完备性和可靠性

在数学逻辑，特别是在谓词逻辑领域，完备性和可靠性是两个与逻辑系统的能力和可靠性相关的基本属性。它们在决定这些系统是否可以有效用于数学推理和问题解决中发挥着重要作用。

谓词逻辑的简介

谓词逻辑，也称为一阶逻辑，通过处理谓词和量词扩展了命题逻辑。谓词指的是表述对象属性的陈述或函数，而诸如“对所有”（∀）和“存在”（∃）等量词提供了一种在一组对象上表达语句的机制。

基本定义

在谓词逻辑中，一个典型公式的结构可能如下所示：

∀x (p(x) → q(x))

这个公式可以被解读为，“对于所有x，如果P对于x是真的，那么Q对于x也是真的。”

示例领域

考虑一组人，让P(x)是“x是哲学家”，Q(x)是“x是聪明的”。逻辑陈述然后可以断言关于哲学家聪明的规则。

理解完备性

逻辑中的完备性概念是指一个形式系统证明每一个逻辑上真的语句的能力。简单来说，如果一个系统的每个模型中的语句都是真的，那么就必须有一种方法使用该系统的规则来证明它。

形式定义

如果一个形式系统是完备的，那么：

如果φ在每个理论模型中为真，那么φ可以被证明。

这意味着在系统的定理中没有遗漏真正的语句。

例子

考虑控制算术的逻辑系统，称为皮亚诺算术。如果该系统是完备的，那么对于每一个算术真理（例如，“2+2=4”），系统本身必须有一个证明。

完备性定理

1930年库尔特·哥德尔证明的完备性定理表明，对于一阶逻辑，每个逻辑上有效的公式都是可证明的。符号上：

如果φ是有效的，那么⊢ φ

视觉示例

在这个图示中，外圆代表跨所有结构的逻辑真理，而内圆代表我们逻辑系统的已证明定理，显示了如果两个圆是同步的，则达到完备性。

理解可靠性

另一方面，可靠性是指如果一个语句可以在系统内被证明，它必须在系统的每个模型中为真。这个属性确保系统不会证明任何错误的东西。

形式定义

一个形式系统是可靠的如果：

如果φ是可证明的，那么φ在理论的每个模型中为真。

例子

继续使用算术，可靠性确保任何已证明的定理，例如“2+2=4”，在数论领域中实际上是正确的。

可靠性定理

可靠性定理断言，如果可以使用我们逻辑系统的规则证明一个公式，那么它在每一个解释中都是有效的。符号上：

如果⊢ φ, 那么φ是有效的。

视觉示例

在这种情况下，内圆代表我们的已验证声明，所有这些均属逻辑真理范畴，并满足可靠性条件。