Магистратура
  1. Введение в математический анализ  1.1. Теория множеств и логика в реальном анализе  1.1.1. Множества и операции в теории множеств и логике в реальном анализе  1.1.2. Отношения и функции  1.1.3. Логика и кванторы  1.1.4. Мощность множеств  1.2. Метрика  1.2.1. Введение в открытые и замкнутые множества в метрических пространствах  1.2.2. Сходимость последовательностей в метрическом пространстве  1.2.3. Непрерывная функция в метрическом пространстве  1.2.4. Компактность и полнота в метрических пространствах в реальном анализе  1.3. Последовательности и ряды  1.3.1. Сходимость последовательностей  1.3.2. Бесконечные ряды  1.3.3. Равномерная сходимость  1.3.4. Ряды степеней  1.4. Дискриминация  1.4.1. Теорема о среднем значении  1.4.2. Ряд Тейлора  1.4.3. Функции нескольких переменных  1.4.4. Частная производная  1.5. Интеграция  1.5.1. Интегрирование Римана и Лебега  1.5.2. Неправильные интегралы  1.5.3. Теория меры: фундаментальный инструмент в интеграции  1.5.4. Теорема Фубини  1.6. Функциональный анализ  1.6.1. Понимание пространства Банака  1.6.2. Пространства Гильберта  1.6.3. Операторы на пространствах  1.6.4. Спектральная теория
  2. Абстрактная алгебра  2.1. Понимание групп в абстрактной алгебре  2.1.1. Определения и примеры групп в абстрактной алгебре  2.1.2. Гомоморфизмы групп  2.1.3. Введение в нормальные подгруппы  2.1.4. Теорема Силова  2.2. Кольца и поля  2.2.1. Идеалы и фактор-кольца  2.2.2. Расширения полей  2.2.3. Теория Галуа  2.2.4. Полиномиальные кольца  2.3. Введение в модули в абстрактной алгебре  2.3.1. Гомоморфизм модуля  2.3.2. Свободные модули  2.3.3. Введение в тензорные произведения  2.3.4. Точная последовательность в модулях  2.4. Линейная алгебра  2.4.1. Векторное пространство  2.4.2. Собственные значения и собственные векторы  2.4.3. Векторное пространство с внутренним произведением  2.4.4. Диагонализация
  3. Топология  3.1. Общая топология  3.1.1. Открытые и закрытые множества  3.1.2. Компактность и связность  3.1.3. Непрерывные отображения  3.1.4. Аксиома отделимости  3.2. Алгебраическая топология  3.2.1. Понимание фундаментальных групп в алгебраической топологии  3.2.2. Гомотопия и гомология  3.2.3. Симплициальный комплекс  3.2.4. Точные последовательности в гомологии  3.3. Дифференциальная топология  3.3.1. Понимание многообразий в дифференциальной топологии  3.3.2. Гладкие функции  3.3.3. Тангенциальное и котангенциальное пространство  3.3.4. Векторные расслоения
  4. Дифференциальные уравнения  4.1. Обыкновенные дифференциальные уравнения  4.1.1. Дифференциальные уравнения первого порядка  4.1.2. Линейные уравнения второго порядка  4.1.3. Системы дифференциальных уравнений  4.1.4. Анализ устойчивости в обыкновенных дифференциальных уравнениях  4.2. Частные дифференциальные уравнения  4.2.1. Классификация уравнений с частными производными  4.2.2. Понимание рядов Фурье в уравнениях с частными производными  4.2.3. Введение в функции Грина  4.2.4. Метод характеристик  4.3. Динамические системы в дифференциальных уравнениях  4.3.1. Теория устойчивости  4.3.2. Предельные циклы в динамических системах  4.3.3. Теория хаоса  4.3.4. Теория бифуркаций
  5. Теория вероятностей и статистика  5.1. Теория вероятностей  5.1.1. Случайные переменные  5.1.2. Распределения вероятностей  5.1.3. Закон больших чисел  5.1.4. Центральная предельная теорема  5.2. Статистическое вывод  5.2.1. Проверка гипотез  5.2.2. Доверительный интервал  5.2.3. Байесовские методы  5.2.4. Метод максимального правдоподобия  5.3. Стохастические процессы  5.3.1. Цепи Маркова  5.3.2. Броуновское движение  5.3.3. Понимание процессов Пуассона  5.3.4. Мартингейлы: всестороннее исследование в вероятности и статистике
  6. Численный анализ  6.1. Численное решение уравнений  6.1.1. Оригинальное открытие  6.1.2. Итерационные методы  6.1.3. Анализ сходимости  6.1.4. Границы ошибок в численных решениях уравнений  6.2. Численная линейная алгебра  6.2.1. Факторизация матриц  6.2.2. Вычисление собственных значений  6.2.3. Разреженные матрицы  6.2.4. Методы предобработки  6.3. Численное интегрирование и дифференцирование  6.3.1. Методы квадратур  6.3.2. Введение в конечные разности  6.3.3. Анализ ошибок в численном интегрировании и дифференцировании  6.3.4. Адаптивные методы в численном интегрировании и дифференцировании
  7. Комплексный анализ  7.1. Комплексные числа  7.1.1. Полярная форма  7.1.2. Комплексные сопряженные  7.1.3. Экспоненциальная форма комплексных чисел  7.1.4. Корни из единицы  7.2. Аналитические функции  7.2.1. Уравнения Коши — Римана  7.2.2. Степенные ряды  7.2.3. Конформное отображение  7.2.4. Гармонические функции  7.3. Интегрирование на комплексной плоскости  7.3.1. Теорема Коши  7.3.2. Теорема о вычетах  7.3.3. Контурное интегрирование  7.3.4. Интегральные преобразования
  8. Математическая логика и основания  8.1. Пропозициональная логика  8.1.1. Таблицы истинности  8.1.2. Логическая эквивалентность в пропозициональной логике  8.1.3. Техники доказательства в пропозициональной логике  8.1.4. Решение в пропозициональной логике  8.2. Логика предикатов  8.2.1. Кванторы в предикатной логике  8.2.2. Формальные системы в предикатной логике  8.2.3. Полнота и правильность  8.2.4. Модельная теория  8.3. Теория множеств  8.3.1. Кардинальность и ординальность  8.3.2. Аксиоматические системы  8.3.3. Понимание теории множеств Цермело-Френкеля  8.3.4. Силы в теории множества
  9. Настройка  9.1. Линейное программирование  9.1.1. Метод симплекс  9.1.2. Двойственность в линейном программировании  9.1.3. Анализ чувствительности в линейном программировании  9.1.4. Методы внутренних точек  9.2. Нелинейное программирование  9.2.1. Градиентный спуск  9.2.2. Множители Лагранжа  9.2.3. Выпуклая оптимизация  9.2.4. Квадратичное программирование  9.3. Комбинаторная оптимизация  9.3.1. Алгоритмы графов  9.3.2. Целочисленное программирование  9.3.3. Сетевой поток  9.3.4. Алгоритмы аппроксимации
  10. Дискретная математика  10.1. Теория графов  10.1.1. Представление графов  10.1.2. Плоскость и цвет  10.1.3. Алгоритм поиска кратчайшего пути  10.1.4. Сетевой поток  10.2. Компаньонство  10.2.1. Перестановка и сочетание  10.2.2. Порождающая функция  10.2.3. Рекуррентные соотношения  10.2.4. Понимание принципа включения-исключения  10.3. Криптография  10.3.1. Применение теории чисел в криптографии  10.3.2. Симметричное и асимметричное шифрование  10.3.3. RSA и криптография на эллиптических кривых  10.3.4. Постквантовая криптография

Магистратура → Настройка → Комбинаторная оптимизация ↓


Сетевой поток


Сетевые потоки играют основополагающую роль в области комбинаторной оптимизации, ветвь математической оптимизации. Изучение сетевых потоков – это способ моделирования и решения различных задач по распределению и выделению ресурсов. Алгоритмы сетевых потоков помогают улучшить маршрутизацию трафика, коммуникационные сети, логистику и множество других процессов. Давайте углубимся в эту концепцию, разберем её основы, приложения и то, как математические алгоритмы используются для решения задач сетевых потоков.

Основные понятия сетевого потока

Сеть в этом контексте обычно состоит из узлов (или вершин) и рёбер (или дуг), соединяющих эти узлы. Простая метафора – это дорожная карта города, где перекрестки – это узлы, а дороги – рёбра. У каждого ребра есть пропускная способность, которая представляет собой максимальный поток, который может пройти через него.

g = (v, e)

Здесь G обозначает граф, V – это множество вершин (узлов), а E – множество рёбер. Сетевой поток означает нахождение оптимального способа отправки потока от источника к стоку, соблюдая ограничения по пропускам рёбер.

Важные термины в сетевом потоке

  • Узел-источник: Это отправная точка потока. В некоторых задачах может быть несколько узлов-источников.
  • Узел-сток: Это конечная точка потока. В некоторых сценариях может быть несколько узлов-стоков.
  • Пропускная способность: Максимальный поток, который может передаваться ребром.
  • Поток: Фактическое количество, которое проходит через ребро между двумя узлами.
  • Остаточная пропускная способность: Дополнительная доступная пропускная способность на остатке. Это количество, полученное вычитанием потока из исходной пропускной способности.

Защита потока

Основной принцип в сетевом потоке – сохранение потока. Для любого промежуточного узла (ни источник, ни сток) количество входящего потока должно быть равно количеству выходного потока. Математически, для любого узла v :

(sum_{text{входящий поток в } v} = sum_{text{исходящий поток из } v})

Задача максимального потока

Самая популярная задача в сетевом потоке – это задача максимального потока. Она подразумевает нахождение максимального возможного потока от узла-источника до узла-стока в сети. Ограничениями являются пропускная способность рёбер и сохранение потока на промежуточных узлах.

Алгоритм Форда-Фалкерсона

Алгоритм Форда-Фалкерсона – один из первых и наиболее часто используемых методов решения задачи максимального потока. Идея алгоритма заключается в том, чтобы начать с начального потока (обычно 0) и затем увеличивать его с помощью путей наращивания.

Вот простое поэтапное описание алгоритма Форда-Фалкерсона:

  1. Начинайте с потока 0.
  2. Найдите путь наращивания от источника до стока. Путь наращивания – это путь, по которому дополнительный поток может быть направлен от источника к стоку.
  3. Увеличьте поток вдоль этого пути на минимальную остаточную пропускную способность (узкое место) рёбер этого пути.
  4. Продолжайте повторять действия, описанные выше, пока оставшиеся пути наращивания не исчезнут.

Как только все пути наращивания будут исчерпаны, вы получите максимальную возможную пропускную способность.

Пример

Рассмотрим простую сеть с узлами A (источник), B, C и D (стоки) и следующими рёбрами с пропускными способностями:

a -> b : 4
A -> C : 5
B -> C : 3
B -> D : 2
C -> D : 6

Вообразим эту сеть:

A B C D 4 5 2 6 3

В этой сети вы можете начать с пути A -> B -> D. Здесь пропускная способность узкого места – 2, поэтому вы увеличиваете поток по этому пути на 2 единицы.

Затем используйте путь A -> C -> D. Здесь узкое место – 5 единиц, но так как ранее вы добавили поток в 2 на участке B -> D, текущая доступная пропускная способность от C -> D становится 4 (изначальная 6 – 2 уже заняты от B -> D).

Таким образом, максимальный поток от A до D достигает 2 + 4 = 6 единиц.

Задача минимальной стоимости максимального потока

Задача максимальной стоимости минимального потока основана на задаче максимального потока с добавлением стоимости к рёбрам. Её целью является не только нахождение максимального возможного потока, но и минимизация его стоимости.

В этой задаче каждое ребро имеет пропускную способность, а также стоимость. Стоимость взымается за каждую единицу потока на этом ребре, и целью является минимизация общей стоимости при достижении максимального потока.

Пример

Рассмотрим описанную выше сеть, но теперь добавим стоимости к рёбрам:

A -> B : 4 (стоимость 1)
A -> C : 5 (стоимость 2)
B -> C : 3 (стоимость 1)
B -> D : 2 (стоимость 3)
C -> D : 6 (стоимость 1)

Цель – увеличить поток от A до D как можно больше, но при этом минимизировать стоимость этого потока. Решения обычно используют алгоритмы, такие как алгоритм последовательного поиска кратчайшего пути, который итеративно увеличивает пути с минимальной стоимостью до тех пор, пока поток не будет максимизирован.

Приложения сетевых потоков

Сетевые потоки и их алгоритмы широко используются в различных реальных приложениях:

  • Транспорт: Оптимизация потока трафика, планирование светофоров и планирование маршрутов в логистических сетях.
  • Телекоммуникации: Маршрутизация данных через сетевые пути для минимизации задержек, оптимизации распределения пропускной способности и улучшения общей эффективности сети.
  • Управление проектами: Сетевые потоки могут быть использованы в методах управления проектами PERT и CPM для оптимизации распределения ресурсов и сокращения времени завершения проекта.
  • Цепочка поставок: Оптимизация распределительных сетей, определение оптимальных маршрутов доставки и минимизация транспортных расходов.
  • Энергетическая сеть: Эффективное управление потоком электроэнергии от электростанций к потребителям.

Заключение

Сетевые потоки представляют собой важный способ моделирования и решения сложных задач оптимизации, связанных с распределением ресурсов или информации. Сочетая теоретические концепции и надежные алгоритмы, модели сетевого потока являются мощными инструментами во многих областях, предоставляя решения, которые находят баланс между осуществимостью и оптимизацией.

Понимая основы, такие как задачи максимального потока и минимальной стоимости максимального потока, и применяя алгоритмы, такие как Форд-Фалкерсон или последовательный поиск кратчайшего пути, сетевые потоки могут эффективно решать различные задачи в логистике, коммуникациях и управлении ресурсами.


Магистратура → 9.3.3


U
username
0%
завершено в Магистратура

← предыдущая (9.3.2)
Целочисленное программирование
следующая (9.3.4) →
Алгоритмы аппроксимации

комментарии 



Сетевой поток

https://www.buddymath.com/g/9.3.3?bmal=ru