Магистратура
  1. Введение в математический анализ  1.1. Теория множеств и логика в реальном анализе  1.1.1. Множества и операции в теории множеств и логике в реальном анализе  1.1.2. Отношения и функции  1.1.3. Логика и кванторы  1.1.4. Мощность множеств  1.2. Метрика  1.2.1. Введение в открытые и замкнутые множества в метрических пространствах  1.2.2. Сходимость последовательностей в метрическом пространстве  1.2.3. Непрерывная функция в метрическом пространстве  1.2.4. Компактность и полнота в метрических пространствах в реальном анализе  1.3. Последовательности и ряды  1.3.1. Сходимость последовательностей  1.3.2. Бесконечные ряды  1.3.3. Равномерная сходимость  1.3.4. Ряды степеней  1.4. Дискриминация  1.4.1. Теорема о среднем значении  1.4.2. Ряд Тейлора  1.4.3. Функции нескольких переменных  1.4.4. Частная производная  1.5. Интеграция  1.5.1. Интегрирование Римана и Лебега  1.5.2. Неправильные интегралы  1.5.3. Теория меры: фундаментальный инструмент в интеграции  1.5.4. Теорема Фубини  1.6. Функциональный анализ  1.6.1. Понимание пространства Банака  1.6.2. Пространства Гильберта  1.6.3. Операторы на пространствах  1.6.4. Спектральная теория
  2. Абстрактная алгебра  2.1. Понимание групп в абстрактной алгебре  2.1.1. Определения и примеры групп в абстрактной алгебре  2.1.2. Гомоморфизмы групп  2.1.3. Введение в нормальные подгруппы  2.1.4. Теорема Силова  2.2. Кольца и поля  2.2.1. Идеалы и фактор-кольца  2.2.2. Расширения полей  2.2.3. Теория Галуа  2.2.4. Полиномиальные кольца  2.3. Введение в модули в абстрактной алгебре  2.3.1. Гомоморфизм модуля  2.3.2. Свободные модули  2.3.3. Введение в тензорные произведения  2.3.4. Точная последовательность в модулях  2.4. Линейная алгебра  2.4.1. Векторное пространство  2.4.2. Собственные значения и собственные векторы  2.4.3. Векторное пространство с внутренним произведением  2.4.4. Диагонализация
  3. Топология  3.1. Общая топология  3.1.1. Открытые и закрытые множества  3.1.2. Компактность и связность  3.1.3. Непрерывные отображения  3.1.4. Аксиома отделимости  3.2. Алгебраическая топология  3.2.1. Понимание фундаментальных групп в алгебраической топологии  3.2.2. Гомотопия и гомология  3.2.3. Симплициальный комплекс  3.2.4. Точные последовательности в гомологии  3.3. Дифференциальная топология  3.3.1. Понимание многообразий в дифференциальной топологии  3.3.2. Гладкие функции  3.3.3. Тангенциальное и котангенциальное пространство  3.3.4. Векторные расслоения
  4. Дифференциальные уравнения  4.1. Обыкновенные дифференциальные уравнения  4.1.1. Дифференциальные уравнения первого порядка  4.1.2. Линейные уравнения второго порядка  4.1.3. Системы дифференциальных уравнений  4.1.4. Анализ устойчивости в обыкновенных дифференциальных уравнениях  4.2. Частные дифференциальные уравнения  4.2.1. Классификация уравнений с частными производными  4.2.2. Понимание рядов Фурье в уравнениях с частными производными  4.2.3. Введение в функции Грина  4.2.4. Метод характеристик  4.3. Динамические системы в дифференциальных уравнениях  4.3.1. Теория устойчивости  4.3.2. Предельные циклы в динамических системах  4.3.3. Теория хаоса  4.3.4. Теория бифуркаций
  5. Теория вероятностей и статистика  5.1. Теория вероятностей  5.1.1. Случайные переменные  5.1.2. Распределения вероятностей  5.1.3. Закон больших чисел  5.1.4. Центральная предельная теорема  5.2. Статистическое вывод  5.2.1. Проверка гипотез  5.2.2. Доверительный интервал  5.2.3. Байесовские методы  5.2.4. Метод максимального правдоподобия  5.3. Стохастические процессы  5.3.1. Цепи Маркова  5.3.2. Броуновское движение  5.3.3. Понимание процессов Пуассона  5.3.4. Мартингейлы: всестороннее исследование в вероятности и статистике
  6. Численный анализ  6.1. Численное решение уравнений  6.1.1. Оригинальное открытие  6.1.2. Итерационные методы  6.1.3. Анализ сходимости  6.1.4. Границы ошибок в численных решениях уравнений  6.2. Численная линейная алгебра  6.2.1. Факторизация матриц  6.2.2. Вычисление собственных значений  6.2.3. Разреженные матрицы  6.2.4. Методы предобработки  6.3. Численное интегрирование и дифференцирование  6.3.1. Методы квадратур  6.3.2. Введение в конечные разности  6.3.3. Анализ ошибок в численном интегрировании и дифференцировании  6.3.4. Адаптивные методы в численном интегрировании и дифференцировании
  7. Комплексный анализ  7.1. Комплексные числа  7.1.1. Полярная форма  7.1.2. Комплексные сопряженные  7.1.3. Экспоненциальная форма комплексных чисел  7.1.4. Корни из единицы  7.2. Аналитические функции  7.2.1. Уравнения Коши — Римана  7.2.2. Степенные ряды  7.2.3. Конформное отображение  7.2.4. Гармонические функции  7.3. Интегрирование на комплексной плоскости  7.3.1. Теорема Коши  7.3.2. Теорема о вычетах  7.3.3. Контурное интегрирование  7.3.4. Интегральные преобразования
  8. Математическая логика и основания  8.1. Пропозициональная логика  8.1.1. Таблицы истинности  8.1.2. Логическая эквивалентность в пропозициональной логике  8.1.3. Техники доказательства в пропозициональной логике  8.1.4. Решение в пропозициональной логике  8.2. Логика предикатов  8.2.1. Кванторы в предикатной логике  8.2.2. Формальные системы в предикатной логике  8.2.3. Полнота и правильность  8.2.4. Модельная теория  8.3. Теория множеств  8.3.1. Кардинальность и ординальность  8.3.2. Аксиоматические системы  8.3.3. Понимание теории множеств Цермело-Френкеля  8.3.4. Силы в теории множества
  9. Настройка  9.1. Линейное программирование  9.1.1. Метод симплекс  9.1.2. Двойственность в линейном программировании  9.1.3. Анализ чувствительности в линейном программировании  9.1.4. Методы внутренних точек  9.2. Нелинейное программирование  9.2.1. Градиентный спуск  9.2.2. Множители Лагранжа  9.2.3. Выпуклая оптимизация  9.2.4. Квадратичное программирование  9.3. Комбинаторная оптимизация  9.3.1. Алгоритмы графов  9.3.2. Целочисленное программирование  9.3.3. Сетевой поток  9.3.4. Алгоритмы аппроксимации
  10. Дискретная математика  10.1. Теория графов  10.1.1. Представление графов  10.1.2. Плоскость и цвет  10.1.3. Алгоритм поиска кратчайшего пути  10.1.4. Сетевой поток  10.2. Компаньонство  10.2.1. Перестановка и сочетание  10.2.2. Порождающая функция  10.2.3. Рекуррентные соотношения  10.2.4. Понимание принципа включения-исключения  10.3. Криптография  10.3.1. Применение теории чисел в криптографии  10.3.2. Симметричное и асимметричное шифрование  10.3.3. RSA и криптография на эллиптических кривых  10.3.4. Постквантовая криптография

Магистратура → Настройка → Линейное программирование ↓


Анализ чувствительности в линейном программировании


Анализ чувствительности является важным аспектом линейного программирования и оптимизации. Он исследует, как неопределенность в выходных данных модели может быть связана с различными источниками неопределенности во входных данных. Этот анализ важен, потому что модели линейного программирования основываются на оценках параметров, и реальные значения этих параметров часто могут отличаться от оценок. Анализ чувствительности помогает понять, как изменения параметров влияют на оптимальное решение и остается ли решение устойчивым, несмотря на изменения этих параметров. Давайте изучим концепции и методы анализа чувствительности в линейном программировании на примерах и объяснениях.

Понимание линейного программирования

Линейное программирование - это математическая техника, используемая для определения наилучшего возможного результата или решения из заданного набора параметров или списка требований, которые имеют линейное соотношение. Они оптимизируют конкретную целевую функцию с учетом ограничений, налагаемых линейными неравенствами или уравнениями. Общая форма задачи линейного программирования может быть записана как:

Максимум или минимум:  
    c T x

при условиях:
    A x ≤ b или A x ≥ b или A x = b ,
    
x ≥ 0

где: - x - вектор переменных, - c - коэффициенты целевой функции, - A - матрица коэффициентов для ограничений, - b - постоянные члены в ограничениях.

Пример линейного программирования

Рассмотрим простую задачу о производстве как пример задачи линейного программирования. Предположим, что производитель выпускает два продукта, A и B. Прибыль на единицу продукта A составляет $3, а для продукта B — $2. У производителя имеется ограничение на ресурсы, так что общие ресурсы, необходимые для производства продукции, ограничены двумя факторами — материалом и трудом. Задача линейного программирования может быть сформулирована как:

Максимум: 3x 1 + 2x 2

при условиях:
    2x 1 + x 2 ≤ 100 (физическое ограничение)
    x 1 + 3x 2 ≤ 90 (ограничение по труду)
    x 1 ≥ 0 , x 2 ≥ 0

Здесь, x 1 - это количество продукта A, а x 2 - количество продукта B.

Введение в анализ чувствительности

После того как задача линейного программирования сформулирована и решена, в дело вступает анализ чувствительности. Анализ чувствительности говорит нам, насколько чувствительно оптимальное решение к изменениям параметров задачи. Он часто включает:

  • Изменение коэффициентов целевой функции.
  • Корректировки правой части (RHS) ограничений.
  • Изменения коэффициентов уравнений ограничений.

Изменения коэффициентов целевой функции

Это включает понимание того, как коэффициенты целевой функции ( c вектор) влияют на оптимальное решение. Небольшие изменения могут не повлиять на решение, в то время как значительные изменения могут потенциально изменить, какие переменные находятся в базе и какое значение принимает целевая функция.

Рассмотрим вышеприведенный пример элементарной задачи. Если прибыль от продукта A изменится, нам нужно оценить, как это повлияет на объем производства и общую прибыль.

Графический пример

Оптимальная точка Изменение цели Ограничения

Вышеприведенный график показывает, как сдвиг коэффициентов целевой функции может изменить решение на новую точку, если это допускают ограничения.

Изменения в правой части равенств

Это касается изменений в b векторе. В практических сценариях нагрузка на ресурсы или доступные ресурсы часто изменяются. Важно понять, как эти изменения влияют на оптимальное решение. Например, если становится доступно больше материала, как оптимальный производственный план адаптируется?

Текстовая иллюстрация

Предположим, что доступность материала увеличивается с 100 до 120 единиц:

Оригинальное ограничение: 2x 1 + x 2 ≤ 100
Измененное ограничение: 2x 1 + x 2 ≤ 120

Возможность может измениться, и, следовательно, могут произойти оптимальные корректировки, которые могут потенциально увеличить прибыль.

Изменение в коэффициенте ограничений

Изменение коэффициентов в матрице ограничений A открывает другое измерение анализа чувствительности. Этот анализ отражает реальные изменения, такие как улучшения эффективности или изменения требований к процессу.

Примеры и объяснения

Представьте улучшение производственного процесса для продукта A, которое позволяет ему использовать 1,5 единицы материала вместо 2:

Оригинальные коэффициенты матрицы: 2x 1 + x 2 ≤ 100
Измененный коэффициент: 1.5x 1 + x 2 ≤ 100

Это изменение в ограничении может оказывать существенное влияние на потенциальное увеличение производства продукта A в рамках той же выделенной ресурсы.

Значение анализа чувствительности

Анализ чувствительности чрезвычайно важен в реальных приложениях, поскольку он предоставляет уровень уверенности и понимания:

  • Устойчивость: Знание, что решение близко к оптимальному, позволяет лицам, принимающим решения, двигаться вперед с меньшим риском значительных негативных последствий из-за небольших отклонений.
  • Принятие решений: Понимание степени уверенности позволяет компаниям принимать обоснованные решения о инвестициях в ресурсы, технологии или адаптации к рынку.
  • Распределение ресурсов: Знание того, как изменения влияют на результаты, помогает в проактивном и стратегическом управлении ресурсами.

Заключение

Анализ чувствительности в линейном программировании предоставляет необходимую информацию о отзывчивости и устойчивости оптимального решения. Изучая влияние изменений в коэффициентах целевой функции, ограничениях и других параметрах, лица, принимающие решения, могут предвидеть и адаптироваться к изменчивости, обеспечивая эффективное распределение ресурсов и стратегическое планирование.


Магистратура → 9.1.3


U
username
0%
завершено в Магистратура

← предыдущая (9.1.2)
Двойственность в линейном программировании
следующая (9.1.4) →
Методы внутренних точек

комментарии 



Анализ чувствительности в линейном программировании

https://www.buddymath.com/g/9.1.3?bmal=ru