. Introdução aos produtos tensoriais  2.3.4. Sequência exata em módulos  2.4. Álgebra linear  2.4.1. Espaço vetorial  2.4.2. Autovalores e autovetores  2.4.3. Espaço de produto interno  2.4.4. Diagonalização
  3. Topologia  3.1. Topologia Geral  3.1.1. Conjuntos abertos e fechados  3.1.2. Compacidade e conexidade  3.1.3. Mapas contínuos  3.1.4. Axioma de separação  3.2. Topologia algébrica  3.2.1. Compreendendo grupos fundamentais em topologia algébrica  3.2.2. Homotopia e homologia  3.2.3. Complexo simplicial  3.2.4. Sequências exatas em homologia  3.3. Topologia Diferencial  3.3.1. Compreendendo variedades na topologia diferencial  3.3.2. Funções Suaves  3.3.3. Espaço tangente e cotangente  3.3.4. Feixes vetoriais
  4. Equações diferenciais  4.1. Equação diferencial ordinária  4.1.1. Equações de primeira ordem  4.1.2. Equações lineares de segunda ordem  4.1.3. Sistemas de equações diferenciais  4.1.4. Análise de estabilidade em equações diferenciais ordinárias  4.2. Equações diferenciais parciais  4.2.1. Classificação de PDE  4.2.2. Compreendendo séries de Fourier em equações diferenciais parciais  4.2.3. Introdução às funções de Green  4.2.4. Método de caracterização  4.3. Sistemas dinâmicos em equações diferenciais  4.3.1. Teoria da Sustentabilidade  4.3.2. Ciclos limite em sistemas dinâmicos  4.3.3. Teoria do caos  4.3.4. Teoria da bifurcação
  5. Probabilidade e estatística  5.1. Teoria da probabilidade  5.1.1. Variáveis aleatórias  5.1.2. Distribuições de probabilidade  5.1.3. Lei dos grandes números  5.1.4. Teorema Central do Limite  5.2. Inferência estatística  5.2.1. Teste de hipótese  5.2.2. Intervalo de confiança  5.2.3. Métodos bayesianos  5.2.4. Estimativa de máxima verossimilhança  5.3. Processos estocásticos  5.3.1. Cadeias de Markov  5.3.2. Movimento Browniano  5.3.3. Compreendendo os processos de Poisson  5.3.4. Martingales: Um estudo abrangente em probabilidade e estatística
  6. Análise numérica  6.1. Soluções numéricas de equações  6.1.1. Descoberta original  6.1.2. Métodos iterativos  6.1.3. Análise de convergência  6.1.4. Limites de erro em soluções numéricas de equações  6.2. Álgebra linear numérica  6.2.1. Fatoração de matrizes  6.2.2. Cálculo de autovalores  6.2.3. Matrizes esparsas  6.2.4. Técnicas de pré-condicionamento  6.3. Integração e diferenciação numéricas  6.3.1. Métodos de quadratura  6.3.2. Introdução às diferenças finitas  6.3.3. Análise de erro na integração e diferenciação numérica  6.3.4. Métodos adaptativos em integração e diferenciação numérica
  7. Análise complexa  7.1. Números complexos  7.1.1. Forma polar  7.1.2. Conjugados Complexos  7.1.3. Forma exponencial de números complexos  7.1.4. Raízes da unidade  7.2. Funções analíticas  7.2.1. Equações de Cauchy–Riemann  7.2.2. Séries de potências  7.2.3. Mapeamento conforme  7.2.4. Funções harmônicas  7.3. Integração no plano complexo  7.3.1. Teorema de Cauchy  7.3.2. Teorema do resíduo  7.3.3. Integração de contorno  7.3.4. Transformadas integrais
  8. Lógica Matemática e Fundamentos  8.1. Lógica proposicional  8.1.1. Tabelas de verdade  8.1.2. Equivalência lógica na lógica proposicional  8.1.3. Técnicas de prova em lógica proposicional  8.1.4. Solução na lógica proposicional  8.2. Lógica de predicados  8.2.1. Quantificadores na lógica de predicados  8.2.2. Sistemas formais na lógica de predicados  8.2.3. Completude e correção  8.2.4. Teoria dos modelos  8.3. Teoria dos conjuntos  8.3.1. Cardinalidade e ordinalidade  8.3.2. Sistemas axiomáticos  8.3.3. Compreendendo a teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel  8.3.4. Forças na teoria dos conjuntos
  9. Personalização  9.1. Programação linear  9.1.1. Método simplex  9.1.2. Dualidade na programação linear  9.1.3. Análise de sensibilidade em programação linear  9.1.4. Métodos de ponto interior  9.2. Programação não linear  9.2.1. Descida do Gradiente  9.2.2. Múltiplos de Lagrange  9.2.3. Otimização convexa  9.2.4. Programação quadrática  9.3. Otimização Combinatória  9.3.1. Algoritmos de grafos  9.3.2. Programação inteira  9.3.3. Fluxo de Rede  9.3.4. Algoritmos de aproximação
  10. Matemática discreta  10.1. Teoria dos grafos  10.1.1. Representação de grafos  10.1.2. Planicidade e cor  10.1.3. Algoritmo de caminho mais curto  10.1.4. Fluxo de rede  10.2. Companheirismo  10.2.1. Percmutações e combinações  10.2.2. Função geradora  10.2.3. Relação de recorrência  10.2.4. Compreendendo o Princípio da Inclusão-Exclusão  10.3. Criptografia  10.3.1. Aplicações da teoria dos números na criptografia  10.3.2. Criptografia Simétrica e Assimétrica  10.3.3. RSA e criptografia de curva elíptica  10.3.4. Criptografia pós-quântica

Pós-graduação → Personalização → Otimização Combinatória ↓


Algoritmos de aproximação


No mundo da matemática e da ciência da computação, muitas vezes nos deparamos com problemas complexos que requerem encontrar a melhor solução em um conjunto de possibilidades. Isso é especialmente verdadeiro em um campo conhecido como "otimização combinatória", onde o objetivo é otimizar (maximizar ou minimizar) uma determinada função objetivo. Infelizmente, muitos desses problemas são incrivelmente difíceis de resolver exatamente devido à sua natureza NP-difícil; isso significa que não há uma maneira eficiente conhecida de encontrar a solução correta. É aqui que os algoritmos de aproximação entram em cena. Esses algoritmos visam encontrar soluções que sejam “suficientemente próximas” da solução ótima em um tempo razoável.

Compreendendo a otimização combinatória

Primeiro, vamos entender o que é otimização combinatória. Em sua essência, um problema de otimização combinatória é definido como:

    Máximo ou mínimo: f(x)
    Sujeito a: x ∈ S

Onde:

  • f(x) é a função objetivo, que precisa ser otimizada.
  • S é o espaço de busca que contém todas as soluções possíveis.

Esses problemas são comuns em várias áreas, como pesquisa operacional, ciência da computação e logística. Exemplos incluem o problema do caixeiro viajante (TSP), o problema da mochila e o problema de coloração de grafos.

O que são algoritmos de aproximação?

Um algoritmo de aproximação é um método usado para encontrar soluções para problemas de otimização que são suficientemente boas e que podem ser encontradas em um prazo razoável. Essas soluções não são exatas, mas fornecem um resultado que está próximo da solução ótima. O objetivo é fornecer uma solução aproximada que seja precisa dentro de algum fator e que o faça de forma eficiente.

Para definir formalmente, se OPT é a solução ótima e C é a solução aproximada fornecida pelo algoritmo para o problema de minimização, então um algoritmo é um algoritmo de c-aproximação se:

    c ≤ c*opt

Para o problema de maximização, a definição é ajustada ligeiramente:

    C ≥ (OPT / C)

Aqui, c é um fator maior que 1 para problemas de minimização e menor que 1 para problemas de maximização.

Vantagens dos algoritmos de aproximação

Os algoritmos de aproximação são extremamente úteis na prática porque nos permitem resolver problemas NP-difíceis em um prazo viável. Aqui estão algumas das principais vantagens:

  • Eficiência: Eles geralmente rodam em tempo polinomial, tornando-os viáveis para grandes conjuntos de dados.
  • Soluções práticas: Embora essas soluções não sejam exatas, muitas vezes são suficientes para finalidades práticas.
  • Ampla aplicabilidade: Esses algoritmos podem ser aplicados a uma ampla gama de problemas e indústrias, desde programação até alocação de recursos.

Exemplos de algoritmos de aproximação

Vamos explorar vários algoritmos de aproximação comuns usados para problemas de otimização específicos.

1. Problema de cobertura de vértices

O problema de cobertura de vértices envolve encontrar um conjunto mínimo de vértices que toque todas as arestas de um grafo. Este problema é NP-difícil; portanto, uma solução exata é computacionalmente cara.

Um algoritmo de aproximação pode ser usado para encontrar a cobertura de vértices escolhendo repetidamente uma aresta e adicionando ambos os seus vértices ao conjunto de cobertura. O resultado é uma 2-aproximação, o que significa que o conjunto de cobertura resultante tem no máximo o dobro do tamanho ótimo. Por exemplo, no grafo acima, escolher ambos os vértices vermelhos fornece uma solução rápida.

2. Problema do caixeiro viajante (TSP)

No TSP, um caixeiro deve visitar várias cidades e retornar ao ponto de partida. O objetivo é minimizar a distância total da viagem. Encontrar a rota ótima exata é NP-difícil.

Um algoritmo de aproximação efetivo para o TSP métrico (onde as distâncias satisfazem a desigualdade triangular) é o "algoritmo de Christofides". Ele garante uma solução dentro de 1,5 vezes o comprimento do caminho ótimo.

    1. Crie uma Árvore Geradora Mínima (MST) para as cidades.
    2. Adicione empares de custo mínimo aos vértices de grau ímpar da MST.
    3. Use o circuito euleriano para construir um circuito hamiltoniano (solução do TSP).

Técnicas de design para algoritmos de aproximação

Muitos algoritmos de aproximação são obtidos utilizando técnicas de design específicas. Aqui estão algumas estratégias comuns:

1. Algoritmo guloso

Algoritmos gulosos fazem uma série de escolhas selecionando uma solução localmente ótima em cada etapa, na esperança de encontrar o ótimo global. Eles são diretos e fáceis de implementar, embora nem sempre forneçam a melhor solução.

Exemplo: O "Problema da Mochila Fracionária" pode ser resolvido exatamente pelo método guloso, mas o "Problema da Mochila 0-1" permite apenas aproximações gulosas.

2. Busca local

Estratégias de busca local começam com uma solução inicial e fazem pequenas mudanças para melhorá-la. Embora sejam frequentemente usadas em algoritmos heurísticos, também podem garantir uma estimativa.

3. Técnica de arredondamento

Métodos de aproximação às vezes aproveitam soluções de programação linear (PL), que envolvem o relaxamento das restrições de integridade e o subsequente "arredondamento" para alcançar uma solução válida.

    max (pl): z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + ...
    Sujeito a: A * x ≤ b, e 0 ≤ x ≤ 1

Proporção de desempenho e garantia

Um aspecto importante dos algoritmos de aproximação é sua taxa de desempenho. Essa taxa ajuda a descobrir o quão próxima a solução de aproximação está da solução ótima. Por exemplo, se o custo da aproximação é "A" e o custo da solução ótima é "OPT", então a taxa de desempenho é A/OPT.

Algoritmos de aproximação com limites de desempenho conhecidos garantem qualidade previsível, que é uma característica importante em aplicações práticas.

Conclusão

Os algoritmos de aproximação são uma ferramenta indispensável no campo da otimização combinatória. Embora não garantam a solução correta, sua capacidade de fornecer aproximações próximas com limites de desempenho conhecidos de forma computacionalmente viável os tornam inestimáveis, especialmente para problemas em larga escala e complexos. Ao aproveitar estratégias como algoritmos gulosos, técnicas de arredondamento e busca local, matemáticos e cientistas da computação podem enfrentar problemas que de outra forma seriam intratáveis.

Essas vantagens garantem que os algoritmos de aproximação continuem sendo uma abordagem poderosa e prática para resolver desafios do mundo real em áreas que vão desde a logística até o design de redes e além.


Pós-graduação → 9.3.4


U
username
0%
concluído em Pós-graduação

← Anterior (9.3.3)
Fluxo de Rede
Próximo (10) →
Matemática discreta

Comentários 



Algoritmos de aproximação

https://www.buddymath.com/g/9.3.4?bmal=pt