रैखिक प्रोग्रामिंग में द्वैत

रैखिक प्रोग्रामिंग (LP) एक विधि है जो गणितीय मॉडलों में सबसे अच्छे परिणाम प्राप्त करने के लिए उपयोग की जाती है, जिनकी आवश्यकताएँ रैखिक संबंधों द्वारा दर्शायी जाती हैं। यह एक तकनीक है जो अनुकूलन के लिए उपयोग की जाती है, जहाँ आप एक रैखिक उद्देश्य फ़ंक्शन को कुछ रैखिक प्रतिबंधों के अधीन न्यूनीकरण या अधिकतम करने का प्रयास करते हैं। रैखिक प्रोग्रामिंग का एक महत्वपूर्ण पहलू द्वैत का सिद्धांत है, जो अनुकूलन फ़ंक्शनों के व्यवहार में गहरी अंतर्दृष्टि प्रदान करता है।

द्वैतवाद की आधारभूत बातें

रैखिक प्रोग्रामिंग में, प्रत्येक अनुकूलन समस्या के लिए एक संबंधित द्वितीयक समस्या होती है। यदि मूल समस्या को 'प्राथमिक समस्या' कहा जाता है, तो इसकी समकक्ष को 'द्वितीयक समस्या' के रूप में जाना जाता है। द्वैत एक शक्तिशाली अंतर्दृष्टि प्रदान करता है - एक समस्या का इष्टतम समाधान दूसरी समस्या के समाधान की जांच करके खोजा जा सकता है।

रैखिक प्रोग्रामिंग में द्वैत के बारे में दो मुख्य परिणाम हैं:

• कमजोर द्वैत: किसी भी संभव समाधान पर द्वैत के उद्देश्य फ़ंक्शन का मान हमेशा मूल के किसी भी संभव समाधान पर उद्देश्य फ़ंक्शन के मान से अधिक या बराबर होता है।
• मजबूत द्वैत: यदि एक प्रारंभिक और एक द्वैत दोनों के इष्टतम समाधान होते हैं, तो प्रारंभिक के उद्देश्य फ़ंक्शन का इष्टतम मान द्वैत के समान होता है।

प्राथमिक और द्वैत समस्या

प्राथमिक समस्या

अधिकतम करें: c 1 x 1 + c 2 x 2 + ... + c n x n
विषय: a 11 x 1 + a 12 x 2 + ... + a 1n x n ≤ b 1
             a 21 x 1 + a 22 x 2 + ... + a 2n x n ≤ b 2
             ,
             a m1 x 1 + a m2 x 2 + ... + a mn x n ≤ b m

             x 1 , x 2 , ..., x n ≥ 0

द्वितीयक समस्या

न्यूनतम करें: b 1 y 1 + b 2 y 2 + ... + b m y m
विषय: a 11 y 1 + a 21 y 2 + ... + a m1 y m ≥ c 1
             a 12 y 1 + a 22 y 2 + ... + a m2 y m ≥ c 2
             ,
             a 1n y 1 + a 2n y 2 + ... + a mn y m ≥ c n

             y 1 , y 2 , ..., y m ≥ 0

व्याख्या और आर्थिक अर्थ

प्राथमिक समस्या में, उद्देश्य यह निर्धारित करना है कि संसाधन सीमाओं द्वारा लगाए गए प्रतिबंधों को पूरा करते हुए अधिकतम लाभ (या लाभ) क्या प्राप्त किया जा सकता है। प्रत्येक निर्णय चर एक संभावित गतिविधि या रणनीति को दर्शाता है, और प्रतिबंध इन गतिविधियों के लिए आवश्यक संसाधनों पर सीमाएँ प्रस्तुत करते हैं।

द्वैत समस्या, दूसरी ओर, आवश्यककृत कुल लाभ के वांछित स्तर को पूरा या उससे अधिक करने के लिए न्यूनतम लागत की मांग करती है। यहां, निर्णय चर को छाया मूल्यों के रूप में व्याख्या की जा सकती है - प्राथमिक अनुकूलन समस्या में प्रत्येक बाधा को कम करने की कीमत। द्वैत एक प्रकार की संतुलन मूल्य प्रणाली प्रदान करता है।

ज्यामितीय व्याख्या

आसान दृश्यता के लिए दो-आयामी अंतरिक्ष पर विचार करें। दोनों प्राथमिक और द्वैत समस्याओं के लिए, समाधान उनके संभव क्षेत्रों के शीर्षों (कोनों) पर स्थित होते हैं। संबंधित प्राथमिक और द्वैत असमताएं ज्यामितीय क्षेत्रों को परिभाषित करती हैं, और उनका प्रतिच्छेदन संभावित तरीके से प्राथमिक और द्वैत समस्याओं दोनों के लिए इष्टतम समाधान धारण कर सकता है।

पूरक शिथिलता का सिद्धांत

प्राथमिक और द्वैत सूत्रों को जोड़ने वाला एक मुख्य घटक पूरक शिथिलता की अवधारणा है। इसमें वे शर्तें शामिल होती हैं जो तब लागू होनी चाहिए जब दोनों प्राथमिक और इसका द्वैत के इष्टतम समाधान हों। प्रत्येक प्राथमिक और द्वैत प्रतिबंध युग्म के लिए, पूरक शिथिलता स्थितियों को पूरा किया जाना चाहिए:

यदि x j > 0, तब j वां द्वैत की स्थितियां कठोर हैं;
यदि बाइनरी प्रतिबंध i को शिथिल किया जाता है, तो iवां मूलभूत चर शून्य होता है।

इसलिए, यदि मूल समस्या में कोई भी प्रतिबंध शिथिल होता है, तो द्वैत में इसके अनुरूप चर को इष्टतमता पर शून्य मान होना चाहिए, और इसके विपरीत।

द्वैत का उदाहरण

उदाहरण प्राथमिक समस्या

अधिकतम करें z = 2x 1 + 3x 2
विषय:
             x 1 + 2x 2 ≤ 10
             2x 1 + x 2 ≤ 8
             x 1 , x 2 ≥ 0

संगत द्वैत समस्या

न्यूनतम करें w = 10y 1 + 8y 2
विषय:
             y 1 + 2y 2 ≥ 2
             2y 1 + y 2 ≥ 3
             y 1 , y 2 ≥ 0

अनुप्रयोग और महत्व

द्वैत की अवधारणा केवल सैद्धांतिक नहीं है, बल्कि इसके महत्वपूर्ण व्यावहारिक पहलू भी हैं। यह हमें एक समस्या का समाधान दूसरे, संभावित सरल समस्या के समाधान के माध्यम से प्राप्त करने की अनुमति देता है। द्वैत का प्रयोग विभिन्न क्षेत्रों में किया जाता है जैसे कि अर्थशास्त्र, इंजीनियरिंग, सैन्य विज्ञान, और परिवहन।

उदाहरण के लिए, अर्थशास्त्र में, द्वैत समस्या मूल्य अनुकूलन और संसाधन आवंटन के बारे में जानकारी प्रदान करती है। द्वैत समाधान यह संकेत देते हैं कि अतिरिक्त संसाधनों पर क्या मूल्य रखा जाना चाहिए, निर्णय निर्माताओं को मूल्य निर्धारण की महत्वपूर्ण जानकारी प्रदान करते हैं।

निष्कर्ष

रैखिक प्रोग्रामिंग में द्वैत विभिन्न अनुकूलन दृष्टिकोणों के बीच सेतु बनाता है, जिससे जटिल समस्याओं को हल करने में गहरी समझ और दक्षता प्राप्त होती है। चाहे अकादमिक रुचि के लिए हो या व्यावहारिक समाधान के लिए, द्वैत की अवधारणा को समझना महत्वपूर्ण है ताकि रैखिक प्रोग्रामिंग तकनीकों का अधिकतम लाभ उठाया जा सके।

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