Posgrado
  1. Introducción al análisis real  1.1. Teoría de conjuntos y lógica en el análisis real  1.1.1. Conjuntos y operaciones en teoría de conjuntos y lógica en análisis real  1.1.2. Relaciones y funciones  1.1.3. Lógica y cuantificadores  1.1.4. Cardinalidad de conjuntos  1.2. Espacio métrico  1.2.1. Introducción a conjuntos abiertos y cerrados en espacios métricos  1.2.2. Convergencia de secuencias en un espacio métrico  1.2.3. Función continua en un espacio métrico  1.2.4. Compacidad y completitud en espacios métricos en análisis real  1.3. Secuencias y series  1.3.1. Convergencia de secuencias  1.3.2. Series infinitas  1.3.3. Convergencia uniforme  1.3.4. Serie de potencias  1.4. Discriminación  1.4.1. Teorema del valor medio  1.4.2. Serie de Taylor  1.4.3. Funciones de varias variables  1.4.4. Derivada parcial  1.5. Integración  1.5.1. Integración de Riemann y Lebesgue  1.5.2. Integrales impropias  1.5.3. Teoría de la medida: una herramienta fundamental en la integración  1.5.4. Teorema de Fubini  1.6. Análisis funcional  1.6.1. Comprendiendo los espacios de Banach  1.6.2. Espacios de Hilbert  1.6.3. Operadores en espacios  1.6.4. Teoría espectral
  2. Álgebra abstracta  2.1. Entendiendo los grupos en el álgebra abstracta  2.1.1. Definiciones y ejemplos de grupos en álgebra abstracta  2.1.2. Homomorfismos de grupos  2.1.3. Introducción a los subgrupos normales  2.1.4. Teorema de Sylow  2.2. Anillos y campos  2.2.1. Ideales y anillos cociente  2.2.2. Extensiones de campos  2.2.3. Teoría de Galois  2.2.4. Anillos de polinomios  2.3. Introducción a los módulos en álgebra abstracta  2.3.1. Homomorfismo de módulos  2.3.2. Módulos libres  2.3.3. Introducción a los productos tensoriales  2.3.4. Secuencia exacta en módulos  2.4. Álgebra lineal  2.4.1. Espacio vectorial  2.4.2. Autovalores y autovectores  2.4.3. Espacio de producto interior  2.4.4. Diagonalización
  3. Topología  3.1. Topología general  3.1.1. Conjuntos abiertos y cerrados  3.1.2. Compacidad y conexión  3.1.3. Mapas continuos  3.1.4. Axioma de separación  3.2. Topología algebraica  3.2.1. Comprensión de los grupos fundamentales en la topología algebraica  3.2.2. Homotopía y homología  3.2.3. Complejo simplicial  3.2.4. Secuencias exactas en homología  3.3. Topología diferencial  3.3.1. Comprendiendo las variedades en topología diferencial  3.3.2. Funcionamiento suave  3.3.3. Espacio tangente y cotangente  3.3.4. Fibrados vectoriales
  4. Ecuaciones diferenciales  4.1. Ecuación diferencial ordinaria  4.1.1. Ecuaciones de primer orden  4.1.2. Ecuaciones lineales de segundo orden  4.1.3. Sistemas de ecuaciones diferenciales  4.1.4. Análisis de estabilidad en ecuaciones diferenciales ordinarias  4.2. Ecuaciones en derivadas parciales  4.2.1. Clasificación de EDP  4.2.2. Entendiendo las series de Fourier en ecuaciones diferenciales parciales  4.2.3. Introducción a las funciones de Green  4.2.4. Método de caracterización  4.3. Sistemas dinámicos en ecuaciones diferenciales  4.3.1. Teoría de la sostenibilidad  4.3.2. Ciclos límite en sistemas dinámicos  4.3.3. Teoría del caos  4.3.4. Teoría de bifurcación
  5. Probabilidad y estadística  5.1. Teoría de la probabilidad  5.1.1. Variables aleatorias  5.1.2. Distribuciones de probabilidad  5.1.3. Ley de los grandes números  5.1.4. Teorema del límite central  5.2. Inferencia estadística  5.2.1. Pruebas de hipótesis  5.2.2. Intervalo de confianza  5.2.3. Métodos bayesianos  5.2.4. Estimación de máxima verosimilitud  5.3. Procesos estocásticos  5.3.1. Cadenas de Markov  5.3.2. Movimiento browniano  5.3.3. Comprendiendo los procesos de Poisson  5.3.4. Martingalas: Un estudio integral en probabilidad y estadística
  6. Análisis numérico  6.1. Soluciones numéricas de ecuaciones  6.1.1. Descubrimiento original  6.1.2. Métodos iterativos  6.1.3. Análisis de convergencia  6.1.4. Cotas de error en soluciones numéricas de ecuaciones  6.2. Álgebra lineal numérica  6.2.1. Factorización de matrices  6.2.2. Cálculo de valores propios  6.2.3. Matrices dispersas  6.2.4. Técnicas de preacondicionamiento  6.3. Integración y diferenciación numérica  6.3.1. Métodos de cuadratura  6.3.2. Introducción a las diferencias finitas  6.3.3. Análisis de errores en la integración y diferenciación numérica  6.3.4. Métodos adaptativos en integración y diferenciación numérica
  7. Análisis complejo  7.1. Números complejos  7.1.1. Forma polar  7.1.2. Conjugados complejos  7.1.3. Forma exponencial de los números complejos  7.1.4. Raíces de la unidad  7.2. Funciones analíticas  7.2.1. Ecuaciones de Cauchy–Riemann  7.2.2. Series de potencias  7.2.3. Mapeo conforme  7.2.4. Funciones armónicas  7.3. Integración en el plano complejo  7.3.1. Teorema de Cauchy  7.3.2. Teorema del residuo  7.3.3. Integración de contornos  7.3.4. Transformaciones integrales
  8. Lógica matemática y fundamentos  8.1. Lógica proposicional  8.1.1. Tablas de verdad  8.1.2. Equivalencia lógica en la lógica proposicional  8.1.3. Técnicas de demostración en lógica proposicional  8.1.4. Solución en lógica proposicional  8.2. Lógica de predicados  8.2.1. Cuantificadores en lógica de predicados  8.2.2. Sistemas formales en lógica de predicados  8.2.3. Integridad y solidez  8.2.4. Teoría de modelos  8.3. Teoría de conjuntos  8.3.1. Cardinalidad y ordinalidad  8.3.2. Sistemas axiomáticos  8.3.3. Comprender la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel  8.3.4. Fuerzas en la teoría de conjuntos
  9. Personalización  9.1. Programación lineal  9.1.1. Método simplex  9.1.2. Dualidad en la programación lineal  9.1.3. Análisis de sensibilidad en programación lineal  9.1.4. Métodos de punto interior  9.2. Programación no lineal  9.2.1. Descenso de gradiente  9.2.2. Multiplicadores de Lagrange  9.2.3. Optimización convexa  9.2.4. Programación cuadrática  9.3. Optimización Combinatoria  9.3.1. Algoritmos de grafos  9.3.2. Programación entera  9.3.3. Flujo de red  9.3.4. Algoritmos de aproximación
  10. Matemáticas discretas  10.1. Teoría de grafos  10.1.1. Representación de grafos  10.1.2. Llanura y color  10.1.3. Algoritmo de camino más corto  10.1.4. Flujo de red  10.2. Compañerismo  10.2.1. Permutación y combinación  10.2.2. Función generadora  10.2.3. Relación de recurrencia  10.2.4. Comprendiendo el Principio de Inclusión-Exclusión  10.3. Criptografía  10.3.1. Aplicaciones de la teoría de números en criptografía  10.3.2. Criptografía Simétrica y Asimétrica  10.3.3. RSA y criptografía de curvas elípticas  10.3.4. Criptografía post-cuántica

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Programación cuadrática


La programación cuadrática (QP) es un tipo especial de problema de optimización matemática. Es un tema importante en el campo de la optimización, que se utiliza ampliamente en muchas otras aplicaciones prácticas como finanzas, aprendizaje automático y sistemas de control. El propósito de esta guía es explicar los conceptos, las matemáticas y las aplicaciones de la programación cuadrática en términos simples.

¿Qué es la programación cuadrática?

La programación cuadrática se ocupa de la optimización (minimización o maximización) de una función objetivo cuadrática sujeta a restricciones lineales. Vamos a desglosarlo:

  • La función objetivo cuadrática es una función matemática donde el término con la mayor potencia es el cuadrado. En forma general, se escribe como:
    f(x) = 0.5 * x t qx + c t x,
    donde Q es una matriz simétrica nxn, c es un vector de n números reales, y x es un vector de variables.
  • Restricciones lineales son restricciones que limitan los valores que una variable puede tomar. Su forma general es:
    a ≤ b,
    donde A es una matriz, x es un vector de variables, y b es un vector de restricciones. Las restricciones pueden ser igualdades o desigualdades.

Representación matemática

La forma estándar de un problema de programación cuadrática es la siguiente:

Minimizar: f(x) = 0.5 * x T Qx + c T x

sujeto a:
    axis ≤ b
    x = d
    x ≥ 0

Aquí:

  • x T es la transpuesta del vector x .
  • Q es una matriz semidefinida positiva que asegura que el problema sea convexo.
  • A y E son matrices que representan restricciones de desigualdad e igualdad, respectivamente.
  • b y d son vectores que representan constantes para las restricciones de desigualdad e igualdad, respectivamente.

Comprensión a través de ejemplos simples

Para una mejor comprensión, consideremos un simple problema de programación cuadrática.

Ejemplo 1: Optimización de cartera simple

Imagina que tienes dos opciones de inversión y debes decidir cuánto invertir en cada opción. El objetivo es minimizar el riesgo (varianza) mientras se alcanza un cierto retorno esperado. La función cuadrática representa la varianza (riesgo) del portafolio.

Supongamos que la varianza puede ser representada por la siguiente ecuación cuadrática:

Minimizar: f(x) = 0.5 * (x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2 )

sujeto a:
    x 1 + x 2 = 1 (la suma de las asignaciones debe ser 1)
    x 1 ≥ 0
    x 2 ≥ 0

El problema nos pide encontrar los valores de x 1 y x 2 que minimizan el riesgo, siempre que su suma sea 1 y ambos no sean negativos.

Visualización de la programación cuadrática

Observar las funciones cuadráticas y las restricciones puede ayudar a entender el espacio de soluciones de un problema:


    
    
    
    región factible

En la visualización anterior, el círculo azul claro representa la naturaleza cuadrática de la función. Las líneas rojas representan las restricciones. La región factible (donde pueden existir soluciones) es la intersección de las restricciones y los posibles valores de la función objetivo.

Resolviendo problemas de programación cuadrática

Los problemas de programación cuadrática se pueden resolver utilizando diferentes métodos, dependiendo del tamaño y la complejidad del problema. Algunos de los métodos comunes son los siguientes:

  • Métodos analíticos: Adecuados para problemas pequeños, estos métodos implican calcular derivadas y establecerlas a cero para encontrar el punto mínimo.
  • Métodos numéricos: Para problemas más grandes, se utilizan métodos numéricos como el método del conjunto activo o el método del punto interior. Estos métodos comienzan buscando dentro de la región factible para encontrar la solución óptima.
  • Herramientas de software: Herramientas como MATLAB, CVX y la biblioteca SciPy de Python permiten una configuración y solución sencilla de problemas de QP.

Aplicaciones de la programación cuadrática

La programación cuadrática se utiliza en varias industrias y campos debido a su capacidad para manejar de manera eficiente relaciones cuadráticas y restricciones.

Finanzas

En finanzas, QP se utiliza para la optimización de carteras, donde se minimiza la varianza (o riesgo) de los rendimientos de la cartera, dadas las restricciones como lograr un nivel deseado de retorno.

Aprendizaje automático

En el aprendizaje automático, QP se utiliza en máquinas de vectores de soporte para tareas de clasificación, donde ayuda a encontrar el hiperplano de margen máximo que separa diferentes clases.

Sistema de control

La programación cuadrática también se utiliza en el control predictivo de modelos (MPC, por sus siglas en inglés), donde optimiza las entradas de control sujetas a la dinámica del sistema y restricciones para lograr el rendimiento deseado.

Comprensión matemática profunda

Para adquirir una comprensión más formal de la programación cuadrática, veamos algunos aspectos matemáticos:

Convexidad

La matriz Q asegura que la función cuadrática es convexa. Las funciones convexas tienen la propiedad especial de que cualquier mínimo local es también un mínimo global, lo que simplifica el proceso de resolución de problemas.

Para que una matriz sea semidefinida positiva (PSD), todos sus autovalores deben ser no negativos. Esta propiedad asegura la convexidad.

Problema dual

La programación cuadrática también tiene un problema de dualidad, que es similar a la programación lineal. Resolver el problema de dualidad a menudo proporciona información o soluciones numéricas alternativas.

El dual de un programa cuadrático se conecta con el problema original a través de variables duales y proporciona límites en la función objetivo del problema original.

Conclusión

La programación cuadrática es un método versátil y poderoso para la optimización donde la función objetivo es cuadrática y está sujeta a restricciones lineales. Su capacidad para manejar problemas grandes y complejos lo hace invaluable en muchos campos. Al entender los conceptos básicos, las aplicaciones y las técnicas de solución, uno puede abordar de manera efectiva los desafíos de programación cuadrática en escenarios del mundo real.


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