Posgrado
  1. Introducción al análisis real  1.1. Teoría de conjuntos y lógica en el análisis real  1.1.1. Conjuntos y operaciones en teoría de conjuntos y lógica en análisis real  1.1.2. Relaciones y funciones  1.1.3. Lógica y cuantificadores  1.1.4. Cardinalidad de conjuntos  1.2. Espacio métrico  1.2.1. Introducción a conjuntos abiertos y cerrados en espacios métricos  1.2.2. Convergencia de secuencias en un espacio métrico  1.2.3. Función continua en un espacio métrico  1.2.4. Compacidad y completitud en espacios métricos en análisis real  1.3. Secuencias y series  1.3.1. Convergencia de secuencias  1.3.2. Series infinitas  1.3.3. Convergencia uniforme  1.3.4. Serie de potencias  1.4. Discriminación  1.4.1. Teorema del valor medio  1.4.2. Serie de Taylor  1.4.3. Funciones de varias variables  1.4.4. Derivada parcial  1.5. Integración  1.5.1. Integración de Riemann y Lebesgue  1.5.2. Integrales impropias  1.5.3. Teoría de la medida: una herramienta fundamental en la integración  1.5.4. Teorema de Fubini  1.6. Análisis funcional  1.6.1. Comprendiendo los espacios de Banach  1.6.2. Espacios de Hilbert  1.6.3. Operadores en espacios  1.6.4. Teoría espectral
  2. Álgebra abstracta  2.1. Entendiendo los grupos en el álgebra abstracta  2.1.1. Definiciones y ejemplos de grupos en álgebra abstracta  2.1.2. Homomorfismos de grupos  2.1.3. Introducción a los subgrupos normales  2.1.4. Teorema de Sylow  2.2. Anillos y campos  2.2.1. Ideales y anillos cociente  2.2.2. Extensiones de campos  2.2.3. Teoría de Galois  2.2.4. Anillos de polinomios  2.3. Introducción a los módulos en álgebra abstracta  2.3.1. Homomorfismo de módulos  2.3.2. Módulos libres  2.3.3. Introducción a los productos tensoriales  2.3.4. Secuencia exacta en módulos  2.4. Álgebra lineal  2.4.1. Espacio vectorial  2.4.2. Autovalores y autovectores  2.4.3. Espacio de producto interior  2.4.4. Diagonalización
  3. Topología  3.1. Topología general  3.1.1. Conjuntos abiertos y cerrados  3.1.2. Compacidad y conexión  3.1.3. Mapas continuos  3.1.4. Axioma de separación  3.2. Topología algebraica  3.2.1. Comprensión de los grupos fundamentales en la topología algebraica  3.2.2. Homotopía y homología  3.2.3. Complejo simplicial  3.2.4. Secuencias exactas en homología  3.3. Topología diferencial  3.3.1. Comprendiendo las variedades en topología diferencial  3.3.2. Funcionamiento suave  3.3.3. Espacio tangente y cotangente  3.3.4. Fibrados vectoriales
  4. Ecuaciones diferenciales  4.1. Ecuación diferencial ordinaria  4.1.1. Ecuaciones de primer orden  4.1.2. Ecuaciones lineales de segundo orden  4.1.3. Sistemas de ecuaciones diferenciales  4.1.4. Análisis de estabilidad en ecuaciones diferenciales ordinarias  4.2. Ecuaciones en derivadas parciales  4.2.1. Clasificación de EDP  4.2.2. Entendiendo las series de Fourier en ecuaciones diferenciales parciales  4.2.3. Introducción a las funciones de Green  4.2.4. Método de caracterización  4.3. Sistemas dinámicos en ecuaciones diferenciales  4.3.1. Teoría de la sostenibilidad  4.3.2. Ciclos límite en sistemas dinámicos  4.3.3. Teoría del caos  4.3.4. Teoría de bifurcación
  5. Probabilidad y estadística  5.1. Teoría de la probabilidad  5.1.1. Variables aleatorias  5.1.2. Distribuciones de probabilidad  5.1.3. Ley de los grandes números  5.1.4. Teorema del límite central  5.2. Inferencia estadística  5.2.1. Pruebas de hipótesis  5.2.2. Intervalo de confianza  5.2.3. Métodos bayesianos  5.2.4. Estimación de máxima verosimilitud  5.3. Procesos estocásticos  5.3.1. Cadenas de Markov  5.3.2. Movimiento browniano  5.3.3. Comprendiendo los procesos de Poisson  5.3.4. Martingalas: Un estudio integral en probabilidad y estadística
  6. Análisis numérico  6.1. Soluciones numéricas de ecuaciones  6.1.1. Descubrimiento original  6.1.2. Métodos iterativos  6.1.3. Análisis de convergencia  6.1.4. Cotas de error en soluciones numéricas de ecuaciones  6.2. Álgebra lineal numérica  6.2.1. Factorización de matrices  6.2.2. Cálculo de valores propios  6.2.3. Matrices dispersas  6.2.4. Técnicas de preacondicionamiento  6.3. Integración y diferenciación numérica  6.3.1. Métodos de cuadratura  6.3.2. Introducción a las diferencias finitas  6.3.3. Análisis de errores en la integración y diferenciación numérica  6.3.4. Métodos adaptativos en integración y diferenciación numérica
  7. Análisis complejo  7.1. Números complejos  7.1.1. Forma polar  7.1.2. Conjugados complejos  7.1.3. Forma exponencial de los números complejos  7.1.4. Raíces de la unidad  7.2. Funciones analíticas  7.2.1. Ecuaciones de Cauchy–Riemann  7.2.2. Series de potencias  7.2.3. Mapeo conforme  7.2.4. Funciones armónicas  7.3. Integración en el plano complejo  7.3.1. Teorema de Cauchy  7.3.2. Teorema del residuo  7.3.3. Integración de contornos  7.3.4. Transformaciones integrales
  8. Lógica matemática y fundamentos  8.1. Lógica proposicional  8.1.1. Tablas de verdad  8.1.2. Equivalencia lógica en la lógica proposicional  8.1.3. Técnicas de demostración en lógica proposicional  8.1.4. Solución en lógica proposicional  8.2. Lógica de predicados  8.2.1. Cuantificadores en lógica de predicados  8.2.2. Sistemas formales en lógica de predicados  8.2.3. Integridad y solidez  8.2.4. Teoría de modelos  8.3. Teoría de conjuntos  8.3.1. Cardinalidad y ordinalidad  8.3.2. Sistemas axiomáticos  8.3.3. Comprender la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel  8.3.4. Fuerzas en la teoría de conjuntos
  9. Personalización  9.1. Programación lineal  9.1.1. Método simplex  9.1.2. Dualidad en la programación lineal  9.1.3. Análisis de sensibilidad en programación lineal  9.1.4. Métodos de punto interior  9.2. Programación no lineal  9.2.1. Descenso de gradiente  9.2.2. Multiplicadores de Lagrange  9.2.3. Optimización convexa  9.2.4. Programación cuadrática  9.3. Optimización Combinatoria  9.3.1. Algoritmos de grafos  9.3.2. Programación entera  9.3.3. Flujo de red  9.3.4. Algoritmos de aproximación
  10. Matemáticas discretas  10.1. Teoría de grafos  10.1.1. Representación de grafos  10.1.2. Llanura y color  10.1.3. Algoritmo de camino más corto  10.1.4. Flujo de red  10.2. Compañerismo  10.2.1. Permutación y combinación  10.2.2. Función generadora  10.2.3. Relación de recurrencia  10.2.4. Comprendiendo el Principio de Inclusión-Exclusión  10.3. Criptografía  10.3.1. Aplicaciones de la teoría de números en criptografía  10.3.2. Criptografía Simétrica y Asimétrica  10.3.3. RSA y criptografía de curvas elípticas  10.3.4. Criptografía post-cuántica

Posgrado → Personalización → Programación lineal ↓


Métodos de punto interior


Los métodos de punto interior son una herramienta poderosa en el campo de la optimización, especialmente en la resolución de problemas de programación lineal. Estos métodos han ganado una importancia significativa debido a su eficiencia y complejidad de tiempo polinómico, lo que los convierte en una opción atractiva para problemas de optimización a gran escala.

Introducción a los métodos de punto interior

Cuando hablamos de programación lineal, nos referimos a problemas que buscan optimizar (maximizar o minimizar) una función objetivo lineal sujeta a restricciones de igualdad e inecuaciones lineales. Tradicionalmente, se utilizaba el método del simplex para resolver estos problemas, pero a menudo tiene dificultades con la eficiencia cuando el tamaño del problema se vuelve demasiado grande.

Los métodos de punto interior, a diferencia del método del simplex que navega hacia las esquinas o vértices de la región factible, atraviesan el interior de la región factible. Esta trayectoria interior permite que estos métodos encuentren soluciones potencialmente de manera más eficiente, especialmente para problemas con una gran cantidad de restricciones y variables.

Concepto básico

La base de los métodos de punto interior radica en el concepto del "camino central". El camino central es una trayectoria que pasa por el interior de la región factible del programa lineal y conduce a la solución óptima. El objetivo principal es mantener las iteraciones estrictamente dentro de la región factible, a diferencia del método del simplex, que se mueve a lo largo del límite.

Formulación matemática

Comencemos comprendiendo la forma general de un problema de programación lineal:

Maximizar: c T x
Sujeto a: Ax ≤ b
             x ≥ 0

Dónde:

  • c es el vector de costos,
  • A es la matriz de restricciones,
  • b es el vector límite de restricciones,
  • x es el vector de variables de decisión.

Los métodos de punto interior tratan principalmente con las restricciones mencionadas al introducir un término de restricción. Este término desincentiva que las iteraciones alcancen el límite de la región factible. El término de restricción suele ser una función logarítmica añadida a la función objetivo para penalizar soluciones cercanas al límite.

Método de barrera

La forma más sencilla del método de punto interior es el método de barrera. Modifica el programa lineal añadiendo una función de barrera:

Minimizar: c T x - μ∑ log( xi )
Sujeto a: Ax = b

Aquí, μ es un parámetro positivo llamado parámetro de barrera, que controla el equilibrio entre el objetivo original y la función de barrera. A medida que el método avanza, μ se disminuye gradualmente, permitiendo que las iteraciones alcancen el límite y, finalmente, resuelvan el problema original.

Fase de implementación

Los pasos específicos del método de punto interior se pueden resumir de la siguiente manera:

  1. Comenzar con un punto de partida perfectamente factible.
  2. Usar una función de restricción para mantener las iteraciones dentro de la región factible.
  3. Seleccionar un parámetro de restricción μ y resolver el problema modificado.
  4. Ajustar gradualmente μ, disminuyéndolo en cada paso de iteración.
  5. Continuar iterando hasta que se cumpla el criterio de convergencia, es decir, cuando μ es pequeño y la solución es casi óptima.

Método de Newton para resolver programas lineales

Una parte esencial de los métodos de punto interior es utilizar el método de Newton para optimizar eficientemente el problema modificado. Esto implica resolver iterativamente un sistema de ecuaciones no lineales para encontrar un vector de dirección que optimice la función objetivo.

∇F(x) = Ax – B + μ∇ϕ(x)

donde F(x) es la función objetivo total, incluyendo el término de restricción, y φ(x) es la función de restricción.

Ejemplo

Consideremos un problema simple de programación lineal:

Maximizar: 3x 1 + 2x 2
Sujeto a: x 1 + x 2 ≤ 4
                x 1 ≤ 2
                x 2 ≤ 3
                x 1 , x 2 ≥ 0

Usando el método de barrera, modificamos la función objetivo:

Maximizar: 3x 1 + 2x 2 - μ(log x 1 + log x 2 )

Resolvemos el problema modificado anterior de manera iterativa mientras minimizamos μ, alcanzando gradualmente la solución óptima del problema original.

En el ejemplo visual anterior, el punto rojo representa la solución óptima al problema, mientras que el punto verde indica un punto a lo largo del camino central que muestra la dirección tomada por el método de punto interior.

Ventajas de los métodos de punto interior

  • Los métodos de punto interior pueden manejar problemas de programación lineal grandes y dispersos de manera eficiente.
  • Exhiben complejidad de tiempo polinómico, lo que los hace eficientes para aplicaciones a gran escala.
  • Proporcionan un criterio de parada natural basado en el parámetro de restricción y la tolerancia de convergencia.

Desventajas de los métodos de punto interior

  • Se requiere una selección cuidadosa de puntos de partida y parámetros iniciales para un rendimiento óptimo.
  • La implementación y comprensión del algoritmo es más compleja que el método del simplex.

Conclusión

Los métodos de punto interior han revolucionado el campo de la optimización, especialmente la programación lineal. Su capacidad para manejar efectivamente problemas a gran escala ha ampliado su utilidad más allá de los métodos tradicionales como el método del simplex. Aunque requieren un pensamiento y configuración cuidadosa, las ganancias en eficiencia y rendimiento los convierten en una herramienta invaluable en la comunidad de optimización.

A medida que el poder computacional continúa aumentando y la necesidad de resolver problemas de optimización cada vez más complejos crece, los métodos de punto interior seguirán estando a la vanguardia de las técnicas de optimización.


Posgrado → 9.1.4


U
username
0%
completado en Posgrado

← Anterior (9.1.3)
Análisis de sensibilidad en programación lineal
Siguiente (9.2) →
Programación no lineal

Comentarios 



Métodos de punto interior

https://www.buddymath.com/g/9.1.4?bmal=es