Pós-graduação
  1. Introdução à análise real  1.1. Teoria dos conjuntos e lógica em análise real  1.1.1. Conjuntos e operações na teoria dos conjuntos e lógica em análise real  1.1.2. Relações e funções  1.1.3. Lógica e quantificadores  1.1.4. Cardinalidade dos conjuntos  1.2. Espaço métrico  1.2.1. Introdução aos conjuntos abertos e fechados em espaços métricos  1.2.2. Convergência de sequências em um espaço métrico  1.2.3. Função contínua em um espaço métrico  1.2.4. Compacidade e completude em espaços métricos na análise real  1.3. Sequências e séries  1.3.1. Convergência de sequências  1.3.2. Séries infinitas  1.3.3. Convergência uniforme  1.3.4. Séries de potências  1.4. Discriminação  1.4.1. Teorema do valor médio  1.4.2. Série de Taylor  1.4.3. Funções de várias variáveis  1.4.4. Derivada parcial  1.5. Integração  1.5.1. Integração de Riemann e Lebesgue  1.5.2. Integrais impróprias  1.5.3. Teoria da Medida: uma ferramenta fundamental na integração  1.5.4. Teorema de Fubini  1.6. Análise funcional  1.6.1. Compreendendo espaços de Banach  1.6.2. Espaços de Hilbert  1.6.3. Operadores em espaços  1.6.4. Teoria Espectral
  2. Álgebra Abstrata  2.1. Compreendendo grupos na álgebra abstrata  2.1.1. Definições e exemplos de grupos na álgebra abstrata  2.1.2. Homomorfismos de grupos  2.1.3. Introdução aos subgrupos normais  2.1.4. Teorema de Sylow  2.2. Anéis e campos  2.2.1. Ideais e anéis quocientes  2.2.2. Extensões de campos  2.2.3. Teoria de Galois  2.2.4. Anéis de polinômios  2.3. Introdução aos módulos em álgebra abstrata  2.3.1. Homomorfismo de Módulos  2.3.2. Módulos livres  2.3.3. Introdução aos produtos tensoriais  2.3.4. Sequência exata em módulos  2.4. Álgebra linear  2.4.1. Espaço vetorial  2.4.2. Autovalores e autovetores  2.4.3. Espaço de produto interno  2.4.4. Diagonalização
  3. Topologia  3.1. Topologia Geral  3.1.1. Conjuntos abertos e fechados  3.1.2. Compacidade e conexidade  3.1.3. Mapas contínuos  3.1.4. Axioma de separação  3.2. Topologia algébrica  3.2.1. Compreendendo grupos fundamentais em topologia algébrica  3.2.2. Homotopia e homologia  3.2.3. Complexo simplicial  3.2.4. Sequências exatas em homologia  3.3. Topologia Diferencial  3.3.1. Compreendendo variedades na topologia diferencial  3.3.2. Funções Suaves  3.3.3. Espaço tangente e cotangente  3.3.4. Feixes vetoriais
  4. Equações diferenciais  4.1. Equação diferencial ordinária  4.1.1. Equações de primeira ordem  4.1.2. Equações lineares de segunda ordem  4.1.3. Sistemas de equações diferenciais  4.1.4. Análise de estabilidade em equações diferenciais ordinárias  4.2. Equações diferenciais parciais  4.2.1. Classificação de PDE  4.2.2. Compreendendo séries de Fourier em equações diferenciais parciais  4.2.3. Introdução às funções de Green  4.2.4. Método de caracterização  4.3. Sistemas dinâmicos em equações diferenciais  4.3.1. Teoria da Sustentabilidade  4.3.2. Ciclos limite em sistemas dinâmicos  4.3.3. Teoria do caos  4.3.4. Teoria da bifurcação
  5. Probabilidade e estatística  5.1. Teoria da probabilidade  5.1.1. Variáveis aleatórias  5.1.2. Distribuições de probabilidade  5.1.3. Lei dos grandes números  5.1.4. Teorema Central do Limite  5.2. Inferência estatística  5.2.1. Teste de hipótese  5.2.2. Intervalo de confiança  5.2.3. Métodos bayesianos  5.2.4. Estimativa de máxima verossimilhança  5.3. Processos estocásticos  5.3.1. Cadeias de Markov  5.3.2. Movimento Browniano  5.3.3. Compreendendo os processos de Poisson  5.3.4. Martingales: Um estudo abrangente em probabilidade e estatística
  6. Análise numérica  6.1. Soluções numéricas de equações  6.1.1. Descoberta original  6.1.2. Métodos iterativos  6.1.3. Análise de convergência  6.1.4. Limites de erro em soluções numéricas de equações  6.2. Álgebra linear numérica  6.2.1. Fatoração de matrizes  6.2.2. Cálculo de autovalores  6.2.3. Matrizes esparsas  6.2.4. Técnicas de pré-condicionamento  6.3. Integração e diferenciação numéricas  6.3.1. Métodos de quadratura  6.3.2. Introdução às diferenças finitas  6.3.3. Análise de erro na integração e diferenciação numérica  6.3.4. Métodos adaptativos em integração e diferenciação numérica
  7. Análise complexa  7.1. Números complexos  7.1.1. Forma polar  7.1.2. Conjugados Complexos  7.1.3. Forma exponencial de números complexos  7.1.4. Raízes da unidade  7.2. Funções analíticas  7.2.1. Equações de Cauchy–Riemann  7.2.2. Séries de potências  7.2.3. Mapeamento conforme  7.2.4. Funções harmônicas  7.3. Integração no plano complexo  7.3.1. Teorema de Cauchy  7.3.2. Teorema do resíduo  7.3.3. Integração de contorno  7.3.4. Transformadas integrais
  8. Lógica Matemática e Fundamentos  8.1. Lógica proposicional  8.1.1. Tabelas de verdade  8.1.2. Equivalência lógica na lógica proposicional  8.1.3. Técnicas de prova em lógica proposicional  8.1.4. Solução na lógica proposicional  8.2. Lógica de predicados  8.2.1. Quantificadores na lógica de predicados  8.2.2. Sistemas formais na lógica de predicados  8.2.3. Completude e correção  8.2.4. Teoria dos modelos  8.3. Teoria dos conjuntos  8.3.1. Cardinalidade e ordinalidade  8.3.2. Sistemas axiomáticos  8.3.3. Compreendendo a teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel  8.3.4. Forças na teoria dos conjuntos
  9. Personalização  9.1. Programação linear  9.1.1. Método simplex  9.1.2. Dualidade na programação linear  9.1.3. Análise de sensibilidade em programação linear  9.1.4. Métodos de ponto interior  9.2. Programação não linear  9.2.1. Descida do Gradiente  9.2.2. Múltiplos de Lagrange  9.2.3. Otimização convexa  9.2.4. Programação quadrática  9.3. Otimização Combinatória  9.3.1. Algoritmos de grafos  9.3.2. Programação inteira  9.3.3. Fluxo de Rede  9.3.4. Algoritmos de aproximação
  10. Matemática discreta  10.1. Teoria dos grafos  10.1.1. Representação de grafos  10.1.2. Planicidade e cor  10.1.3. Algoritmo de caminho mais curto  10.1.4. Fluxo de rede  10.2. Companheirismo  10.2.1. Percmutações e combinações  10.2.2. Função geradora  10.2.3. Relação de recorrência  10.2.4. Compreendendo o Princípio da Inclusão-Exclusão  10.3. Criptografia  10.3.1. Aplicações da teoria dos números na criptografia  10.3.2. Criptografia Simétrica e Assimétrica  10.3.3. RSA e criptografia de curva elíptica  10.3.4. Criptografia pós-quântica

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Análise de sensibilidade em programação linear


A análise de sensibilidade é um aspecto importante da programação linear e da otimização. Ela examina como a incerteza na saída de um modelo pode ser atribuída a várias fontes de incerteza em suas entradas. Esta análise é importante porque os modelos de programação linear são baseados em estimativas de parâmetros, e os valores reais desses parâmetros podem muitas vezes diferir das estimativas. A análise de sensibilidade nos ajuda a entender como as mudanças nos parâmetros afetam a solução ótima e se uma solução permanece robusta apesar das mudanças nesses parâmetros. Vamos explorar os conceitos e técnicas de análise de sensibilidade em programação linear através de várias explicações e exemplos.

Entendendo a programação linear

A programação linear é uma técnica matemática usada para determinar o melhor resultado ou solução possível a partir de um determinado conjunto de parâmetros ou lista de requisitos que têm um relacionamento linear. Ela otimiza uma função objetivo específica, sujeita às restrições impostas por desigualdades ou equações lineares. A forma geral de um problema de programação linear pode ser escrita como:

Máximo ou mínimo:  
    c T x

sujeito a:
    A x ≤ b ou A x ≥ b ou A x = b ,
    
x ≥ 0

onde: - x é o vetor de variáveis, - c são os coeficientes da função objetivo, - A é a matriz de coeficientes para as restrições, - b são termos constantes nas restrições.

Um exemplo de programação linear

Vamos considerar um problema de produção simples como um exemplo de problema de programação linear. Suponha que um fabricante produz dois produtos, A e B. A contribuição de lucro por unidade do produto A é de $3, e para o produto B, é de $2. O fabricante tem uma limitação de recursos, de modo que os recursos totais necessários para produzir os produtos são limitados por dois fatores - material e trabalho. O problema de programação linear pode ser declarado como:

Máximo: 3x 1 + 2x 2

sujeito a:
    2x 1 + x 2 ≤ 100 (restrição física)
    x 1 + 3x 2 ≤ 90 (restrição de trabalho)
    x 1 ≥ 0 , x 2 ≥ 0

Aqui, x 1 é a quantidade do produto A e x 2 é a quantidade do produto B.

Introdução à análise de sensibilidade

Uma vez que o problema de programação linear é formulado e resolvido, a análise de sensibilidade entra em jogo. A análise de sensibilidade nos informa sobre quão sensível a solução ótima é às mudanças nos parâmetros do problema. Ela frequentemente envolve:

  • Mudança nos coeficientes da função objetivo.
  • Ajustes no lado direito (RHS) das restrições.
  • Mudanças nos coeficientes das equações de restrição.

Mudanças nos coeficientes da função objetivo

Isso envolve entender como os coeficientes da função objetivo (vetor c) afetam a solução ótima. Pequenas mudanças podem não afetar a solução, enquanto grandes mudanças podem potencialmente alterar quais variáveis estão na base e o valor da função objetivo.

Considere o exemplo do problema primitivo acima. Se a contribuição de lucro do produto A mudar, precisamos avaliar como isso afeta o volume de produção e o lucro geral.

Exemplo gráfico

Ponto ótimo Mudança para novo propósito Restrições

O gráfico acima mostra como mudar os coeficientes da função objetivo pode dobrar a solução para um novo ponto se as restrições permitirem.

Mudanças no lado direito das restrições

Isso envolve uma mudança no vetor b. Em cenários práticos, a carga sobre os recursos ou os recursos disponíveis frequentemente mudam. É importante entender como essas mudanças afetam a solução ótima. Por exemplo, se mais material se torna disponível, como o plano de produção ótimo se adapta?

Ilustração textual

Suponha que a disponibilidade de material aumente de 100 para 120 unidades:

Restrição original: 2x 1 + x 2 ≤ 100
Restrição modificada: 2x 1 + x 2 ≤ 120

A viabilidade pode mudar e, assim, ajustes ótimos podem ocorrer, o que potencialmente pode aumentar os lucros.

Mudança no coeficiente das restrições

Mudar os coeficientes na matriz de restrição A revela outra dimensão da análise de sensibilidade. Esta análise reflete mudanças no mundo real, como melhorias de eficiência ou mudanças nos requisitos de processo.

Exemplos e explicações

Imagine uma melhoria no processo de produção do produto A, permitindo que ele use 1,5 unidades de material em vez de 2:

Coeficientes da matriz original: 2x 1 + x 2 ≤ 100
Coeficiente modificado: 1.5x 1 + x 2 ≤ 100

Essa modificação na restrição pode ter um impacto significativo em potencialmente aumentar a produção do produto A dentro da mesma alocação de recursos.

Importância da análise de sensibilidade

A análise de sensibilidade é incrivelmente importante em aplicações do mundo real porque fornece uma camada de segurança e insights sobre:

  • Robustez: Saber que a solução está próxima do ideal permite que os tomadores de decisão sigam em frente com menos risco de impactos negativos dramáticos devido a desvios menores.
  • Tomada de decisão: Ao entender a extensão da certeza, as empresas podem tomar decisões informadas sobre investimentos em recursos, tecnologia ou adaptação ao mercado.
  • Alocação de recursos: Saber como as mudanças afetam as saídas ajuda na gestão proativa e estratégica de recursos.

Conclusão

A análise de sensibilidade em programação linear fornece conhecimento essencial sobre a capacidade de resposta e robustez da solução ótima. Ao examinar os efeitos de mudanças nos coeficientes da função objetivo, restrições e outros parâmetros, os tomadores de decisão podem antecipar e se adaptar à variabilidade e garantir uma alocação eficiente de recursos e planejamento estratégico.


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