Posgrado
  1. Introducción al análisis real  1.1. Teoría de conjuntos y lógica en el análisis real  1.1.1. Conjuntos y operaciones en teoría de conjuntos y lógica en análisis real  1.1.2. Relaciones y funciones  1.1.3. Lógica y cuantificadores  1.1.4. Cardinalidad de conjuntos  1.2. Espacio métrico  1.2.1. Introducción a conjuntos abiertos y cerrados en espacios métricos  1.2.2. Convergencia de secuencias en un espacio métrico  1.2.3. Función continua en un espacio métrico  1.2.4. Compacidad y completitud en espacios métricos en análisis real  1.3. Secuencias y series  1.3.1. Convergencia de secuencias  1.3.2. Series infinitas  1.3.3. Convergencia uniforme  1.3.4. Serie de potencias  1.4. Discriminación  1.4.1. Teorema del valor medio  1.4.2. Serie de Taylor  1.4.3. Funciones de varias variables  1.4.4. Derivada parcial  1.5. Integración  1.5.1. Integración de Riemann y Lebesgue  1.5.2. Integrales impropias  1.5.3. Teoría de la medida: una herramienta fundamental en la integración  1.5.4. Teorema de Fubini  1.6. Análisis funcional  1.6.1. Comprendiendo los espacios de Banach  1.6.2. Espacios de Hilbert  1.6.3. Operadores en espacios  1.6.4. Teoría espectral
  2. Álgebra abstracta  2.1. Entendiendo los grupos en el álgebra abstracta  2.1.1. Definiciones y ejemplos de grupos en álgebra abstracta  2.1.2. Homomorfismos de grupos  2.1.3. Introducción a los subgrupos normales  2.1.4. Teorema de Sylow  2.2. Anillos y campos  2.2.1. Ideales y anillos cociente  2.2.2. Extensiones de campos  2.2.3. Teoría de Galois  2.2.4. Anillos de polinomios  2.3. Introducción a los módulos en álgebra abstracta  2.3.1. Homomorfismo de módulos  2.3.2. Módulos libres  2.3.3. Introducción a los productos tensoriales  2.3.4. Secuencia exacta en módulos  2.4. Álgebra lineal  2.4.1. Espacio vectorial  2.4.2. Autovalores y autovectores  2.4.3. Espacio de producto interior  2.4.4. Diagonalización
  3. Topología  3.1. Topología general  3.1.1. Conjuntos abiertos y cerrados  3.1.2. Compacidad y conexión  3.1.3. Mapas continuos  3.1.4. Axioma de separación  3.2. Topología algebraica  3.2.1. Comprensión de los grupos fundamentales en la topología algebraica  3.2.2. Homotopía y homología  3.2.3. Complejo simplicial  3.2.4. Secuencias exactas en homología  3.3. Topología diferencial  3.3.1. Comprendiendo las variedades en topología diferencial  3.3.2. Funcionamiento suave  3.3.3. Espacio tangente y cotangente  3.3.4. Fibrados vectoriales
  4. Ecuaciones diferenciales  4.1. Ecuación diferencial ordinaria  4.1.1. Ecuaciones de primer orden  4.1.2. Ecuaciones lineales de segundo orden  4.1.3. Sistemas de ecuaciones diferenciales  4.1.4. Análisis de estabilidad en ecuaciones diferenciales ordinarias  4.2. Ecuaciones en derivadas parciales  4.2.1. Clasificación de EDP  4.2.2. Entendiendo las series de Fourier en ecuaciones diferenciales parciales  4.2.3. Introducción a las funciones de Green  4.2.4. Método de caracterización  4.3. Sistemas dinámicos en ecuaciones diferenciales  4.3.1. Teoría de la sostenibilidad  4.3.2. Ciclos límite en sistemas dinámicos  4.3.3. Teoría del caos  4.3.4. Teoría de bifurcación
  5. Probabilidad y estadística  5.1. Teoría de la probabilidad  5.1.1. Variables aleatorias  5.1.2. Distribuciones de probabilidad  5.1.3. Ley de los grandes números  5.1.4. Teorema del límite central  5.2. Inferencia estadística  5.2.1. Pruebas de hipótesis  5.2.2. Intervalo de confianza  5.2.3. Métodos bayesianos  5.2.4. Estimación de máxima verosimilitud  5.3. Procesos estocásticos  5.3.1. Cadenas de Markov  5.3.2. Movimiento browniano  5.3.3. Comprendiendo los procesos de Poisson  5.3.4. Martingalas: Un estudio integral en probabilidad y estadística
  6. Análisis numérico  6.1. Soluciones numéricas de ecuaciones  6.1.1. Descubrimiento original  6.1.2. Métodos iterativos  6.1.3. Análisis de convergencia  6.1.4. Cotas de error en soluciones numéricas de ecuaciones  6.2. Álgebra lineal numérica  6.2.1. Factorización de matrices  6.2.2. Cálculo de valores propios  6.2.3. Matrices dispersas  6.2.4. Técnicas de preacondicionamiento  6.3. Integración y diferenciación numérica  6.3.1. Métodos de cuadratura  6.3.2. Introducción a las diferencias finitas  6.3.3. Análisis de errores en la integración y diferenciación numérica  6.3.4. Métodos adaptativos en integración y diferenciación numérica
  7. Análisis complejo  7.1. Números complejos  7.1.1. Forma polar  7.1.2. Conjugados complejos  7.1.3. Forma exponencial de los números complejos  7.1.4. Raíces de la unidad  7.2. Funciones analíticas  7.2.1. Ecuaciones de Cauchy–Riemann  7.2.2. Series de potencias  7.2.3. Mapeo conforme  7.2.4. Funciones armónicas  7.3. Integración en el plano complejo  7.3.1. Teorema de Cauchy  7.3.2. Teorema del residuo  7.3.3. Integración de contornos  7.3.4. Transformaciones integrales
  8. Lógica matemática y fundamentos  8.1. Lógica proposicional  8.1.1. Tablas de verdad  8.1.2. Equivalencia lógica en la lógica proposicional  8.1.3. Técnicas de demostración en lógica proposicional  8.1.4. Solución en lógica proposicional  8.2. Lógica de predicados  8.2.1. Cuantificadores en lógica de predicados  8.2.2. Sistemas formales en lógica de predicados  8.2.3. Integridad y solidez  8.2.4. Teoría de modelos  8.3. Teoría de conjuntos  8.3.1. Cardinalidad y ordinalidad  8.3.2. Sistemas axiomáticos  8.3.3. Comprender la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel  8.3.4. Fuerzas en la teoría de conjuntos
  9. Personalización  9.1. Programación lineal  9.1.1. Método simplex  9.1.2. Dualidad en la programación lineal  9.1.3. Análisis de sensibilidad en programación lineal  9.1.4. Métodos de punto interior  9.2. Programación no lineal  9.2.1. Descenso de gradiente  9.2.2. Multiplicadores de Lagrange  9.2.3. Optimización convexa  9.2.4. Programación cuadrática  9.3. Optimización Combinatoria  9.3.1. Algoritmos de grafos  9.3.2. Programación entera  9.3.3. Flujo de red  9.3.4. Algoritmos de aproximación
  10. Matemáticas discretas  10.1. Teoría de grafos  10.1.1. Representación de grafos  10.1.2. Llanura y color  10.1.3. Algoritmo de camino más corto  10.1.4. Flujo de red  10.2. Compañerismo  10.2.1. Permutación y combinación  10.2.2. Función generadora  10.2.3. Relación de recurrencia  10.2.4. Comprendiendo el Principio de Inclusión-Exclusión  10.3. Criptografía  10.3.1. Aplicaciones de la teoría de números en criptografía  10.3.2. Criptografía Simétrica y Asimétrica  10.3.3. RSA y criptografía de curvas elípticas  10.3.4. Criptografía post-cuántica

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Análisis de sensibilidad en programación lineal


El análisis de sensibilidad es un aspecto importante de la programación lineal y la optimización. Examina cómo la incertidumbre en la salida de un modelo puede atribuirse a varias fuentes de incertidumbre en sus entradas. Este análisis es importante porque los modelos de programación lineal se basan en estimaciones de parámetros, y los valores reales de estos parámetros a menudo pueden diferir de las estimaciones. El análisis de sensibilidad nos ayuda a entender cómo los cambios en los parámetros afectan la solución óptima y si una solución permanece robusta a pesar de los cambios en esos parámetros. Vamos a explorar los conceptos y técnicas del análisis de sensibilidad en programación lineal a través de varias explicaciones y ejemplos.

Entendiendo la programación lineal

La programación lineal es una técnica matemática utilizada para determinar el mejor resultado o solución posible a partir de un conjunto determinado de parámetros o lista de requisitos que tienen una relación lineal. Estos optimizan una función objetivo particular, sujeta a las restricciones impuestas por desigualdades o ecuaciones lineales. La forma general de un problema de programación lineal se puede escribir como:

Máximo o mínimo:  
    c T x

sujeto a:
    A x ≤ b o A x ≥ b o A x = b ,
    
x ≥ 0

donde: - x es el vector de variables, - c son los coeficientes de la función objetivo, - A es la matriz de coeficientes para las restricciones, - b son términos constantes en las restricciones.

Un ejemplo de programación lineal

Tomemos un problema de producción simple como un ejemplo de un problema de programación lineal. Supongamos que un fabricante produce dos productos, A y B. La contribución de beneficio por unidad del producto A es $3, y para el producto B, es $2. El fabricante tiene una limitación de recursos, de tal manera que los recursos totales requeridos para producir los productos están limitados por dos factores: material y mano de obra. El problema de programación lineal se puede expresar como:

Máximo: 3x 1 + 2x 2

sujeto a:
    2x 1 + x 2 ≤ 100 (restricción física)
    x 1 + 3x 2 ≤ 90 (restricción de mano de obra)
    x 1 ≥ 0 , x 2 ≥ 0

Aquí, x 1 es la cantidad del producto A y x 2 es la cantidad del producto B.

Introducción al análisis de sensibilidad

Una vez que el problema de programación lineal está formulado y resuelto, el análisis de sensibilidad entra en juego. El análisis de sensibilidad nos dice cuán sensible es la solución óptima a los cambios en los parámetros del problema. A menudo involucra:

  • Cambio en los coeficientes de la función objetivo.
  • Ajustes al lado derecho (RHS) de las restricciones.
  • Cambios en los coeficientes de las ecuaciones de restricción.

Cambios en los coeficientes de la función objetivo

Esto implica entender cómo los coeficientes de la función objetivo (vector c) afectan la solución óptima. Los cambios pequeños pueden no afectar la solución, mientras que los cambios grandes pueden cambiar potencialmente qué variables están en la base y el valor de la función objetivo.

Consideremos el ejemplo de problema primitivo mencionado anteriormente. Si la contribución de beneficio del producto A cambia, necesitamos evaluar cómo esto afecta el volumen de producción y el beneficio total.

Ejemplo gráfico

Punto óptimo Cambio a nuevo propósito Restricciones

El gráfico anterior muestra cómo cambiar los coeficientes de la función objetivo puede inclinar la solución a un nuevo punto si las restricciones lo permiten.

Cambios en el lado derecho de las probabilidades

Esto implica un cambio en el vector b. En escenarios prácticos, la carga en los recursos o los recursos disponibles a menudo cambian. Es importante entender cómo estos cambios afectan la solución óptima. Por ejemplo, si hay más material disponible, ¿cómo se adapta el plan de producción óptimo?

Ilustración de texto

Supongamos que la disponibilidad de material aumenta de 100 a 120 unidades:

Restricción original: 2x 1 + x 2 ≤ 100
Restricción modificada: 2x 1 + x 2 ≤ 120

La factibilidad puede cambiar y, por lo tanto, pueden ocurrir ajustes óptimos que potencialmente aumenten las ganancias.

Cambio en el coeficiente de restricción

Cambiar los coeficientes en la matriz de restricciones A revela otra dimensión del análisis de sensibilidad. Este análisis refleja cambios del mundo real como mejoras de eficiencia o cambios en los requisitos de proceso.

Ejemplos y explicaciones

Imaginemos una mejora en el proceso de producción del producto A, lo que permite utilizar 1.5 unidades de material en lugar de 2:

Coeficientes de matriz originales: 2x 1 + x 2 ≤ 100
Coeficiente modificado: 1.5x 1 + x 2 ≤ 100

Esta modificación de la restricción puede tener un impacto significativo en potencialmente aumentar la producción del producto A dentro de la misma asignación de recursos.

Importancia del análisis de sensibilidad

El análisis de sensibilidad es increíblemente importante en aplicaciones del mundo real porque proporciona una capa de seguridad y comprensión sobre:

  • Robustez: Saber que la solución está cerca de ser óptima permite a los responsables de la toma de decisiones avanzar con menos riesgo de impactos negativos dramáticos debido a desviaciones menores.
  • Toma de decisiones: Al comprender el grado de certeza, las empresas pueden tomar decisiones informadas sobre inversiones en recursos, tecnología o adaptación al mercado.
  • Asignación de recursos: Saber cómo los cambios afectan a los resultados ayuda en la gestión estratégica y proactiva de recursos.

Conclusión

El análisis de sensibilidad en programación lineal proporciona un conocimiento esencial sobre la capacidad de respuesta y la robustez de la solución óptima. Al examinar los efectos de los cambios en los coeficientes de la función objetivo, las restricciones y otros parámetros, los responsables de la toma de decisiones pueden anticipar y adaptarse a la variabilidad y asegurar una asignación eficiente de recursos y una planificación estratégica.


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