Магистратура
  1. Введение в математический анализ  1.1. Теория множеств и логика в реальном анализе  1.1.1. Множества и операции в теории множеств и логике в реальном анализе  1.1.2. Отношения и функции  1.1.3. Логика и кванторы  1.1.4. Мощность множеств  1.2. Метрика  1.2.1. Введение в открытые и замкнутые множества в метрических пространствах  1.2.2. Сходимость последовательностей в метрическом пространстве  1.2.3. Непрерывная функция в метрическом пространстве  1.2.4. Компактность и полнота в метрических пространствах в реальном анализе  1.3. Последовательности и ряды  1.3.1. Сходимость последовательностей  1.3.2. Бесконечные ряды  1.3.3. Равномерная сходимость  1.3.4. Ряды степеней  1.4. Дискриминация  1.4.1. Теорема о среднем значении  1.4.2. Ряд Тейлора  1.4.3. Функции нескольких переменных  1.4.4. Частная производная  1.5. Интеграция  1.5.1. Интегрирование Римана и Лебега  1.5.2. Неправильные интегралы  1.5.3. Теория меры: фундаментальный инструмент в интеграции  1.5.4. Теорема Фубини  1.6. Функциональный анализ  1.6.1. Понимание пространства Банака  1.6.2. Пространства Гильберта  1.6.3. Операторы на пространствах  1.6.4. Спектральная теория
  2. Абстрактная алгебра  2.1. Понимание групп в абстрактной алгебре  2.1.1. Определения и примеры групп в абстрактной алгебре  2.1.2. Гомоморфизмы групп  2.1.3. Введение в нормальные подгруппы  2.1.4. Теорема Силова  2.2. Кольца и поля  2.2.1. Идеалы и фактор-кольца  2.2.2. Расширения полей  2.2.3. Теория Галуа  2.2.4. Полиномиальные кольца  2.3. Введение в модули в абстрактной алгебре  2.3.1. Гомоморфизм модуля  2.3.2. Свободные модули  2.3.3. Введение в тензорные произведения  2.3.4. Точная последовательность в модулях  2.4. Линейная алгебра  2.4.1. Векторное пространство  2.4.2. Собственные значения и собственные векторы  2.4.3. Векторное пространство с внутренним произведением  2.4.4. Диагонализация
  3. Топология  3.1. Общая топология  3.1.1. Открытые и закрытые множества  3.1.2. Компактность и связность  3.1.3. Непрерывные отображения  3.1.4. Аксиома отделимости  3.2. Алгебраическая топология  3.2.1. Понимание фундаментальных групп в алгебраической топологии  3.2.2. Гомотопия и гомология  3.2.3. Симплициальный комплекс  3.2.4. Точные последовательности в гомологии  3.3. Дифференциальная топология  3.3.1. Понимание многообразий в дифференциальной топологии  3.3.2. Гладкие функции  3.3.3. Тангенциальное и котангенциальное пространство  3.3.4. Векторные расслоения
  4. Дифференциальные уравнения  4.1. Обыкновенные дифференциальные уравнения  4.1.1. Дифференциальные уравнения первого порядка  4.1.2. Линейные уравнения второго порядка  4.1.3. Системы дифференциальных уравнений  4.1.4. Анализ устойчивости в обыкновенных дифференциальных уравнениях  4.2. Частные дифференциальные уравнения  4.2.1. Классификация уравнений с частными производными  4.2.2. Понимание рядов Фурье в уравнениях с частными производными  4.2.3. Введение в функции Грина  4.2.4. Метод характеристик  4.3. Динамические системы в дифференциальных уравнениях  4.3.1. Теория устойчивости  4.3.2. Предельные циклы в динамических системах  4.3.3. Теория хаоса  4.3.4. Теория бифуркаций
  5. Теория вероятностей и статистика  5.1. Теория вероятностей  5.1.1. Случайные переменные  5.1.2. Распределения вероятностей  5.1.3. Закон больших чисел  5.1.4. Центральная предельная теорема  5.2. Статистическое вывод  5.2.1. Проверка гипотез  5.2.2. Доверительный интервал  5.2.3. Байесовские методы  5.2.4. Метод максимального правдоподобия  5.3. Стохастические процессы  5.3.1. Цепи Маркова  5.3.2. Броуновское движение  5.3.3. Понимание процессов Пуассона  5.3.4. Мартингейлы: всестороннее исследование в вероятности и статистике
  6. Численный анализ  6.1. Численное решение уравнений  6.1.1. Оригинальное открытие  6.1.2. Итерационные методы  6.1.3. Анализ сходимости  6.1.4. Границы ошибок в численных решениях уравнений  6.2. Численная линейная алгебра  6.2.1. Факторизация матриц  6.2.2. Вычисление собственных значений  6.2.3. Разреженные матрицы  6.2.4. Методы предобработки  6.3. Численное интегрирование и дифференцирование  6.3.1. Методы квадратур  6.3.2. Введение в конечные разности  6.3.3. Анализ ошибок в численном интегрировании и дифференцировании  6.3.4. Адаптивные методы в численном интегрировании и дифференцировании
  7. Комплексный анализ  7.1. Комплексные числа  7.1.1. Полярная форма  7.1.2. Комплексные сопряженные  7.1.3. Экспоненциальная форма комплексных чисел  7.1.4. Корни из единицы  7.2. Аналитические функции  7.2.1. Уравнения Коши — Римана  7.2.2. Степенные ряды  7.2.3. Конформное отображение  7.2.4. Гармонические функции  7.3. Интегрирование на комплексной плоскости  7.3.1. Теорема Коши  7.3.2. Теорема о вычетах  7.3.3. Контурное интегрирование  7.3.4. Интегральные преобразования
  8. Математическая логика и основания  8.1. Пропозициональная логика  8.1.1. Таблицы истинности  8.1.2. Логическая эквивалентность в пропозициональной логике  8.1.3. Техники доказательства в пропозициональной логике  8.1.4. Решение в пропозициональной логике  8.2. Логика предикатов  8.2.1. Кванторы в предикатной логике  8.2.2. Формальные системы в предикатной логике  8.2.3. Полнота и правильность  8.2.4. Модельная теория  8.3. Теория множеств  8.3.1. Кардинальность и ординальность  8.3.2. Аксиоматические системы  8.3.3. Понимание теории множеств Цермело-Френкеля  8.3.4. Силы в теории множества
  9. Настройка  9.1. Линейное программирование  9.1.1. Метод симплекс  9.1.2. Двойственность в линейном программировании  9.1.3. Анализ чувствительности в линейном программировании  9.1.4. Методы внутренних точек  9.2. Нелинейное программирование  9.2.1. Градиентный спуск  9.2.2. Множители Лагранжа  9.2.3. Выпуклая оптимизация  9.2.4. Квадратичное программирование  9.3. Комбинаторная оптимизация  9.3.1. Алгоритмы графов  9.3.2. Целочисленное программирование  9.3.3. Сетевой поток  9.3.4. Алгоритмы аппроксимации
  10. Дискретная математика  10.1. Теория графов  10.1.1. Представление графов  10.1.2. Плоскость и цвет  10.1.3. Алгоритм поиска кратчайшего пути  10.1.4. Сетевой поток  10.2. Компаньонство  10.2.1. Перестановка и сочетание  10.2.2. Порождающая функция  10.2.3. Рекуррентные соотношения  10.2.4. Понимание принципа включения-исключения  10.3. Криптография  10.3.1. Применение теории чисел в криптографии  10.3.2. Симметричное и асимметричное шифрование  10.3.3. RSA и криптография на эллиптических кривых  10.3.4. Постквантовая криптография

Магистратура → Настройка ↓


Линейное программирование


Линейное программирование (LP) — это математический метод определения того, как добиться наилучшего результата в данной математической модели. Его функция представлена линейными отношениями. Линейное программирование — это метод оптимизации линейной функции цели при наличии линейных равенств и ограничений линейного неравенства.

Ключевые компоненты задачи линейного программирования следующие:

  • Целевая функция: Функция, которую необходимо оптимизировать, обычно максимизировать или минимизировать.
  • Переменные решений: Переменные, которые определяют результат, обычно обозначаемые как x, y, z и т. д.
  • Ограничения: Это ограничительные условия или пределы для переменных решений, часто в форме линейных неравенств или уравнений.
  • Ограничение на неотрицательность: Предполагается, что переменные решений неотрицательны, т. е. все значения равны нулю или положительны.

Формулировка задачи линейного программирования

Чтобы понять линейное программирование, рассмотрим следующий пример:

Предположим, что компания изготавливает два продукта: стулья и столы. Каждый стул приносит $30 прибыли, а каждый стол приносит $50. У компании есть ограничения по труду и материалам. На изготовление одного стула требуется 2 часа труда и 3 единицы материала. На изготовление одного стола требуется 4 часа труда и 2 единицы материала. У компании имеется максимум 100 часов труда и 120 единиц материала.

Чтобы максимизировать прибыль, мы можем сформулировать задачу линейного программирования следующим образом:

Максимум: Прибыль = 30x + 50y
при условии:
   2x + 4y ≤ 100 (Ограничение по труду)
   3x + 2y ≤ 120 (Ограничение по материалам)
   x ≥ 0, y ≥ 0 (Ограничение на неотрицательность)

Графическое представление

Задачи линейного программирования в двух переменных могут быть решены и представлены графически. Это выглядит так:

x (стулья) y (столы) 2x + 4y = 100 3x + 2y = 120

Допустимая область — это набор всех точек, которые удовлетворяют всем ограничениям. Она затенена серым цветом выше. Оптимальное решение находится в этой области. В этом примере оптимальная стратегия находится на пересечении ограничений, представленных красной точкой.

Метод симплекс

Когда количество переменных больше двух, графическое изображение невозможно. Поэтому используется метод симплекс, который является итерационным методом решения задач линейного программирования.

Метод симплекс включает следующие шаги:

  1. Начать с начальной угловой точки допустимой области.
  2. Оценить значение целевой функции в каждой вершине допустимой области.
  3. Переходить к соседней вершине, которая улучшает значение целевой функции.
  4. Продолжать этот процесс, пока возможно улучшение.
  5. Текущая вершина обеспечивает максимальное или минимальное значение целевой функции.

Пример использования метода симплекс

Рассмотрим следующую задачу линейного программирования:

Максимизировать: Z = 3x1 + 2x2
при условии:
   x1 + x2 ≤ 4
   x1 - x2 ≤ 2
   x1, x2 ≥ 0

Шаги для решения с использованием симплекс:

  1. Преобразовать неравенства в равенства, включая дополнительные переменные, s1 и s2:
    2.     x1 + x2 + s1 = 4
    x1 - x2 + s2 = 2
  2. Создать начальную симплекс-таблицу:
    3. x1 x2 S1 S2 Решение
    S1 1 1 1 0 4
    S2 1 -1 0 1 2
    Jade -3 -2 0 0 0
  3. Найти столбец опорного элемента (столбец с наиболее отрицательным коэффициентом в строке Z):

    4. Наиболее отрицательное значение равно -3 (столбец x1).

  4. Рассчитать отношения для нахождения опорной линии.
    5.     Для строки s1: 4/1 = 4
    Для строки s2: 2/1 = 2

    Выберите строку с наименьшим положительным отношением: строка s2.

  5. Выполнить операцию опорного элемента, чтобы сделать опорный элемент 1 и все остальные элементы в опорном столбце 0.
  6. Повторить этот процесс, пока в строке целевой функции не останется отрицательных коэффициентов.

Двойственность в линейном программировании

Каждая задача линейного программирования, называемая основной задачей, может быть преобразована в другую задачу линейного программирования, известную как двойственная задача. Решения двойственной и основной задач предоставляют границы для значения целевой функции.

Пример:

Основная задача:
Максимизировать: Z = 3x1 + 4x2
при условии:
   2x1 + 3x2 ≤ 8
   3x1 + 3x2 ≤ 6
   x1, x2 ≥ 0

Ее двойственная задача будет:

Минимизировать: W = 8y1 + 6y2
при условии:
   2y1 + y2 ≥ 3
   3y1 + 3y2 ≥ 4
   y1, y2 ≥ 0

Целевые функции в основной и двойственной задачах взаимосвязаны. Решение одной из них дает представление или ограничение для другой.

Применение линейного программирования

Линейное программирование широко используется в различных областях, включая:

  • Производство: Определение оптимальных уровней производства и запасов.
  • Финансы: Создание портфелей для максимизации доходности с минимальным риском.
  • Транспорт: Минимизация стоимости доставки товаров по сети.
  • Планирование диеты: Определение самой доступной диеты, которая соответствует всем требованиям по питанию.
  • Телекоммуникации: Для оптимального распределения пропускной способности и анализа сети.

Ограничения линейного программирования

Несмотря на свои широкие применения, линейное программирование имеет некоторые ограничения:

  • Модели основываются на линейности, в то время как реальные сценарии не всегда линейные.
  • Предполагается определенность коэффициентов; однако данные из реальной жизни могут быть неопределенными или переменными.
  • Решение должно полностью удовлетворять всем ограничениям, что не всегда возможно.
  • Оно не учиитывает целые переменные напрямую, что может быть важно в некоторых практических задачах.

Заключение

Линейное программирование предоставляет структуру для нахождения оптимальных решений при данных ограничениях. Хотя основное внимание уделяется оптимизации линейных целевых функций, его принципы являются основополагающими в исследованиях операций и управленческих науках. Инновации и оптимизации, такие как целочисленное линейное программирование и нелинейное программирование, расширяют его применимость на более сложные сценарии.


Магистратура → 9.1


U
username
0%
завершено в Магистратура

← предыдущая (9)
Настройка
следующая (9.1.1) →
Метод симплекс

комментарии 



Линейное программирование

https://www.buddymath.com/g/9.1?bmal=ru