सिंप्लेक्स विधि

सिंप्लेक्स विधि एक एल्गोरिदम है जिसका उपयोग रैखिक प्रोग्रामिंग समस्याओं को हल करने के लिए किया जाता है, जिसमें रैखिक सीमाओं के अधीन रैखिक फ़ंक्शन के अधिकतम या न्यूनतम मान को खोजना शामिल है। रैखिक प्रोग्रामिंग अर्थशास्त्र, इंजीनियरिंग, सैन्य, व्यवसाय और विज्ञान जैसे विभिन्न क्षेत्रों में एक महत्वपूर्ण अनुकूलन उपकरण है।

रैखिक प्रोग्रामिंग का परिचय

रैखिक प्रोग्रामिंग में समीकरणों और असामानताओं का एक सेट शामिल होता है जो एक गणितीय मॉडल को दर्शाता है जिसका इष्टतम समाधान खोजा जाता है। एक रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या के लिए, उद्देश्य रैखिक उद्देश्य फ़ंक्शन को रैखिक समानता और/या असमानता बाधाओं के अधीन अनुकूलित (अधिकतम या न्यूनतम) करना है। रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या का सामान्य रूप निम्नलिखित है:

अधिकतम (या न्यूनतम): c 1 x 1 + c 2 x 2 + ... + c n x n

इन्हे देखते हुए:
a 11 x 1 + a 12 x 2 + ... + a 1n x n ≤ b 1
a 21 x 1 + a 22 x 2 + ... + a 2n x n ≤ b 2,
a m1 x 1 + a m2 x 2 + ... + a mn x n ≤ b m

x 1 , x 2 , ..., x n ≥ 0

सिंप्लेक्स विधि क्या है?

सिंप्लेक्स विधि एक पुनरावृत्त प्रक्रिया है जो उद्देश्य फ़ंक्शन के इष्टतम मान को खोजने के लिए व्यवहार्य क्षेत्र के कोने के बिंदुओं (या शीर्षों) की व्यवस्थित रूप से जांच करती है। इस प्रक्रिया में एक शीर्ष से दूसरे शीर्ष पर जाना शामिल है, प्रत्येक चरण में उद्देश्य फ़ंक्शन के मान में सुधार करना, जब तक कि सबसे अच्छा संभव मूल्य प्राप्त न हो जाए।

सिंप्लेक्स विधि प्रक्रिया

1. समस्या को मानक रूप में परिवर्तित करें।
2. एक व्यवहार्य प्रारंभिक समाधान की पहचान करें।
3. जब तक कोई और सुधार संभव न हो, तब तक बेहतर समाधान खोजने के लिए काम करते रहें।
4. समाधान का आकलन और व्याख्या करें।

चरण 1: मानक रूप में परिवर्तित करना

सिंप्लेक्स विधि को लागू करने के लिए, रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या को मानक रूप में परिवर्तित किया जाना चाहिए। इसमें शामिल हैं:

• सुनिश्चित करें कि सभी बाधाएं रैखिक समीकरणों के रूप में हैं।
• असमानताओं को समानताओं में परिवर्तित करने के लिए लचीलापन चर पेश करना।
• सुनिश्चित करें कि सभी चर गैर-नकारात्मक हैं।

निम्नलिखित उदाहरण लें:

अधिकतम: 3x 1 + 5x 2

इन्हे देखते हुए:
x 1 + 2x 2 ≤ 8
3x 1 + 2x 2 ≤ 12

x 1 , x 2 ≥ 0

लचीलापन चर का परिचय:

x 1 + 2x 2 + s 1 = 8
3x 1 + 2x 2 + s 2 = 12

x 1 , x 2 , s 1 , s 2 ≥ 0

लचीलापन चर s 1 और s 2 सीमाओं से अप्रयुक्त संसाधनों का प्रतिनिधित्व करते हैं।

चरण 2: प्रारंभिक समाधान की पहचान

निर्णय चर (x 1 और x 2) को शून्य के बराबर सेट करके, जबकि लचीलापन चर को बाधा मानों के बराबर होने की अनुमति देते हुए, एक प्रारंभिक बुनियादी व्यवहार्य समाधान की पहचान की जाती है।

हमारे उदाहरण में, प्रारंभिक समाधान है:

x 1 = 0, x 2 = 0, s 1 = 8, s 2 = 12

चरण 3: समाधान में सुधार के लिए पुनरावृत्ति

पुनरावृत्ति करने के लिए, एक तालिका बनाई जाती है। उद्देश्य पंक्ति इसमें उद्देश्य फ़ंक्शन के नकारात्मक गुणांक होते हैं। पुनरावृत्ति में शामिल हैं:

• उद्देश्य सबसे नकारात्मक गुणांक वाले प्रवेश करने वाले चर का चयन करना है।
• न्यूनतम अनुपात परीक्षण का उपयोग करके गिरते चर का चयन करना।
• समाधान को अपडेट करने के लिए धुरी।

प्रारंभिक तालिका:
| आधार | x 1 | x 2 | s 1 | s 2 | दाएँ हाथ की ओर |
| S 1 | 1 | 2 | 1 | 0 | 8 |
| S 2 | 3 | 2 | 0 | 1 | 12 |
| z | -3 | -5 | 0 | 0 | 0 |

पुनरावृत्ति 1:

प्रविष्ट चर x 2 है (z-पंक्ति में सबसे नकारात्मक गुणांक: -5 )।

न्यूनतम अनुपात के लिए: आरएचएस / x 2 गुणांक = न्यूनतम(8/2, 12/2) = 4, इसलिए s 1 गिरता हुआ चर है।

घूर्णन और s 1 की जगह x 2 को लें।

घूर्णित तालिका:
| आधार | x 1 | x 2 | s 1 | s 2 | दाएँ हाथ की ओर |
| x 2 | 0.5 | 1 | 0.5 | 0 | 4 |
| S2 | 2.0 | 0 | -1 | 1 | 4 |
| z | -0.5 | 0 | 2.5 | 0 | 20 |

पुनरावृत्ति 2:

नई z-पंक्ति में सबसे नकारात्मक गुणांक -0.5 है (x 1 के लिए)।

मिन अनुपात का उपयोग करना: आरएचएस / x 1 का गुणांक = न्यूनतम(4/0.5, 4/2) = 2, इसलिए s 2 गिरता हुआ चर है।

घूर्णन और s 2 की जगह x 1 को लें।

घूर्णित तालिका:
| आधार | x 1 | x 2 | s 1 | s 2 | दाएँ हाथ की ओर |
| x 2 | 0.5 | 1 | 0.5 | 0 | 4 |
| x1 | 1 | 0 | -0.5 | 0.5 | 2 |
| Z | 0 | 0 | 3 | 0.5 | 22 |

उद्देश्य फ़ंक्शन का मूल्य 22 तक सुधार गया है, और अब और नकारात्मक गुणांक नहीं हैं, इसलिए वर्तमान समाधान इष्टतम है।

दृश्य उदाहरण

ग्राफ में छायांकित क्षेत्र वह व्यवहार्य क्षेत्र दर्शाता है जहां सभी बाधाएं ओवरलैप होती हैं। वृत्त उस इष्टतम समाधान बिंदु को चिन्हित करता है जहां उद्देश्य फ़ंक्शन का अधिकतम मान प्राप्त होता है।

चरण 4: समाधान का आकलन और व्याख्या

सिंप्लेक्स विधि व्यवहार्य क्षेत्र के भीतर निर्णय चर के सर्वोत्तम संभव मान प्रदान करती है। अंतिम तालिका से, हम इष्टतम समाधान प्राप्त कर सकते हैं:

x 1 = 2, x 2 = 4

उद्देश्य फ़ंक्शन मान: 22

इसका मतलब है कि उद्देश्य फ़ंक्शन 3x 1 + 5x 2 का अधिकतम मान 22 है जब x 1 = 2 और x 2 = 4।

सिंप्लेक्स विधि के गुण

• सिंप्लेक्स विधि व्यवहार्य क्षेत्र की किनारा के साथ आगे बढ़ती है, यह सुनिश्चित करते हुए कि समाधान प्रत्येक चरण में सुधारता है या समान रहता है जब तक कि इष्टतम समाधान नहीं मिल जाता।
• यह बाधाओं के साथ रैखिक उद्देश्य कार्यों को कुशलतापूर्वक हैंडल करती है, जिससे यह बड़े पैमाने के रैखिक प्रोग्रामिंग समस्याओं के लिए उपयुक्त बनती है।
• हालांकि विधि आमतौर पर जमीन से शुरू होती है, किसी भी समस्या को मानक रूप में बदलने के लिए कुछ पूर्वप्रसंस्करण की आवश्यकता होती है।
• एल्गोरिदम सीमित है; यह या तो इष्टतम समाधान की ओर अभिसरण करता है या पहचानता है कि दी गई बाधाओं के लिए कोई समाधान मौजूद नहीं है।

लाभ और सीमाएँ

सिंप्लेक्स विधि के लाभों में रैखिक प्रोग्रामिंग समस्याओं का सटीक इष्टतम समाधान प्रदान करने की उसकी क्षमता और केवल ≤ रूप की बाधाओं से परे समस्याओं की एक विस्तृत श्रृंखला पर इसकी परिनियोज्यता शामिल है। फिर भी, इस विधि की कुछ सीमाएं हैं:

लाभ

• सटीक समाधान प्रदान करता है।
• जटिल समस्याओं को कुशलतापूर्वक संभाल सकता है।
• यह व्यापक रूप से समझा और उपयोग किया जाता है, और इसे समर्थन देने के लिए कई पुस्तकालय और सॉफ्टवेयर हैं।

सीमाएं

• बहुत बड़े डेटासेट पर कम्प्यूटेशनली महंगा हो सकता है।
• यह नॉन-लिनियर समस्याओं के साथ सीधे काम नहीं करता।
• साइक्लिंग समस्याग्रस्त हो सकती है (कभी-कभी, लेकिन इसे एंटी-साइक्लिंग रणनीतियों के साथ संबोधित किया जा सकता है)।

निष्कर्ष

सिंप्लेक्स विधि अनुकूलन के लिए एक शक्तिशाली उपकरण बनी हुई है, विशेष रूप से संचालन अनुसंधान के क्षेत्र में। यह रैखिक सीमाओं के साथ अधिकतमकरण या न्यूनतमकरण की समस्याओं के लिए इष्टतम समाधान खोजने के लिए एक संरचित दृष्टिकोण प्रदान करती है। इसके ताकत और सीमाओं दोनों को समझने से चिकित्सकों को वास्तविक दुनिया की समस्याओं को विश्वसनीयता और सटीकता के साथ हल करने के लिए इस विधि को प्रभावी ढंग से लागू करने की अनुमति मिलती है।

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