Pós-graduação
  1. Introdução à análise real  1.1. Teoria dos conjuntos e lógica em análise real  1.1.1. Conjuntos e operações na teoria dos conjuntos e lógica em análise real  1.1.2. Relações e funções  1.1.3. Lógica e quantificadores  1.1.4. Cardinalidade dos conjuntos  1.2. Espaço métrico  1.2.1. Introdução aos conjuntos abertos e fechados em espaços métricos  1.2.2. Convergência de sequências em um espaço métrico  1.2.3. Função contínua em um espaço métrico  1.2.4. Compacidade e completude em espaços métricos na análise real  1.3. Sequências e séries  1.3.1. Convergência de sequências  1.3.2. Séries infinitas  1.3.3. Convergência uniforme  1.3.4. Séries de potências  1.4. Discriminação  1.4.1. Teorema do valor médio  1.4.2. Série de Taylor  1.4.3. Funções de várias variáveis  1.4.4. Derivada parcial  1.5. Integração  1.5.1. Integração de Riemann e Lebesgue  1.5.2. Integrais impróprias  1.5.3. Teoria da Medida: uma ferramenta fundamental na integração  1.5.4. Teorema de Fubini  1.6. Análise funcional  1.6.1. Compreendendo espaços de Banach  1.6.2. Espaços de Hilbert  1.6.3. Operadores em espaços  1.6.4. Teoria Espectral
  2. Álgebra Abstrata  2.1. Compreendendo grupos na álgebra abstrata  2.1.1. Definições e exemplos de grupos na álgebra abstrata  2.1.2. Homomorfismos de grupos  2.1.3. Introdução aos subgrupos normais  2.1.4. Teorema de Sylow  2.2. Anéis e campos  2.2.1. Ideais e anéis quocientes  2.2.2. Extensões de campos  2.2.3. Teoria de Galois  2.2.4. Anéis de polinômios  2.3. Introdução aos módulos em álgebra abstrata  2.3.1. Homomorfismo de Módulos  2.3.2. Módulos livres  2.3.3. Introdução aos produtos tensoriais  2.3.4. Sequência exata em módulos  2.4. Álgebra linear  2.4.1. Espaço vetorial  2.4.2. Autovalores e autovetores  2.4.3. Espaço de produto interno  2.4.4. Diagonalização
  3. Topologia  3.1. Topologia Geral  3.1.1. Conjuntos abertos e fechados  3.1.2. Compacidade e conexidade  3.1.3. Mapas contínuos  3.1.4. Axioma de separação  3.2. Topologia algébrica  3.2.1. Compreendendo grupos fundamentais em topologia algébrica  3.2.2. Homotopia e homologia  3.2.3. Complexo simplicial  3.2.4. Sequências exatas em homologia  3.3. Topologia Diferencial  3.3.1. Compreendendo variedades na topologia diferencial  3.3.2. Funções Suaves  3.3.3. Espaço tangente e cotangente  3.3.4. Feixes vetoriais
  4. Equações diferenciais  4.1. Equação diferencial ordinária  4.1.1. Equações de primeira ordem  4.1.2. Equações lineares de segunda ordem  4.1.3. Sistemas de equações diferenciais  4.1.4. Análise de estabilidade em equações diferenciais ordinárias  4.2. Equações diferenciais parciais  4.2.1. Classificação de PDE  4.2.2. Compreendendo séries de Fourier em equações diferenciais parciais  4.2.3. Introdução às funções de Green  4.2.4. Método de caracterização  4.3. Sistemas dinâmicos em equações diferenciais  4.3.1. Teoria da Sustentabilidade  4.3.2. Ciclos limite em sistemas dinâmicos  4.3.3. Teoria do caos  4.3.4. Teoria da bifurcação
  5. Probabilidade e estatística  5.1. Teoria da probabilidade  5.1.1. Variáveis aleatórias  5.1.2. Distribuições de probabilidade  5.1.3. Lei dos grandes números  5.1.4. Teorema Central do Limite  5.2. Inferência estatística  5.2.1. Teste de hipótese  5.2.2. Intervalo de confiança  5.2.3. Métodos bayesianos  5.2.4. Estimativa de máxima verossimilhança  5.3. Processos estocásticos  5.3.1. Cadeias de Markov  5.3.2. Movimento Browniano  5.3.3. Compreendendo os processos de Poisson  5.3.4. Martingales: Um estudo abrangente em probabilidade e estatística
  6. Análise numérica  6.1. Soluções numéricas de equações  6.1.1. Descoberta original  6.1.2. Métodos iterativos  6.1.3. Análise de convergência  6.1.4. Limites de erro em soluções numéricas de equações  6.2. Álgebra linear numérica  6.2.1. Fatoração de matrizes  6.2.2. Cálculo de autovalores  6.2.3. Matrizes esparsas  6.2.4. Técnicas de pré-condicionamento  6.3. Integração e diferenciação numéricas  6.3.1. Métodos de quadratura  6.3.2. Introdução às diferenças finitas  6.3.3. Análise de erro na integração e diferenciação numérica  6.3.4. Métodos adaptativos em integração e diferenciação numérica
  7. Análise complexa  7.1. Números complexos  7.1.1. Forma polar  7.1.2. Conjugados Complexos  7.1.3. Forma exponencial de números complexos  7.1.4. Raízes da unidade  7.2. Funções analíticas  7.2.1. Equações de Cauchy–Riemann  7.2.2. Séries de potências  7.2.3. Mapeamento conforme  7.2.4. Funções harmônicas  7.3. Integração no plano complexo  7.3.1. Teorema de Cauchy  7.3.2. Teorema do resíduo  7.3.3. Integração de contorno  7.3.4. Transformadas integrais
  8. Lógica Matemática e Fundamentos  8.1. Lógica proposicional  8.1.1. Tabelas de verdade  8.1.2. Equivalência lógica na lógica proposicional  8.1.3. Técnicas de prova em lógica proposicional  8.1.4. Solução na lógica proposicional  8.2. Lógica de predicados  8.2.1. Quantificadores na lógica de predicados  8.2.2. Sistemas formais na lógica de predicados  8.2.3. Completude e correção  8.2.4. Teoria dos modelos  8.3. Teoria dos conjuntos  8.3.1. Cardinalidade e ordinalidade  8.3.2. Sistemas axiomáticos  8.3.3. Compreendendo a teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel  8.3.4. Forças na teoria dos conjuntos
  9. Personalização  9.1. Programação linear  9.1.1. Método simplex  9.1.2. Dualidade na programação linear  9.1.3. Análise de sensibilidade em programação linear  9.1.4. Métodos de ponto interior  9.2. Programação não linear  9.2.1. Descida do Gradiente  9.2.2. Múltiplos de Lagrange  9.2.3. Otimização convexa  9.2.4. Programação quadrática  9.3. Otimização Combinatória  9.3.1. Algoritmos de grafos  9.3.2. Programação inteira  9.3.3. Fluxo de Rede  9.3.4. Algoritmos de aproximação
  10. Matemática discreta  10.1. Teoria dos grafos  10.1.1. Representação de grafos  10.1.2. Planicidade e cor  10.1.3. Algoritmo de caminho mais curto  10.1.4. Fluxo de rede  10.2. Companheirismo  10.2.1. Percmutações e combinações  10.2.2. Função geradora  10.2.3. Relação de recorrência  10.2.4. Compreendendo o Princípio da Inclusão-Exclusão  10.3. Criptografia  10.3.1. Aplicações da teoria dos números na criptografia  10.3.2. Criptografia Simétrica e Assimétrica  10.3.3. RSA e criptografia de curva elíptica  10.3.4. Criptografia pós-quântica

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Programação linear


A programação linear (PL) é um método matemático para determinar como alcançar o melhor resultado em um dado modelo matemático. Sua função é representada por relações lineares. A programação linear é uma técnica para otimizar uma função objetivo linear, sujeita a restrições de igualdade linear e desigualdade linear.

Os principais componentes de um problema de programação linear são os seguintes:

  • Função objetivo: A função que precisa ser otimizada, geralmente maximizada ou minimizada.
  • Variáveis de decisão: Variáveis que decidem o resultado e geralmente são representadas como x, y, z etc.
  • Restrições: Estas são restrições ou limites nas variáveis de decisão, frequentemente na forma de desigualdades ou equações lineares.
  • Restrição de não negatividade: Assume-se que as variáveis de decisão são não negativas, ou seja, todos os valores são zero ou positivos.

Formulação do problema de programação linear

Para entender a Programação Linear considere o seguinte exemplo:

Imagine que uma empresa fabrica dois produtos: cadeiras e mesas. Cada cadeira contribui com $30 para o lucro, e cada mesa contribui com $50. A empresa possui limitações de mão de obra e material. Leva 2 horas de trabalho e 3 unidades de material para fazer uma cadeira. Leva 4 horas de trabalho e 2 unidades de material para fazer uma mesa. A empresa tem um máximo de 100 horas de trabalho e 120 unidades de material disponíveis.

Para maximizar o lucro, podemos formular um problema de programação linear como segue:

Máximo: Lucro = 30x + 50y
sujeito a:
   2x + 4y ≤ 100 (Restrição de mão de obra)
   3x + 2y ≤ 120 (Restrição física)
   x ≥ 0, y ≥ 0 (Restrição de não negatividade)

Representação gráfica

Problemas de programação linear em duas variáveis podem ser resolvidos e representados graficamente. Parece assim:

x (cadeiras) y (mesas) 2x + 4y = 100 3x + 2y = 120

A região viável é o conjunto de todos os pontos que satisfazem todas as restrições. Está sombreada em cinza acima. A solução ótima está nesta região. Neste exemplo, a estratégia ótima está na interseção das restrições, representada pelo ponto vermelho.

Método Simplex

Quando há mais de duas variáveis, a representação gráfica não é possível. Portanto, usamos o método simplex, que é um método iterativo usado para resolver problemas de programação linear.

O método simplex envolve os seguintes passos:

  1. Começar no ponto de canto inicial da região viável.
  2. Avaliar a função objetivo em cada vértice da região viável.
  3. Mover para um vértice vizinho que melhora o valor da função objetivo.
  4. Continuar esse processo até que nenhuma melhoria adicional seja possível.
  5. O ponto do vértice atual fornece o valor máximo ou mínimo da função objetivo.

Exemplo usando o método simplex

Considere o seguinte problema de programação linear:

Maximizar: Z = 3x1 + 2x2
sujeito a:
   x1 + x2 ≤ 4
   x1 - x2 ≤ 2
   x1, x2 ≥ 0

Passos para resolver usando simplex:

  1. Converter as desigualdades em igualdades incluindo as variáveis relaxadas, s1 e s2:
    2.     x1 + x2 + s1 = 4
    x1 - x2 + s2 = 2
  2. Criar a tabela simplex inicial:
    3. x1 x2 S1 S2 Solução
    S1 1 1 1 0 4
    S2 1 -1 0 1 2
    Z -3 -2 0 0 0
  3. Encontrar a coluna pivô (a coluna com o coeficiente mais negativo na linha Z):

    4. O valor mais negativo é -3 (coluna de x1).

  4. Calcular as razões para encontrar a linha pivô.
    5.     Para linha s1: 4/1 = 4
    Para linha s2: 2/1 = 2

    Escolher a linha com a menor razão positiva: linha s2.

  5. Realizar uma operação de pivotamento para tornar o elemento pivô 1 e todos os outros elementos na coluna pivô 0.
  6. Repetir esse processo até que não haja coeficientes negativos restantes na linha do objetivo.

Dualidade na programação linear

Todo problema de programação linear, chamado de problema primal, pode ser transformado em outro problema de programação linear conhecido como problema dual. As soluções dos problemas dual e primal fornecem limites para o valor da função objetivo.

Exemplo:

Problema primal:
Maximizar: Z = 3x1 + 4x2
sujeito a:
   2x1 + 3x2 ≤ 8
   3x1 + 3x2 ≤ 6
   x1, x2 ≥ 0

Seu dual será:

Minimizar: W = 8y1 + 6y2
sujeito a:
   2y1 + y2 ≥ 3
   3y1 + 3y2 ≥ 4
   y1, y2 ≥ 0

As funções objetivo em primal e dual são interligadas. Resolver uma delas dá insight ou limitação para a outra.

Aplicações da programação linear

A programação linear é amplamente utilizada em uma variedade de campos, incluindo:

  • Manufatura: Determinar níveis ótimos de produção e inventários.
  • Finanças: Projetar portfólios para maximizar retornos com risco mínimo.
  • Transporte: Minimizar o custo de envio de mercadorias através da rede.
  • Planejamento de dietas: Determinar a dieta mais acessível que atende a todos os requisitos nutricionais.
  • Telecomunicações: Para alocação ótima de largura de banda e análise de rede.

Limitações da programação linear

Apesar de suas amplas aplicações, a programação linear tem algumas limitações:

  • Os modelos são baseados na linearidade, enquanto cenários do mundo real nem sempre são lineares.
  • Assume-se certeza nos coeficientes; no entanto, os dados da vida real podem ser incertos ou variáveis.
  • A solução deve satisfazer completamente todas as restrições, o que pode não ser sempre possível.
  • Não acomoda variáveis inteiras de forma direta, o que pode ser importante em alguns problemas práticos.

Conclusão

A programação linear fornece um quadro para encontrar soluções ótimas sob restrições dadas. Embora foque principalmente em otimizar funções objetivo lineares, seus princípios são fundamentais em pesquisa operacional e ciência de gerenciamento. Inovações e otimizações, como a programação linear inteira e programação não linear, estendem sua aplicabilidade a cenários mais complexos.


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