Posgrado
  1. Introducción al análisis real  1.1. Teoría de conjuntos y lógica en el análisis real  1.1.1. Conjuntos y operaciones en teoría de conjuntos y lógica en análisis real  1.1.2. Relaciones y funciones  1.1.3. Lógica y cuantificadores  1.1.4. Cardinalidad de conjuntos  1.2. Espacio métrico  1.2.1. Introducción a conjuntos abiertos y cerrados en espacios métricos  1.2.2. Convergencia de secuencias en un espacio métrico  1.2.3. Función continua en un espacio métrico  1.2.4. Compacidad y completitud en espacios métricos en análisis real  1.3. Secuencias y series  1.3.1. Convergencia de secuencias  1.3.2. Series infinitas  1.3.3. Convergencia uniforme  1.3.4. Serie de potencias  1.4. Discriminación  1.4.1. Teorema del valor medio  1.4.2. Serie de Taylor  1.4.3. Funciones de varias variables  1.4.4. Derivada parcial  1.5. Integración  1.5.1. Integración de Riemann y Lebesgue  1.5.2. Integrales impropias  1.5.3. Teoría de la medida: una herramienta fundamental en la integración  1.5.4. Teorema de Fubini  1.6. Análisis funcional  1.6.1. Comprendiendo los espacios de Banach  1.6.2. Espacios de Hilbert  1.6.3. Operadores en espacios  1.6.4. Teoría espectral
  2. Álgebra abstracta  2.1. Entendiendo los grupos en el álgebra abstracta  2.1.1. Definiciones y ejemplos de grupos en álgebra abstracta  2.1.2. Homomorfismos de grupos  2.1.3. Introducción a los subgrupos normales  2.1.4. Teorema de Sylow  2.2. Anillos y campos  2.2.1. Ideales y anillos cociente  2.2.2. Extensiones de campos  2.2.3. Teoría de Galois  2.2.4. Anillos de polinomios  2.3. Introducción a los módulos en álgebra abstracta  2.3.1. Homomorfismo de módulos  2.3.2. Módulos libres  2.3.3. Introducción a los productos tensoriales  2.3.4. Secuencia exacta en módulos  2.4. Álgebra lineal  2.4.1. Espacio vectorial  2.4.2. Autovalores y autovectores  2.4.3. Espacio de producto interior  2.4.4. Diagonalización
  3. Topología  3.1. Topología general  3.1.1. Conjuntos abiertos y cerrados  3.1.2. Compacidad y conexión  3.1.3. Mapas continuos  3.1.4. Axioma de separación  3.2. Topología algebraica  3.2.1. Comprensión de los grupos fundamentales en la topología algebraica  3.2.2. Homotopía y homología  3.2.3. Complejo simplicial  3.2.4. Secuencias exactas en homología  3.3. Topología diferencial  3.3.1. Comprendiendo las variedades en topología diferencial  3.3.2. Funcionamiento suave  3.3.3. Espacio tangente y cotangente  3.3.4. Fibrados vectoriales
  4. Ecuaciones diferenciales  4.1. Ecuación diferencial ordinaria  4.1.1. Ecuaciones de primer orden  4.1.2. Ecuaciones lineales de segundo orden  4.1.3. Sistemas de ecuaciones diferenciales  4.1.4. Análisis de estabilidad en ecuaciones diferenciales ordinarias  4.2. Ecuaciones en derivadas parciales  4.2.1. Clasificación de EDP  4.2.2. Entendiendo las series de Fourier en ecuaciones diferenciales parciales  4.2.3. Introducción a las funciones de Green  4.2.4. Método de caracterización  4.3. Sistemas dinámicos en ecuaciones diferenciales  4.3.1. Teoría de la sostenibilidad  4.3.2. Ciclos límite en sistemas dinámicos  4.3.3. Teoría del caos  4.3.4. Teoría de bifurcación
  5. Probabilidad y estadística  5.1. Teoría de la probabilidad  5.1.1. Variables aleatorias  5.1.2. Distribuciones de probabilidad  5.1.3. Ley de los grandes números  5.1.4. Teorema del límite central  5.2. Inferencia estadística  5.2.1. Pruebas de hipótesis  5.2.2. Intervalo de confianza  5.2.3. Métodos bayesianos  5.2.4. Estimación de máxima verosimilitud  5.3. Procesos estocásticos  5.3.1. Cadenas de Markov  5.3.2. Movimiento browniano  5.3.3. Comprendiendo los procesos de Poisson  5.3.4. Martingalas: Un estudio integral en probabilidad y estadística
  6. Análisis numérico  6.1. Soluciones numéricas de ecuaciones  6.1.1. Descubrimiento original  6.1.2. Métodos iterativos  6.1.3. Análisis de convergencia  6.1.4. Cotas de error en soluciones numéricas de ecuaciones  6.2. Álgebra lineal numérica  6.2.1. Factorización de matrices  6.2.2. Cálculo de valores propios  6.2.3. Matrices dispersas  6.2.4. Técnicas de preacondicionamiento  6.3. Integración y diferenciación numérica  6.3.1. Métodos de cuadratura  6.3.2. Introducción a las diferencias finitas  6.3.3. Análisis de errores en la integración y diferenciación numérica  6.3.4. Métodos adaptativos en integración y diferenciación numérica
  7. Análisis complejo  7.1. Números complejos  7.1.1. Forma polar  7.1.2. Conjugados complejos  7.1.3. Forma exponencial de los números complejos  7.1.4. Raíces de la unidad  7.2. Funciones analíticas  7.2.1. Ecuaciones de Cauchy–Riemann  7.2.2. Series de potencias  7.2.3. Mapeo conforme  7.2.4. Funciones armónicas  7.3. Integración en el plano complejo  7.3.1. Teorema de Cauchy  7.3.2. Teorema del residuo  7.3.3. Integración de contornos  7.3.4. Transformaciones integrales
  8. Lógica matemática y fundamentos  8.1. Lógica proposicional  8.1.1. Tablas de verdad  8.1.2. Equivalencia lógica en la lógica proposicional  8.1.3. Técnicas de demostración en lógica proposicional  8.1.4. Solución en lógica proposicional  8.2. Lógica de predicados  8.2.1. Cuantificadores en lógica de predicados  8.2.2. Sistemas formales en lógica de predicados  8.2.3. Integridad y solidez  8.2.4. Teoría de modelos  8.3. Teoría de conjuntos  8.3.1. Cardinalidad y ordinalidad  8.3.2. Sistemas axiomáticos  8.3.3. Comprender la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel  8.3.4. Fuerzas en la teoría de conjuntos
  9. Personalización  9.1. Programación lineal  9.1.1. Método simplex  9.1.2. Dualidad en la programación lineal  9.1.3. Análisis de sensibilidad en programación lineal  9.1.4. Métodos de punto interior  9.2. Programación no lineal  9.2.1. Descenso de gradiente  9.2.2. Multiplicadores de Lagrange  9.2.3. Optimización convexa  9.2.4. Programación cuadrática  9.3. Optimización Combinatoria  9.3.1. Algoritmos de grafos  9.3.2. Programación entera  9.3.3. Flujo de red  9.3.4. Algoritmos de aproximación
  10. Matemáticas discretas  10.1. Teoría de grafos  10.1.1. Representación de grafos  10.1.2. Llanura y color  10.1.3. Algoritmo de camino más corto  10.1.4. Flujo de red  10.2. Compañerismo  10.2.1. Permutación y combinación  10.2.2. Función generadora  10.2.3. Relación de recurrencia  10.2.4. Comprendiendo el Principio de Inclusión-Exclusión  10.3. Criptografía  10.3.1. Aplicaciones de la teoría de números en criptografía  10.3.2. Criptografía Simétrica y Asimétrica  10.3.3. RSA y criptografía de curvas elípticas  10.3.4. Criptografía post-cuántica

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Programación lineal


La programación lineal (PL) es un método matemático para determinar cómo lograr el mejor resultado en un modelo matemático dado. Su función se representa por relaciones lineales. La programación lineal es una técnica para optimizar una función objetivo lineal, sujeta a restricciones de igualdad lineal y desigualdad lineal.

Los componentes clave de un problema de programación lineal son los siguientes:

  • Función objetivo: La función que necesita ser optimizada, generalmente maximizada o minimizada.
  • Variables de decisión: Variables que deciden el resultado y generalmente se representan como x, y, z, etc.
  • Restricciones: Estas son restricciones o límites sobre las variables de decisión, a menudo en forma de desigualdades o ecuaciones lineales.
  • Restricción de no negatividad: Se asume que las variables de decisión no son negativas, es decir, todos los valores son cero o positivos.

Formulación del problema de programación lineal

Para entender la programación lineal, considere el siguiente ejemplo:

Imagine que una empresa fabrica dos productos: sillas y mesas. Cada silla contribuye con $30 al beneficio, y cada mesa contribuye con $50. La empresa tiene limitaciones de mano de obra y materiales. Se necesitan 2 horas de trabajo y 3 unidades de material para fabricar una silla. Se necesitan 4 horas de trabajo y 2 unidades de material para fabricar una mesa. La empresa tiene un máximo de 100 horas de trabajo y 120 unidades de material disponibles.

Para maximizar el beneficio, podemos formular un problema de programación lineal de la siguiente manera:

Máximo: Beneficio = 30x + 50y
sujeto a:
   2x + 4y ≤ 100 (Restricción de trabajo)
   3x + 2y ≤ 120 (Restricción de material)
   x ≥ 0, y ≥ 0 (Restricción de no negatividad)

Representación gráfica

Los problemas de programación lineal en dos variables pueden resolverse y representarse gráficamente. Se ve así:

x (sillas) y (mesas) 2x + 4y = 100 3x + 2y = 120

La región factible es el conjunto de todos los puntos que satisfacen todas las restricciones. Está sombreada en gris arriba. La solución óptima se encuentra en esta región. En este ejemplo, la estrategia óptima está en la intersección de las restricciones, representada por el punto rojo.

Método simplex

Cuando hay más de dos variables, la representación gráfica no es posible. Por lo tanto, utilizamos el método simplex, que es un método iterativo utilizado para resolver problemas de programación lineal.

El método simplex involucra los siguientes pasos:

  1. Comenzar en el punto de esquina inicial de la región factible.
  2. Evaluar la función objetivo en cada vértice de la región factible.
  3. Movilizarse a un vértice vecino que mejore el valor de la función objetivo.
  4. Continuar este proceso hasta que no sea posible una mejora adicional.
  5. El punto vértice actual proporciona el valor máximo o mínimo de la función objetivo.

Ejemplo usando el método simplex

Considere el siguiente problema de programación lineal:

Maximizar: Z = 3x1 + 2x2
sujeto a:
   x1 + x2 ≤ 4
   x1 - x2 ≤ 2
   x1, x2 ≥ 0

Pasos para resolver usando simplex:

  1. Convertir las desigualdades en igualdades incluyendo las variables de holgura, s1 y s2:
    2.     x1 + x2 + s1 = 4
    x1 - x2 + s2 = 2
  2. Crear la tabla inicial del simplex:
    3. x1 x2 S1 S2 Solución
    S1 1 1 1 0 4
    S2 1 -1 0 1 2
    Fila Z -3 -2 0 0 0
  3. Encontrar la columna pivote (la columna con el coeficiente más negativo en la fila Z):

    4. El valor más negativo es -3 (columna de x1).

  4. Calcular los cocientes para encontrar la fila pivote.
    5.     Para la fila s1: 4/1 = 4
    Para la fila s2: 2/1 = 2

    Escoger la fila con el menor cociente positivo: fila s2.

  5. Realizar una operación de pivote para hacer que el elemento pivote sea 1 y todos los demás elementos en la columna pivote sean 0.
  6. Repetir este proceso hasta que no queden coeficientes negativos en la fila objetivo.

Dualidad en programación lineal

Cada problema de programación lineal, llamado problema primal, puede transformarse en otro problema de programación lineal conocido como un dual. Las soluciones de los problemas dual y primal proporcionan límites para el valor de la función objetivo.

Ejemplo:

Problema primal:
Maximizar: Z = 3x1 + 4x2
sujeto a:
   2x1 + 3x2 ≤ 8
   3x1 + 3x2 ≤ 6
   x1, x2 ≥ 0

Su dual será:

Minimizar: W = 8y1 + 6y2
sujeto a:
   2y1 + y2 ≥ 3
   3y1 + 3y2 ≥ 4
   y1, y2 ≥ 0

Las funciones objetivo en el primal y el dual están interconectadas. Resolver uno de ellos da información o limitación al otro.

Aplicaciones de la programación lineal

La programación lineal se utiliza ampliamente en una variedad de campos, incluidos:

  • Manufactura: Determinación de niveles óptimos de producción e inventarios.
  • Finanzas: Diseño de carteras para maximizar los rendimientos con un riesgo mínimo.
  • Transporte: Minimización del costo de envío de mercancías a través de la red.
  • Planificación alimentaria: Determinación de la dieta más asequible que cumpla con todos los requisitos nutricionales.
  • Telecomunicaciones: Para la asignación óptima de ancho de banda y análisis de redes.

Limitaciones de la programación lineal

A pesar de sus amplias aplicaciones, la programación lineal tiene algunas limitaciones:

  • Los modelos se basan en la linealidad, mientras que los escenarios del mundo real no siempre son lineales.
  • Se asume certeza en los coeficientes; sin embargo, los datos de la vida real pueden ser inciertos o variables.
  • La solución debe satisfacer completamente todas las restricciones, lo cual puede no ser siempre posible.
  • No acomoda variables enteras de manera directa, lo que puede ser importante en algunos problemas prácticos.

Conclusión

La programación lineal proporciona un marco para encontrar soluciones óptimas bajo restricciones dadas. Aunque se centra principalmente en optimizar funciones objetivo lineales, sus principios son fundamentales en la investigación de operaciones y la ciencia de la gestión. Innovaciones y optimizaciones como la programación lineal entera y la programación no lineal extienden su aplicabilidad a escenarios más complejos.


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