Магистратура
  1. Введение в математический анализ  1.1. Теория множеств и логика в реальном анализе  1.1.1. Множества и операции в теории множеств и логике в реальном анализе  1.1.2. Отношения и функции  1.1.3. Логика и кванторы  1.1.4. Мощность множеств  1.2. Метрика  1.2.1. Введение в открытые и замкнутые множества в метрических пространствах  1.2.2. Сходимость последовательностей в метрическом пространстве  1.2.3. Непрерывная функция в метрическом пространстве  1.2.4. Компактность и полнота в метрических пространствах в реальном анализе  1.3. Последовательности и ряды  1.3.1. Сходимость последовательностей  1.3.2. Бесконечные ряды  1.3.3. Равномерная сходимость  1.3.4. Ряды степеней  1.4. Дискриминация  1.4.1. Теорема о среднем значении  1.4.2. Ряд Тейлора  1.4.3. Функции нескольких переменных  1.4.4. Частная производная  1.5. Интеграция  1.5.1. Интегрирование Римана и Лебега  1.5.2. Неправильные интегралы  1.5.3. Теория меры: фундаментальный инструмент в интеграции  1.5.4. Теорема Фубини  1.6. Функциональный анализ  1.6.1. Понимание пространства Банака  1.6.2. Пространства Гильберта  1.6.3. Операторы на пространствах  1.6.4. Спектральная теория
  2. Абстрактная алгебра  2.1. Понимание групп в абстрактной алгебре  2.1.1. Определения и примеры групп в абстрактной алгебре  2.1.2. Гомоморфизмы групп  2.1.3. Введение в нормальные подгруппы  2.1.4. Теорема Силова  2.2. Кольца и поля  2.2.1. Идеалы и фактор-кольца  2.2.2. Расширения полей  2.2.3. Теория Галуа  2.2.4. Полиномиальные кольца  2.3. Введение в модули в абстрактной алгебре  2.3.1. Гомоморфизм модуля  2.3.2. Свободные модули  2.3.3. Введение в тензорные произведения  2.3.4. Точная последовательность в модулях  2.4. Линейная алгебра  2.4.1. Векторное пространство  2.4.2. Собственные значения и собственные векторы  2.4.3. Векторное пространство с внутренним произведением  2.4.4. Диагонализация
  3. Топология  3.1. Общая топология  3.1.1. Открытые и закрытые множества  3.1.2. Компактность и связность  3.1.3. Непрерывные отображения  3.1.4. Аксиома отделимости  3.2. Алгебраическая топология  3.2.1. Понимание фундаментальных групп в алгебраической топологии  3.2.2. Гомотопия и гомология  3.2.3. Симплициальный комплекс  3.2.4. Точные последовательности в гомологии  3.3. Дифференциальная топология  3.3.1. Понимание многообразий в дифференциальной топологии  3.3.2. Гладкие функции  3.3.3. Тангенциальное и котангенциальное пространство  3.3.4. Векторные расслоения
  4. Дифференциальные уравнения  4.1. Обыкновенные дифференциальные уравнения  4.1.1. Дифференциальные уравнения первого порядка  4.1.2. Линейные уравнения второго порядка  4.1.3. Системы дифференциальных уравнений  4.1.4. Анализ устойчивости в обыкновенных дифференциальных уравнениях  4.2. Частные дифференциальные уравнения  4.2.1. Классификация уравнений с частными производными  4.2.2. Понимание рядов Фурье в уравнениях с частными производными  4.2.3. Введение в функции Грина  4.2.4. Метод характеристик  4.3. Динамические системы в дифференциальных уравнениях  4.3.1. Теория устойчивости  4.3.2. Предельные циклы в динамических системах  4.3.3. Теория хаоса  4.3.4. Теория бифуркаций
  5. Теория вероятностей и статистика  5.1. Теория вероятностей  5.1.1. Случайные переменные  5.1.2. Распределения вероятностей  5.1.3. Закон больших чисел  5.1.4. Центральная предельная теорема  5.2. Статистическое вывод  5.2.1. Проверка гипотез  5.2.2. Доверительный интервал  5.2.3. Байесовские методы  5.2.4. Метод максимального правдоподобия  5.3. Стохастические процессы  5.3.1. Цепи Маркова  5.3.2. Броуновское движение  5.3.3. Понимание процессов Пуассона  5.3.4. Мартингейлы: всестороннее исследование в вероятности и статистике
  6. Численный анализ  6.1. Численное решение уравнений  6.1.1. Оригинальное открытие  6.1.2. Итерационные методы  6.1.3. Анализ сходимости  6.1.4. Границы ошибок в численных решениях уравнений  6.2. Численная линейная алгебра  6.2.1. Факторизация матриц  6.2.2. Вычисление собственных значений  6.2.3. Разреженные матрицы  6.2.4. Методы предобработки  6.3. Численное интегрирование и дифференцирование  6.3.1. Методы квадратур  6.3.2. Введение в конечные разности  6.3.3. Анализ ошибок в численном интегрировании и дифференцировании  6.3.4. Адаптивные методы в численном интегрировании и дифференцировании
  7. Комплексный анализ  7.1. Комплексные числа  7.1.1. Полярная форма  7.1.2. Комплексные сопряженные  7.1.3. Экспоненциальная форма комплексных чисел  7.1.4. Корни из единицы  7.2. Аналитические функции  7.2.1. Уравнения Коши — Римана  7.2.2. Степенные ряды  7.2.3. Конформное отображение  7.2.4. Гармонические функции  7.3. Интегрирование на комплексной плоскости  7.3.1. Теорема Коши  7.3.2. Теорема о вычетах  7.3.3. Контурное интегрирование  7.3.4. Интегральные преобразования
  8. Математическая логика и основания  8.1. Пропозициональная логика  8.1.1. Таблицы истинности  8.1.2. Логическая эквивалентность в пропозициональной логике  8.1.3. Техники доказательства в пропозициональной логике  8.1.4. Решение в пропозициональной логике  8.2. Логика предикатов  8.2.1. Кванторы в предикатной логике  8.2.2. Формальные системы в предикатной логике  8.2.3. Полнота и правильность  8.2.4. Модельная теория  8.3. Теория множеств  8.3.1. Кардинальность и ординальность  8.3.2. Аксиоматические системы  8.3.3. Понимание теории множеств Цермело-Френкеля  8.3.4. Силы в теории множества
  9. Настройка  9.1. Линейное программирование  9.1.1. Метод симплекс  9.1.2. Двойственность в линейном программировании  9.1.3. Анализ чувствительности в линейном программировании  9.1.4. Методы внутренних точек  9.2. Нелинейное программирование  9.2.1. Градиентный спуск  9.2.2. Множители Лагранжа  9.2.3. Выпуклая оптимизация  9.2.4. Квадратичное программирование  9.3. Комбинаторная оптимизация  9.3.1. Алгоритмы графов  9.3.2. Целочисленное программирование  9.3.3. Сетевой поток  9.3.4. Алгоритмы аппроксимации
  10. Дискретная математика  10.1. Теория графов  10.1.1. Представление графов  10.1.2. Плоскость и цвет  10.1.3. Алгоритм поиска кратчайшего пути  10.1.4. Сетевой поток  10.2. Компаньонство  10.2.1. Перестановка и сочетание  10.2.2. Порождающая функция  10.2.3. Рекуррентные соотношения  10.2.4. Понимание принципа включения-исключения  10.3. Криптография  10.3.1. Применение теории чисел в криптографии  10.3.2. Симметричное и асимметричное шифрование  10.3.3. RSA и криптография на эллиптических кривых  10.3.4. Постквантовая криптография

Магистратура → Математическая логика и основания → Логика предикатов ↓


Модельная теория


Введение в модельную теорию

Модельная теория — это раздел математической логики, который изучает взаимосвязь между формальными языками и их интерпретациями или моделями. Она в первую очередь сосредоточена на изучении отношений, существующих между формальным языком и его структурами. Проще говоря, модельная теория исследует, как предложения на математическом языке могут быть истинными или ложными в зависимости от того, в каком "мире" или структуре мы их интерпретируем.

Модельная теория восходит к работам математиков, таких как Альфред Тарский, который значительно разработал начальные концепции в середине 20 века. Тарский сыграл важную роль в формализации семантики языков и предоставлении методов для понимания того, что значит быть истинным для утверждения в структуре.

Основные концепции логики предикатов

Перед тем как углубляться в модельную теорию, важно понять основы логики предикатов, так как она составляет основу нашего исследования. Логика предикатов расширяет пропозициональную логику, включая кванторы и переменные, позволяя выражать утверждения об объектах.

Структуры в логике предикатов

Структура в логике предикатов — это математический объект, который предоставляет интерпретацию для символов формального языка. A структура обычно состоит из:

  • Непустого множества U, называемого универсумом или доменом дискурса, который содержит объекты, о которых мы говорим.
  • Интерпретаций символов функций, которые соответствуют реальным функциям из U^n в U
  • Интерпретаций символов отношений, которые соответствуют подмножествам U^n.
  • Интерпретаций фиксированных символов, которые соответствуют конкретным элементам U

Языки и формулы

Язык в контексте логики предикатов включает:

  • Набор символов отношений, каждый из которых имеет заданную арность (количество аргументов, которые он принимает).
  • Набор символов функций, каждый из которых также имеет заданную арность.
  • Набор фиксированных символов.

Формула — это правильная последовательность символов, которая следует синтаксическим правилам языка. Например, формула ∀x (P(x) → Q(x)) выражает, что для каждого элемента x во вселенной, если P(x) истинно, то Q(x) также истинно.

Понимание модели

В модельной теории модель — это просто структура, удовлетворяющая данному множеству формул или утверждений. Модель можно представить как "мир", в котором утверждения языка оцениваются на истинность.

Визуальный пример: Простая модель

Рассмотрим язык с унарным отношением P и постоянным символом a. Структура этого языка может выглядеть следующим образом:

    U = {1, 2, 3} P^A = {1, 3} (интерпретация P) a^A = 1 (интерпретация a)
    U = {1, 2, 3} P^A = {1, 3} (интерпретация P) a^A = 1 (интерпретация a)
1 2 3

Здесь P^A содержит элементы 1 и 3, что указывает на то, что они удовлетворяют свойству P. Элемент 2 не имеет этого свойства.

Удовлетворение источников

Важной концепцией в модельной теории является удовлетворение. Мы говорим, что структура A удовлетворяет формуле φ, если φ истинно при интерпретации в этой структуре. Если A удовлетворяет φ, мы пишем A ⊨ φ.

Например, если в нашем языке есть формула P(a), с данной выше структурой, A ⊨ P(a), так как a^A = 1 и 1 находится в P^A.

Элементарные эквиваленты и ряды

Две структуры A и B являются внутренне эквивалентными (обозначаемыми как A ≡ B), если они удовлетворяют одним и тем же предложениям на нашем языке. Это означает, что любое утверждение, которое истинно в A, также истинно в B, и наоборот.

Пример элементарной эквивалентности

Рассмотрим две структуры для языка арифметики с одним отношением =:

    Структура A: U_A = {0, 1, 2, 3} =^A как нормальная идентичность Структура B: U_B = {0, 1, 2, 3, 4} =^B как нормальная идентичность
    Структура A: U_A = {0, 1, 2, 3} =^A как нормальная идентичность Структура B: U_B = {0, 1, 2, 3, 4} =^B как нормальная идентичность
0 1 2 3 0 1 2 3 4

Хотя обе структуры A и B содержат элементы 0, 1, 2 и 3 в рамках отношения идентичности, поскольку B содержит дополнительный элемент, который не влияет на выполнимость предложений об арифметики целых чисел на языке первого порядка, A и B являются элементарными эквивалентными в этом контексте.

Компактность и полнота

Две фундаментальные теоремы в модельной теории — это теорема о компактности и теорема о полноте.

Теорема о компактности

Теорема о компактности утверждает, что если каждая конечная подмножество множества предложений первого порядка имеет модель, то все множество также будет иметь модель. Эта теорема подразумевает, что мы часто можем понять бесконечные структуры, исследуя их конечные части.

Теорема о полноте

Теорема о полноте, доказанная Куртом Гёделем, утверждает, что если формула истинна во всех моделях набора предложений, то существует доказательство этой формулы из этих предложений. По сути, это равнозначно доказыванию истины в логике первого порядка.

Ультрапроизведения и их использование

Ультрапроизведения — это конструкция в модельной теории, которая позволяет создавать новые модели из семейства существующих моделей. Конструкция использует концепцию из теории множеств, называемую ультрафильтрами.

Основной взгляд на ультрапроизведение

Имея структуры A_1, A_2, A_3, ... и ультрафильтр U, ультрапроизведение — это структура, которая "усредняет" эти структуры в соответствии с U.

A_1 A_2 A_3 , Ультрапроизведение

Ультрапроизведение захватывает свойства, которые присущи "почти везде" в заданном семействе структур.

Применение модельной теории

Модельная теория используется во множестве тем математике. Некоторые известные применения включают:

  • Алгебра: Модельная теория использовалась для решения проблем в алгебре, таких как решение X для теории алгебраически замкнутых полей первого порядка.
  • Промежуточная логика: Модельная теория играет центральную роль в понимании перехода между пропозициональной логикой и теорией множеств.
  • Теория баз данных: В информатике модельная теория изучает модели данных и языки запросов.

Заключение

Модельная теория — важная часть математической логики, предоставляющая основу для понимания того, как формальные языки связаны с математическими структурами. Основываясь на основах логики предикатов, она предоставляет представление о природе математической истины и доказуемости. Хотя мы коснулись различных аспектов и приложений, модельная теория — это обширная и развивающаяся область, постоянно раскрывающая новые связи между различными областями математики.


Магистратура → 8.2.4


U
username
0%
завершено в Магистратура

← предыдущая (8.2.3)
Полнота и правильность
следующая (8.3) →
Теория множеств

комментарии 



Модельная теория

https://www.buddymath.com/g/8.2.4?bmal=ru