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विधान प्रछन्नतर्क में औपचारिक प्रणालियाँ
विधान प्रछन्नतर्क में औपचारिक प्रणालियाँ गणितीय तर्कशास्त्र में मौलिक हैं और तर्कसंगत व निश्चय समझने के आधार के रूप में कार्य करती हैं। इस व्याख्या का उद्देश्य औपचारिक प्रणालियों के जटिल कार्यों को स्पष्ट करना है, विशेष रूप से प्रछन्नतर्क के क्षेत्र में, जटिल विचारों को अधिक सुपाच्य भागों में तोड़कर और उन्हें सरल और संरचित तरीके से प्रस्तुत करके। हम सुनिश्चित करेंगे कि औपचारिक प्रणालियाँ कैसे काम करती हैं, इसकी पूर्ण समझ के लिए शब्दावली, उदाहरण और दृश्य प्रस्तुति को शामिल किया जाए।
प्रछन्नतर्क का परिचय
प्रछन्नतर्क, जिसे पहली-पदक्रम तर्क भी कहा जाता है, प्रस्तावनात्मक तर्क की क्षमता को परिदृश्य, प्रचायकों और चरों का परिचय देकर बढ़ाता है। जबकि प्रस्तावनात्मक तर्क सरल वाक्यों से संबंधित होता है जो या तो सही या गलत होते हैं, प्रछन्नतर्क हमें अधिक जटिल वाक्य व्यक्त करने की अनुमति देता है जिसमें वस्तुएं और उनकी संबंध शामिल होते हैं।
प्रछन्नतर्क के तत्वों में शामिल हैं:
- परिदृश्य: ऐसी कार्य जिनमें सच या गलत लौटाया जाता है, अक्सर वस्तुओं की विशेषताओं को व्यक्त करने के लिए उपयोग किया जाता है।
- प्रचायक: चिह्न जैसे
∀(सभी के लिए) और∃(कुछ है) जो शामिल चरों के दायरे को व्यक्त करते हैं। - चर: प्रतीक जो संवाद बॉक्स में वस्तुओं का प्रतिनिधित्व करते हैं।
- तार्किक संयोजक: जैसे
∧(और),∨(या),¬(नहीं),→(संकेत), आदि।
औपचारिक प्रणाली के घटक
विधान प्रछन्नतर्क में एक औपचारिक प्रणाली में निम्नलिखित तत्व शामिल होते हैं:
- अक्षर: प्रतीकों का समूह जो अभिव्यक्तियों को बनाने के लिए उपयोग किया जाता है।
- सिनटैक्स: वे नियम जो अक्षर के प्रतीकों के साथ अच्छी तरह से निर्मित सूत्र (डब्ल्यूएफएफ) बनाने के लिए होते हैं।
- अर्थविज्ञान: वे व्याख्याएँ जो सूत्रों को अर्थ देने के लिए दी जाती हैं।
- स्वयंसिद्ध: प्रारंभिक कथनों का समूह जिन्हें सत्य मान लिया जाता है।
- उपपत्ति नियम: तर्कसंगत सिद्धांत जो मौज़ूद बयानों से नए बयान निकालने के लिए उपयोग होते हैं।
प्रच्छन्नतर्क में अक्षर
प्रच्छन्नतर्क की अक्षर में शामिल हैं:
P, Q, R, ...: परिदृश्य प्रतीकx, y, z, ...: चर प्रतीक∀, ∃: प्रचायक∧, ∨, ¬, →: तार्किक संयोजक∈, =: सम्बन्ध प्रतीक- समूह बनाने के लिए ब्रैकेट्स:
(,)
प्रच्छन्नतर्क का सिनटैक्स
सिनटैक्स नियम मदद करते हैं यह निर्धारित करने में कि कौन से प्रतीकों के संयोजन को अच्छी तरह से निर्मित सूत्र (डब्ल्यूएफएफ) माना जाता है। यहाँ कुछ बुनियादी नियम दिए गए हैं:
- परिदृश्य के साथ अवधारणा, जैसे,
P(x), एक डब्ल्यूएफएफ है। - यदि
φऔरψडब्ल्यूएफएफ हैं, तो(φ ∧ ψ),(φ ∨ ψ),(φ → ψ), और¬φभी डब्ल्यूएफएफ हैं। - यदि
φएक डब्ल्यूएफएफ है औरxएक चर है, तो∀x φऔर∃x φडब्ल्यूएफएफ हैं।
अर्थविज्ञान की व्याख्या
प्रच्छन्नतर्क में अर्थविज्ञान का मतलब सूत्रों को अर्थ देना होता है। ऐसा करने के लिए, हमें भाषा में प्रतीकों की व्याख्या करनी होती है:
- संसार: वस्तुओं का एक समूह जिनकी प्रछन्नतर्क और चर से संबंधित होती है।
- व्याख्या: यह परिदृश्य प्रतीकों, चर प्रतीकों और तर्कशास्त्र में स्थिरांक को अर्थ देती है।
एक सूत्र की व्याख्या I निम्नानुसार प्रकट की जा सकती है:
I: P(x) -> सच तब और केवल तब अगर वस्तु जो x के अनुरूप है उसमें विशेषता P है।
स्वयंसिद्ध और उपपत्ति नियम
स्वयंसिद्ध वे कथन होते हैं जो औपचारिक प्रणाली में सत्य माने जाते हैं। वे उन मूल सत्य को बनाते हैं जिस पर अन्य सत्य कथन आधारित होते हैं। उदाहरण के लिए, अंकगणित में, कथन जैसे 0 + x = x को स्वयंसिद्ध माना जा सकता है।
उपपत्ति नियम स्वयंसिद्ध या पहले से निहित सत्य कथनों से नए सत्य निकालने के लिए उपयोग होते हैं। ऐसे नियम जैसे कि मोडस पोन्स का उदाहरण हैं:
मोडस पोन्स: यदि (φ → ψ) सत्य है, और φ सत्य है, तो ψ भी सत्य होगा।
औपचारिक प्रणाली का उदाहरण
एक सरल औपचारिक प्रणाली को समझें जहाँ हमारा उद्देश्य संख्याओं और संक्रियाओं की विशेषताओं की खोज करना है:
- अक्षर:
P(x), Q(y), +, 0, =, ∀, ∃, ∧, ¬ - स्वयंसिद्ध:
∀x (0 + x = x)∀x ∀y (x + y = y + x)
- उपपत्ति नियम: मोडस पोन्स
उपरोक्त स्वयंसिद्ध हमें जोड़ की मूल विशेषताओं को बताते हैं। इनको और कुछ उपपत्ति नियमों को प्रयोग करके हम नए तथ्य निर्धारित कर सकते हैं, उदाहरण के लिए, कि x + 0 = x, के साथ-साथ वस्तुस्थिति जैसी कि साम्यिकता।
उदाहरण 1: अच्छी तरह से निर्मित सूत्रों की जाँच
निम्नलिखित स्ट्रिंग्स दिए गए हैं, यह निर्धारित करें कि कौन से सूत्र अच्छी तरह से निर्मित हैं:
∀x (P(x) → ∃y Q(y))x Q(x → y) ∧ P
विश्लेषण:
∀x (P(x) → ∃y Q(y)): यह एक अच्छी तरह से निर्मित सूत्र है, क्योंकि यह प्रचायकों और तार्किक आग्रहों को सही ढंग से लागू करता है।x Q(x → y) ∧ P: यह अच्छी तरह से निर्मित सूत्र नहीं है क्योंकि यह तार्किक संरचना और संबद्ध संदर्भ की कमी के कारण गलत है।
उदाहरण 2: सरल अर्थ संरचना
मान लें कि हमारे पास एक सूत्र ∀x (P(x) → Q(x)) एक निर्दिष्ट संसार के भीतर विश्लेषण करने के लिए है:
संसार को प्राकृतिक संख्याओं का समूह मानें, और निर्दिष्ट करें:
P(x): x सम हैQ(x): x 2 से विभाज्य है
व्याख्या यह दर्शाती है कि सभी सम संख्याएं 2 से विभाज्य होती हैं, जो कि इस संदर्भ में एक सार्वभौमिक सत्य है।
निष्कर्ष
विधान प्रछन्न तर्क में औपचारिक प्रणालियों को समझने का महत्व उन्नत गणितीय तर्कशास्त्र की गहन अध्ययन से जुड़ा है। औपचारिक प्रणालियों के तत्वों - अक्षर, सिनटैक्स, अर्थविज्ञान, स्वयंसिद्ध, और उपपत्ति नियमों को सीखकर, कोई जटिल तार्क उत्पादक संरचनाओं का विश्लेषण कर सकता है और प्रभावी रूप से अमूर्त विचारों के बारे में कथनों को औपचारिक रूप में प्रस्तुत कर सकता है। व्यावहारिक उदाहरणों और दृश्य सहायक साधनों के माध्यम से, प्रछन्न तर्क के सूक्ष्मताओं को अधिक स्पष्ट रूप से समझा जा सकता है, जिससे इसके विभिन्न गणितीय और तार्किक परिदृश्यों में अनुप्रयोग की गहन समझ उत्पन्न होती है।
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