Магистратура
  1. Введение в математический анализ  1.1. Теория множеств и логика в реальном анализе  1.1.1. Множества и операции в теории множеств и логике в реальном анализе  1.1.2. Отношения и функции  1.1.3. Логика и кванторы  1.1.4. Мощность множеств  1.2. Метрика  1.2.1. Введение в открытые и замкнутые множества в метрических пространствах  1.2.2. Сходимость последовательностей в метрическом пространстве  1.2.3. Непрерывная функция в метрическом пространстве  1.2.4. Компактность и полнота в метрических пространствах в реальном анализе  1.3. Последовательности и ряды  1.3.1. Сходимость последовательностей  1.3.2. Бесконечные ряды  1.3.3. Равномерная сходимость  1.3.4. Ряды степеней  1.4. Дискриминация  1.4.1. Теорема о среднем значении  1.4.2. Ряд Тейлора  1.4.3. Функции нескольких переменных  1.4.4. Частная производная  1.5. Интеграция  1.5.1. Интегрирование Римана и Лебега  1.5.2. Неправильные интегралы  1.5.3. Теория меры: фундаментальный инструмент в интеграции  1.5.4. Теорема Фубини  1.6. Функциональный анализ  1.6.1. Понимание пространства Банака  1.6.2. Пространства Гильберта  1.6.3. Операторы на пространствах  1.6.4. Спектральная теория
  2. Абстрактная алгебра  2.1. Понимание групп в абстрактной алгебре  2.1.1. Определения и примеры групп в абстрактной алгебре  2.1.2. Гомоморфизмы групп  2.1.3. Введение в нормальные подгруппы  2.1.4. Теорема Силова  2.2. Кольца и поля  2.2.1. Идеалы и фактор-кольца  2.2.2. Расширения полей  2.2.3. Теория Галуа  2.2.4. Полиномиальные кольца  2.3. Введение в модули в абстрактной алгебре  2.3.1. Гомоморфизм модуля  2.3.2. Свободные модули  2.3.3. Введение в тензорные произведения  2.3.4. Точная последовательность в модулях  2.4. Линейная алгебра  2.4.1. Векторное пространство  2.4.2. Собственные значения и собственные векторы  2.4.3. Векторное пространство с внутренним произведением  2.4.4. Диагонализация
  3. Топология  3.1. Общая топология  3.1.1. Открытые и закрытые множества  3.1.2. Компактность и связность  3.1.3. Непрерывные отображения  3.1.4. Аксиома отделимости  3.2. Алгебраическая топология  3.2.1. Понимание фундаментальных групп в алгебраической топологии  3.2.2. Гомотопия и гомология  3.2.3. Симплициальный комплекс  3.2.4. Точные последовательности в гомологии  3.3. Дифференциальная топология  3.3.1. Понимание многообразий в дифференциальной топологии  3.3.2. Гладкие функции  3.3.3. Тангенциальное и котангенциальное пространство  3.3.4. Векторные расслоения
  4. Дифференциальные уравнения  4.1. Обыкновенные дифференциальные уравнения  4.1.1. Дифференциальные уравнения первого порядка  4.1.2. Линейные уравнения второго порядка  4.1.3. Системы дифференциальных уравнений  4.1.4. Анализ устойчивости в обыкновенных дифференциальных уравнениях  4.2. Частные дифференциальные уравнения  4.2.1. Классификация уравнений с частными производными  4.2.2. Понимание рядов Фурье в уравнениях с частными производными  4.2.3. Введение в функции Грина  4.2.4. Метод характеристик  4.3. Динамические системы в дифференциальных уравнениях  4.3.1. Теория устойчивости  4.3.2. Предельные циклы в динамических системах  4.3.3. Теория хаоса  4.3.4. Теория бифуркаций
  5. Теория вероятностей и статистика  5.1. Теория вероятностей  5.1.1. Случайные переменные  5.1.2. Распределения вероятностей  5.1.3. Закон больших чисел  5.1.4. Центральная предельная теорема  5.2. Статистическое вывод  5.2.1. Проверка гипотез  5.2.2. Доверительный интервал  5.2.3. Байесовские методы  5.2.4. Метод максимального правдоподобия  5.3. Стохастические процессы  5.3.1. Цепи Маркова  5.3.2. Броуновское движение  5.3.3. Понимание процессов Пуассона  5.3.4. Мартингейлы: всестороннее исследование в вероятности и статистике
  6. Численный анализ  6.1. Численное решение уравнений  6.1.1. Оригинальное открытие  6.1.2. Итерационные методы  6.1.3. Анализ сходимости  6.1.4. Границы ошибок в численных решениях уравнений  6.2. Численная линейная алгебра  6.2.1. Факторизация матриц  6.2.2. Вычисление собственных значений  6.2.3. Разреженные матрицы  6.2.4. Методы предобработки  6.3. Численное интегрирование и дифференцирование  6.3.1. Методы квадратур  6.3.2. Введение в конечные разности  6.3.3. Анализ ошибок в численном интегрировании и дифференцировании  6.3.4. Адаптивные методы в численном интегрировании и дифференцировании
  7. Комплексный анализ  7.1. Комплексные числа  7.1.1. Полярная форма  7.1.2. Комплексные сопряженные  7.1.3. Экспоненциальная форма комплексных чисел  7.1.4. Корни из единицы  7.2. Аналитические функции  7.2.1. Уравнения Коши — Римана  7.2.2. Степенные ряды  7.2.3. Конформное отображение  7.2.4. Гармонические функции  7.3. Интегрирование на комплексной плоскости  7.3.1. Теорема Коши  7.3.2. Теорема о вычетах  7.3.3. Контурное интегрирование  7.3.4. Интегральные преобразования
  8. Математическая логика и основания  8.1. Пропозициональная логика  8.1.1. Таблицы истинности  8.1.2. Логическая эквивалентность в пропозициональной логике  8.1.3. Техники доказательства в пропозициональной логике  8.1.4. Решение в пропозициональной логике  8.2. Логика предикатов  8.2.1. Кванторы в предикатной логике  8.2.2. Формальные системы в предикатной логике  8.2.3. Полнота и правильность  8.2.4. Модельная теория  8.3. Теория множеств  8.3.1. Кардинальность и ординальность  8.3.2. Аксиоматические системы  8.3.3. Понимание теории множеств Цермело-Френкеля  8.3.4. Силы в теории множества
  9. Настройка  9.1. Линейное программирование  9.1.1. Метод симплекс  9.1.2. Двойственность в линейном программировании  9.1.3. Анализ чувствительности в линейном программировании  9.1.4. Методы внутренних точек  9.2. Нелинейное программирование  9.2.1. Градиентный спуск  9.2.2. Множители Лагранжа  9.2.3. Выпуклая оптимизация  9.2.4. Квадратичное программирование  9.3. Комбинаторная оптимизация  9.3.1. Алгоритмы графов  9.3.2. Целочисленное программирование  9.3.3. Сетевой поток  9.3.4. Алгоритмы аппроксимации
  10. Дискретная математика  10.1. Теория графов  10.1.1. Представление графов  10.1.2. Плоскость и цвет  10.1.3. Алгоритм поиска кратчайшего пути  10.1.4. Сетевой поток  10.2. Компаньонство  10.2.1. Перестановка и сочетание  10.2.2. Порождающая функция  10.2.3. Рекуррентные соотношения  10.2.4. Понимание принципа включения-исключения  10.3. Криптография  10.3.1. Применение теории чисел в криптографии  10.3.2. Симметричное и асимметричное шифрование  10.3.3. RSA и криптография на эллиптических кривых  10.3.4. Постквантовая криптография

Магистратура → Настройка → Линейное программирование ↓


Методы внутренних точек


Методы внутренних точек являются мощным инструментом в области оптимизации, особенно при решении задач линейного программирования. Эти методы приобрели значительное значение благодаря своей эффективности и полиномиальной сложности, благодаря чему они стали привлекательным вариантом для задач оптимизации крупных масштабов.

Введение в методы внутренних точек

Когда мы говорим о линейном программировании, мы имеем дело с задачами, которые стремятся оптимизировать (максимизировать или минимизировать) линейную целевую функцию при наличии линейных ограничений равенства и неравенства. Традиционно для решения этих задач использовался метод симплекс, но он часто испытывает трудности с эффективностью, когда размер задачи становится слишком большим.

Методы внутренних точек, в отличие от метода симплекс, который перемещается к углам или вершинам допустимой области, проходят через внутреннюю часть допустимой области. Этот внутренний траектория позволяет этим методам потенциально находить решения более эффективно, особенно для задач с большим количеством ограничений и переменных.

Основная концепция

Основой методов внутренних точек является концепция "центрального пути". Центральный путь - это траектория, проходящая через внутреннюю часть допустимой области линейной программы и ведущая к оптимальному решению. Основная цель - удерживать итерации строго внутри допустимой области, в отличие от метода симплекс, который движется вдоль границы.

Математическая формулировка

Начнем с понимания общей формы задачи линейного программирования:

Максимизировать: c T x
Условие: Ax ≤ b
            x ≥ 0

Где:

  • c - вектор затрат,
  • A - матрица ограничений,
  • b - вектор ограничения,
  • x - вектор переменных решения.

Методы внутренних точек в основном работают с вышеприведенными ограничениями, вводя термин ограничения. Этот термин препятствует итерациям достигать границы допустимой области. Термин ограничения обычно является логарифмической функцией, добавленной к целевой функции для наказания решений, близких к границе.

Метод барьеров

Самая простая форма метода внутренних точек - это метод барьеров. Он изменяет линейную программу, добавляя барьерную функцию:

Минимизировать: c T x - μ∑ log( xi )
Условие: Ax = b

Здесь μ - положительный параметр, называемый параметром барьера, который контролирует компромисс между исходной целью и барьерной функцией. По мере продвижения метода, μ постепенно уменьшается, позволяя итерациям достигать границы и в конечном итоге решать исходную задачу.

Этап реализации

Конкретные шаги метода внутренних точек можно резюмировать следующим образом:

  1. Начать с идеально допустимой начальной точки.
  2. Использовать функцию ограничения, чтобы удерживать итерации внутри допустимой области.
  3. Выбрать параметр ограничения μ и решить измененную задачу.
  4. Постепенно настроить μ, уменьшая его на каждом этапе итерации.
  5. Продолжать итерации до достижения критерия сходимости, т.е. когда μ мало и решение почти оптимально.

Метод Ньютона для решения линейных программ

Важной частью методов внутренних точек является использование метода Ньютона для эффективной оптимизации измененной задачи. Это связано с итерационным решением системы нелинейных уравнений для нахождения вектора направления, который будет оптимизировать целевую функцию.

∇F(x) = Ax – B + μ∇ϕ(x)

где F(x) - это общая целевая функция, включающая термин ограничения, а φ(x) - это функция ограничения.

Пример

Рассмотрим простую задачу линейного программирования:

Максимум: 3x 1 + 2x 2
Условие: x 1 + x 2 ≤ 4
              x 1 ≤ 2
              x 2 ≤ 3
              x 1 , x 2 ≥ 0

Используя метод барьеров, мы изменяем целевую функцию:

Максимизировать: 3x 1 + 2x 2 - μ(log x 1 + log x 2 )

Мы решаем измененную задачу итерационно, уменьшая μ, постепенно достигая оптимального решения исходной задачи.

В приведенном выше визуальном примере красная точка представляет оптимальное решение задачи, в то время как зеленая точка указывает на точку вдоль центрального пути, которая показывает направление, выбранное методом внутренних точек.

Преимущества методов внутренних точек

  • Методы внутренних точек могут эффективно обрабатывать крупные и разреженные задачи линейного программирования.
  • Они демонстрируют полиномиальную сложность времени, что делает их эффективными для крупномасштабных применений.
  • Они предоставляют естественный критерий остановки на основе параметра ограничения и предела сходимости.

Недостатки методов внутренних точек

  • Требуется тщательный выбор начальных точек и параметров для оптимальной производительности.
  • Реализация и понимание алгоритма более сложны, чем метод симплекс.

Заключение

Методы внутренних точек произвели революцию в области оптимизации, особенно линейного программирования. Их способность эффективно решать крупномасштабные задачи расширила их применение за пределы традиционных методов, таких как метод симплекс. Хотя они требуют тщательного размышления и настройки, выигрыши в эффективности и производительности делают их неоценимым инструментом в сообществе оптимизации.

С увеличением вычислительных мощностей и необходимостью решения все более сложных задач оптимизации, методы внутренних точек будут продолжать оставаться в авангарде техник оптимизации.


Магистратура → 9.1.4


U
username
0%
завершено в Магистратура

← предыдущая (9.1.3)
Анализ чувствительности в линейном программировании
следующая (9.2) →
Нелинейное программирование

комментарии 



Методы внутренних точек

https://www.buddymath.com/g/9.1.4?bmal=ru