इंटीरियर पॉइंट मेथड्स

इंटीरियर पॉइंट मेथड्स ऑप्टिमाइज़ेशन के क्षेत्र में एक शक्तिशाली उपकरण हैं, विशेष रूप से रैखिक प्रोग्रामिंग समस्याओं को हल करने में। इन विधियों ने अपनी दक्षता और घातीय समय जटिलता के कारण महत्वपूर्ण महत्व प्राप्त किया है, जो उन्हें बड़े पैमाने पर ऑप्टिमाइज़ेशन समस्याओं के लिए एक आकर्षक विकल्प बनाते हैं।

इंटीरियर पॉइंट मेथड्स का परिचय

जब हम रैखिक प्रोग्रामिंग के बारे में बात करते हैं, तो हम उन समस्याओं से निपट रहे हैं जो रैखिक उद्देश्य फ़ंक्शन को रैखिक समानता और विषम कथा बाधाओं के अधीन अनुकूलित (अधिकतम या न्यूनतम) करने का लक्ष्य रखती हैं। पारंपरिक रूप से, सरल विधि का उपयोग इन समस्याओं को हल करने के लिए किया जाता था, लेकिन जब समस्या का आकार बहुत बड़ा हो जाता है, तो यह अक्सर दक्षता के मामले में संघर्ष करती है।

इंटीरियर पॉइंट मेथड्स, जो कि सरल विधि के विपरीत जो कि व्यावहारिक क्षेत्र के कोनों या शीर्षों की ओर जाती है, व्यावहारिक क्षेत्र के इंटीरियर के माध्यम से जाएँ। यह आंतरिक पथ संभावित रूप से इन विधियों को समाधान अधिक कुशलतापूर्वक खोजने की अनुमति देती है, विशेष रूप से उन समस्याओं के लिए जिनमें बड़ी संख्या में बाधाएँ और चर होते हैं।

मूल अवधारणा

इंटीरियर पॉइंट मेथड्स की नींव "सेंट्रल पाथ" की अवधारणा में निहित है। केंद्रीय पाथ एक पथ है जो रैखिक प्रोग्राम के व्यावहारिक क्षेत्र के इंटीरियर के माध्यम से गुजरता है और इष्टतम समाधान की ओर जाता है। मुख्य लक्ष्य आंतरिक को हर समय व्यावहारिक क्षेत्र के भीतर रखने का है, विपरीत सरल विधि जो सीमा के साथ चलती है।

गणितीय सूत्रीकरण

आइए रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या के सामान्य रूप को समझकर शुरू करें:

अधिकतम करें: c T x
बाध्य: Ax ≤ b
            x ≥ 0

जहां:

• c लागत वेक्टर है,
• A प्रतिबंध मैट्रिक्स है,
• b प्रतिबंध सीमा वेक्टर है,
• x निर्णय चर का वेक्टर है।

इंटीरियर पॉइंट मेथड्स मुख्य रूप से उपरोक्त बाधाओं के साथ व्यवहार एक प्रतिबंध शब्द पेश करके करते हैं। यह शब्द व्यावहारिक क्षेत्र की सीमा तक पहुँचने से पुनरावृत्तियों को हतोत्साहित करता है। प्रतिबंध शब्द आमतौर पर उद्देश्य फ़ंक्शन में जोड़ा गया एक लघुगणकीय कार्य होता है जो सीमा के पास समाधान को दंडित करता है।

बैरियर विधि

इंटीरियर पॉइंट की सबसे सरल विधि बैरियर विधि है। यह एक बैरियर फ़ंक्शन जोड़कर रैखिक प्रोग्राम को संशोधित करती है:

न्यूनतम करें: c T x - μ∑ log( xi )
बाध्य: Ax = b

यहां, μ एक सकारात्मक पैरामीटर होता है जिसे बैरियर पैरामीटर कहा जाता है, जो मूल उद्देश्य और बैरियर फ़ंक्शन के बीच व्यापार को नियंत्रित करता है। जैसे-जैसे विधि आगे बढ़ती है, μ को धीरे-धीरे घटाया जाता है, जिससे पुनरावृत्तियों को सीमा तक पहुँचने और अंततः मूल समस्या को हल करने की अनुमति मिलती है।

क्रियान्वयन चरण

इंटीरियर पॉइंट विधि के विशिष्ट चरणों को निम्नानुसार सारांशित किया जा सकता है:

1. एक पूरी तरह से व्यावहारिक प्रारंभिक बिंदु से शुरू करें।
2. व्यावहारिक क्षेत्र के भीतर पुनरावृत्तियों को बनाए रखने के लिए एक प्रतिबंध फ़ंक्शन का उपयोग करें।
3. एक प्रतिबंध पैरामीटर μ चुनें और संशोधित समस्या को हल करें।
4. प्रत्येक पुनरावृत्ति चरण में μ को घटाते हुए उसे धीरे-धीरे समायोजित करें।
5. जब तक संगम मापदंड सन्निकट न हो जाए, तब तक पुनरावृत्ति जारी रखें, यानी जब μ छोटा हो और समाधान लगभग इष्टतम हो।

रैखिक कार्यक्रमों को हल करने के लिए न्यूटन की विधि

इंटीरियर पॉइंट विधियों का एक आवश्यक भाग न्यूटन की विधि का उपयोग करके संशोधित समस्या को कुशलतापूर्वक ऑप्टिमाइज़ करना है। यह उद्देश्य फ़ंक्शन को अनुकूलित करने वाले दिशा वेक्टर को खोजने के लिए गैर-रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को पुनरावृत्त रूप से हल करना शामिल करता है।

∇F(x) = Ax – B + μ∇ϕ(x)

जहां F(x) कुल उद्देश्य फ़ंक्शन है जिसमें प्रतिबंध शब्द शामिल है, और φ(x) प्रतिबंध फ़ंक्शन है।

उदाहरण

एक सरल रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या पर विचार करें:

अधिकतम: 3x 1 + 2x 2
बाध्य: x 1 + x 2 ≤ 4
              x 1 ≤ 2
              x 2 ≤ 3
              x 1 , x 2 ≥ 0

बैरियर विधि का उपयोग करके, हम उद्देश्य फ़ंक्शन को संशोधित करते हैं:

अधिकतम करें: 3x 1 + 2x 2 - μ(log x 1 + log x 2 )

हम उपरोक्त संशोधित समस्या को पुनरावृत्त रूप से हल करते हैं जबकि μ को न्यूनतम करते हैं, धीरे-धीरे मूल समस्या के इष्टतम समाधान तक पहुँचते हैं।

उपरोक्त दृश्य उदाहरण में, लाल बिंदु समस्या के इष्टतम समाधान का प्रतिनिधित्व करता है, जबकि हरा बिंदु केंद्रीय पाथ के साथ एक बिंदु को इंगित करता है जो इंटीरियर पॉइंट विधि द्वारा लिया गया दिशा दिखाता है।

इंटीरियर पॉइंट मेथड्स के लाभ

• इंटीरियर पॉइंट मेथड्स बड़े, विरल रैखिक प्रोग्रामिंग समस्याओं को कुशलतापूर्वक निपटा सकता है।
• वे घातीय समय जटिलता प्रदर्शित करते हैं, जिससे वे बड़े पैमाने पर अनुप्रयोगों के लिए कुशल होते हैं।
• वे बाधाओं के पैरामीटर और संगम सहिष्णुता के आधार पर एक प्राकृतिक रोकन मानदंड प्रदान करते हैं।

इंटीरियर पॉइंट मेथड्स के नुकसान

• इष्टतम प्रदर्शन के लिए प्रारंभिक प्रारंभिक बिंदुओं और पैरामीटर के चयन की सावधानीपूर्वक आवश्यकता होती है।
• एल्गोरिदम का क्रियान्वयन और समझ सरल विधि की तुलना में अधिक जटिल है।

निष्कर्ष

इंटीरियर पॉइंट मेथड्स ने ऑप्टिमाइज़ेशन के क्षेत्र को बदल दिया है, विशेष रूप से रैखिक प्रोग्रामिंग। उनकी बड़े पैमाने पर समस्याओं को प्रभावी ढंग से संभालने की क्षमता ने उनके उपयोग को पारंपरिक विधियों जैसे कि सरल विधि से परे विस्तारित किया है। यद्यपि उन्हें सावधानीपूर्वक विचार और सेटअप की आवश्यकता होती है, दक्षता और प्रदर्शन में लाभ उन्हें ऑप्टिमाइज़ेशन समुदाय में एक अमूल्य उपकरण बनाते हैं।

जैसे-जैसे गणना शक्ति बढ़ती जाती है, और जटिल ऑप्टिमाइज़ेशन समस्याओं को हल करने की आवश्यकता बढ़ती जाती है, इंटीरियर पॉइंट मेथड्स ऑप्टिमाइज़ेशन तकनीकों के मोर्चे पर बने रहेंगे।

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