二次計画法

二次計画法（Quadratic Programming, QP）は特別な種類の数学的最適化問題です。これは最適化の分野で重要なトピックであり、金融、機械学習、制御システムなど多くの実用的なアプリケーションで広く使用されています。このガイドの目的は、二次計画法の概念、数学、および応用を簡単に説明することです。

二次計画法とは何ですか？

二次計画法は、線形制約の下での二次目的関数の最適化（最小化または最大化）を扱います。以下に分解します：

• 二次目的関数 は、最高次の項が二乗である数学的関数です。一般的な形は次のように書かれます：

  f(x) = 0.5 * x T Qx + c T x,
              

  ここで、Q は nxn 対称行列、c は n 個の実数のベクトル、x は変数のベクトルです。
• 線形制約 は、変数が取ることができる値を制限する制約です。その一般的な形は次のとおりです：

  Ax ≤ b,
              

  ここで、A は行列、x は変数のベクトル、b は制約のベクトルです。制約は等式または不等式である可能性があります。

数学的表現

二次計画問題の標準形は次のとおりです：

最小化: f(x) = 0.5 * x T Qx + c T x

対象:
    Ax ≤ b
    x = d
    x ≥ 0
    

ここで：

• x T はベクトル x の転置です。
• Q は、問題が凸であることを保証する正半定行列です。
• A と E は、それぞれ不等式制約と等式制約を表す行列です。
• b と d は、それぞれ不等式制約と等式制約の定数を表すベクトルです。

簡単な例を通じての理解

より良く理解するために、簡単な二次計画問題を考えてみましょう。

例1: 簡単なポートフォリオ最適化

2 つの投資オプションがあり、それぞれにどれだけ投資するかを決めなければならないとします。目的は特定の期待収益を達成しながらリスク（分散）を最小化することです。二次関数はポートフォリオの分散（リスク）を表すことができます。

次の二次方程式で分散を表すとします：

最小化: f(x) = 0.5 * (x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2 )

対象:
    x 1 + x 2 = 1 （割り当ての合計は1でなければならない）
    x 1 ≥ 0
    x 2 ≥ 0
    

この問題は、合計が1であり、どちらも負でないときにリスクを最小化するx 1およびx 2の値を見つけるように求めています。

二次面プログラムの可視化

二次関数と制約を見ることで、問題の解空間を理解できます：

上の可視化では、淡い青色の円が関数の二次的特性を表し、赤い線は制約を表しています。実現可能な領域（解が存在できる場所）は、制約と目的関数の可能値との交差部分です。

二次計画問題の解決

二次計画問題は、問題のサイズと複雑さに応じて異なる方法で解決できます。一般的な方法は次のとおりです：

• 解析的方法： 小規模な問題に適しており、微分を計算してそれらをゼロに設定して最小点を見つける方法です。
• 数値的方法： より大きな問題には、アクティブセット法や内部点法などの数値的手法が使用されます。これらの方法は、実現可能領域内を探索して最適な解を見つけることから始まります。
• ソフトウェアツール： MATLAB、CVX、PythonのSciPyライブラリなどのツールは、QP問題の簡単なセットアップと解決を可能にします。

二次計画法の応用

二次関係や制約を効率的に処理する能力から、二次計画法は様々な業界や分野で使用されます。

金融

金融では、QPはポートフォリオ最適化に使用されます。ここで、ポートフォリオリターンの分散（またはリスク）は、望まれるリターン水準の達成などの制約の下で最小化されます。

機械学習

機械学習では、QPはサポートベクターマシンの分類タスクで使用され、異なるクラスを分離する最大マージン超平面を見つけるのに役立ちます。

制御システム

二次計画法は、モデル予測制御（MPC）でも使用され、システムの動力学と制約を考慮し、希望するパフォーマンスを達成する制御入力を最適化します。

深い数学的理解

二次計画法をより形式的に理解するために、いくつかの数学的側面を見てみましょう：

凸性

行列Qは二次関数が凸であることを保証します。凸関数は特異な特性を持ち、任意の局所的最小値がグローバル最小値でもあるため、問題解決のプロセスが簡素化されます。

行列が正半定（PSD）であるには、そのすべての固有値が非負である必要があります。この性質が凸性を保証します。

双対問題

二次計画法は線型計画法と同様に双対問題も持っています。双対問題を解くことは、洞察や代替の数値解を提供することがよくあります。

二次計画の双対は、双対変数を通じて元の問題と接続しており、元の問題の目的関数の境界を与えます。

結論

二次計画法は、目的関数が二次であり線形制約を受ける最適化のための多用途で強力な方法です。多くの分野で大規模で複雑な問題を処理できる能力は非常に価値があります。基本概念、応用、解決技術を理解することで、現実世界のシナリオで効果的に二次計画の課題に取り組むことができます。

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