Pós-graduação
  1. Introdução à análise real  1.1. Teoria dos conjuntos e lógica em análise real  1.1.1. Conjuntos e operações na teoria dos conjuntos e lógica em análise real  1.1.2. Relações e funções  1.1.3. Lógica e quantificadores  1.1.4. Cardinalidade dos conjuntos  1.2. Espaço métrico  1.2.1. Introdução aos conjuntos abertos e fechados em espaços métricos  1.2.2. Convergência de sequências em um espaço métrico  1.2.3. Função contínua em um espaço métrico  1.2.4. Compacidade e completude em espaços métricos na análise real  1.3. Sequências e séries  1.3.1. Convergência de sequências  1.3.2. Séries infinitas  1.3.3. Convergência uniforme  1.3.4. Séries de potências  1.4. Discriminação  1.4.1. Teorema do valor médio  1.4.2. Série de Taylor  1.4.3. Funções de várias variáveis  1.4.4. Derivada parcial  1.5. Integração  1.5.1. Integração de Riemann e Lebesgue  1.5.2. Integrais impróprias  1.5.3. Teoria da Medida: uma ferramenta fundamental na integração  1.5.4. Teorema de Fubini  1.6. Análise funcional  1.6.1. Compreendendo espaços de Banach  1.6.2. Espaços de Hilbert  1.6.3. Operadores em espaços  1.6.4. Teoria Espectral
  2. Álgebra Abstrata  2.1. Compreendendo grupos na álgebra abstrata  2.1.1. Definições e exemplos de grupos na álgebra abstrata  2.1.2. Homomorfismos de grupos  2.1.3. Introdução aos subgrupos normais  2.1.4. Teorema de Sylow  2.2. Anéis e campos  2.2.1. Ideais e anéis quocientes  2.2.2. Extensões de campos  2.2.3. Teoria de Galois  2.2.4. Anéis de polinômios  2.3. Introdução aos módulos em álgebra abstrata  2.3.1. Homomorfismo de Módulos  2.3.2. Módulos livres  2.3.3. Introdução aos produtos tensoriais  2.3.4. Sequência exata em módulos  2.4. Álgebra linear  2.4.1. Espaço vetorial  2.4.2. Autovalores e autovetores  2.4.3. Espaço de produto interno  2.4.4. Diagonalização
  3. Topologia  3.1. Topologia Geral  3.1.1. Conjuntos abertos e fechados  3.1.2. Compacidade e conexidade  3.1.3. Mapas contínuos  3.1.4. Axioma de separação  3.2. Topologia algébrica  3.2.1. Compreendendo grupos fundamentais em topologia algébrica  3.2.2. Homotopia e homologia  3.2.3. Complexo simplicial  3.2.4. Sequências exatas em homologia  3.3. Topologia Diferencial  3.3.1. Compreendendo variedades na topologia diferencial  3.3.2. Funções Suaves  3.3.3. Espaço tangente e cotangente  3.3.4. Feixes vetoriais
  4. Equações diferenciais  4.1. Equação diferencial ordinária  4.1.1. Equações de primeira ordem  4.1.2. Equações lineares de segunda ordem  4.1.3. Sistemas de equações diferenciais  4.1.4. Análise de estabilidade em equações diferenciais ordinárias  4.2. Equações diferenciais parciais  4.2.1. Classificação de PDE  4.2.2. Compreendendo séries de Fourier em equações diferenciais parciais  4.2.3. Introdução às funções de Green  4.2.4. Método de caracterização  4.3. Sistemas dinâmicos em equações diferenciais  4.3.1. Teoria da Sustentabilidade  4.3.2. Ciclos limite em sistemas dinâmicos  4.3.3. Teoria do caos  4.3.4. Teoria da bifurcação
  5. Probabilidade e estatística  5.1. Teoria da probabilidade  5.1.1. Variáveis aleatórias  5.1.2. Distribuições de probabilidade  5.1.3. Lei dos grandes números  5.1.4. Teorema Central do Limite  5.2. Inferência estatística  5.2.1. Teste de hipótese  5.2.2. Intervalo de confiança  5.2.3. Métodos bayesianos  5.2.4. Estimativa de máxima verossimilhança  5.3. Processos estocásticos  5.3.1. Cadeias de Markov  5.3.2. Movimento Browniano  5.3.3. Compreendendo os processos de Poisson  5.3.4. Martingales: Um estudo abrangente em probabilidade e estatística
  6. Análise numérica  6.1. Soluções numéricas de equações  6.1.1. Descoberta original  6.1.2. Métodos iterativos  6.1.3. Análise de convergência  6.1.4. Limites de erro em soluções numéricas de equações  6.2. Álgebra linear numérica  6.2.1. Fatoração de matrizes  6.2.2. Cálculo de autovalores  6.2.3. Matrizes esparsas  6.2.4. Técnicas de pré-condicionamento  6.3. Integração e diferenciação numéricas  6.3.1. Métodos de quadratura  6.3.2. Introdução às diferenças finitas  6.3.3. Análise de erro na integração e diferenciação numérica  6.3.4. Métodos adaptativos em integração e diferenciação numérica
  7. Análise complexa  7.1. Números complexos  7.1.1. Forma polar  7.1.2. Conjugados Complexos  7.1.3. Forma exponencial de números complexos  7.1.4. Raízes da unidade  7.2. Funções analíticas  7.2.1. Equações de Cauchy–Riemann  7.2.2. Séries de potências  7.2.3. Mapeamento conforme  7.2.4. Funções harmônicas  7.3. Integração no plano complexo  7.3.1. Teorema de Cauchy  7.3.2. Teorema do resíduo  7.3.3. Integração de contorno  7.3.4. Transformadas integrais
  8. Lógica Matemática e Fundamentos  8.1. Lógica proposicional  8.1.1. Tabelas de verdade  8.1.2. Equivalência lógica na lógica proposicional  8.1.3. Técnicas de prova em lógica proposicional  8.1.4. Solução na lógica proposicional  8.2. Lógica de predicados  8.2.1. Quantificadores na lógica de predicados  8.2.2. Sistemas formais na lógica de predicados  8.2.3. Completude e correção  8.2.4. Teoria dos modelos  8.3. Teoria dos conjuntos  8.3.1. Cardinalidade e ordinalidade  8.3.2. Sistemas axiomáticos  8.3.3. Compreendendo a teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel  8.3.4. Forças na teoria dos conjuntos
  9. Personalização  9.1. Programação linear  9.1.1. Método simplex  9.1.2. Dualidade na programação linear  9.1.3. Análise de sensibilidade em programação linear  9.1.4. Métodos de ponto interior  9.2. Programação não linear  9.2.1. Descida do Gradiente  9.2.2. Múltiplos de Lagrange  9.2.3. Otimização convexa  9.2.4. Programação quadrática  9.3. Otimização Combinatória  9.3.1. Algoritmos de grafos  9.3.2. Programação inteira  9.3.3. Fluxo de Rede  9.3.4. Algoritmos de aproximação
  10. Matemática discreta  10.1. Teoria dos grafos  10.1.1. Representação de grafos  10.1.2. Planicidade e cor  10.1.3. Algoritmo de caminho mais curto  10.1.4. Fluxo de rede  10.2. Companheirismo  10.2.1. Percmutações e combinações  10.2.2. Função geradora  10.2.3. Relação de recorrência  10.2.4. Compreendendo o Princípio da Inclusão-Exclusão  10.3. Criptografia  10.3.1. Aplicações da teoria dos números na criptografia  10.3.2. Criptografia Simétrica e Assimétrica  10.3.3. RSA e criptografia de curva elíptica  10.3.4. Criptografia pós-quântica

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Técnicas de prova em lógica proposicional


No campo da lógica matemática, as técnicas de prova são métodos aplicados por matemáticos para demonstrar a verdade de proposições. A lógica proposicional envolve declarações que podem ser verdadeiras ou falsas, muitas vezes chamadas de "proposições." Compreender as várias técnicas de prova é importante para analisar argumentos lógicos e formular novos argumentos. Este texto discute em profundidade as principais técnicas de prova usadas na lógica proposicional, fornecendo exemplos baseados em texto e visuais para clareza.

1. Prova direta

A prova direta é um meio direto de estabelecer que uma determinada proposição é verdadeira. Envolve uma sequência lógica de declarações de uma premissa assumida verdadeira para uma conclusão.

Considere provar se A, então B

fase:

  1. Suponha que A é verdadeiro.
  2. Use raciocínio lógico para mostrar que B também deve ser verdade.

Exemplo:

Provar: Se n é um número par, então n 2 é par.

prova:

  1. Seja n par. Então n = 2k para algum inteiro k.
  2. Então n 2 = (2k) 2 = 4k 2.
  3. Observe que 4k 2 = 2(2k 2 ), que é divisível por 2, portanto, é par.
  4. Portanto, n 2 é par.
Suponha que n é par provar n² é par

2. Prova indireta (prova por contradição)

A prova indireta, ou prova por contradição, envolve assumir que a declaração que deseja provar é falsa e, em seguida, mostrar que essa suposição leva a uma contradição.

Suponha que provar ¬A ⇒ falso torna A verdadeiro.

fase:

  1. Suponha que A seja falso.
  2. Mostre que essa suposição leva a uma contradição lógica.
  3. Conclua que A deve ser verdade.

Exemplo:

Provar: Não existe maior número inteiro.

prova:

  1. Para fins de contradição, suponha que exista um maior número inteiro chamado N
  2. Considere N + 1 Claramente, N + 1 > N.
  3. Isso contradiz a suposição de que N é o maior número inteiro.
  4. Portanto, nossa suposição está errada. Portanto, não existe maior número inteiro.
Suponha que ¬A contradições

3. Prova por contraposição

A prova por contraposição consiste em provar que se não B, então não A é uma forma de mostrar se A, então B.

Exemplo:

Provar: Se n 2 é par, então n é par.

prova:

  1. Inversamente, provaremos: se n é ímpar, então n 2 é ímpar.
  2. Seja n ímpar. Então n = 2k + 1 para algum inteiro k.
  3. Então n 2 = (2k + 1) 2 = 4k 2 + 4k + 1.
  4. Observe que 4k 2 + 4k + 1 é ímpar já que é da forma 2m + 1.
  5. Assim, se n é ímpar, n 2 é ímpar.
  6. Portanto, por contraposição, se n 2 é par, n é par.
Suponha que n seja ímpar Provar que n² é ímpar

4. Prova por indução

A indução matemática é uma técnica poderosa usada para provar enunciados sobre os números naturais. Consiste em dois componentes principais: o caso base e o passo indutivo.

fase:

  1. Caso base: Verifique a declaração para um valor inicial (geralmente n=0 ou n=1).
  2. Passo de indução: Suponha que a declaração seja verdadeira para um caso arbitrário n=k, e mostre que também é verdadeira para n=k+1.

Exemplo:

Provar: Para todos os números naturais n , 1 + 2 + ldots + n = frac{n(n + 1)}{2}.

prova:

  1. Caso base: Para n=1, o lado esquerdo é 1 e o lado direito frac{1(1+1)}{2} = 1 O caso base é válido.
  2. Passo de indução: Suponha que para n=k a verdade seja:
    1 + 2 + ldots + k = frac{k(k+1)}{2}
  3. Prove que para n=k+1:
    1 + 2 + ldots + k + (k+1) = frac{k(k+1)}{2} + (k+1)
  4. Reescrevendo,
    frac{k(k+1)}{2} + (k+1) = frac{k(k+1) + 2(k+1)}{2} = frac{(k+1)(k+2)}{2}
  5. Assim, a fórmula é verdadeira para n=k+1.
  6. Por indução, a fórmula é válida para todos os números naturais n.
Caso Base Fase Indutiva n = k n = k+1

5. Prova por exaustão

A prova por exaustão, ou análise de casos, é uma técnica na qual uma declaração é provada incluindo todos os casos possíveis.

fase:

  1. Divida a proposta em um número limitado de casos.
  2. Prove que a proposição é verdadeira para cada caso separadamente.

Exemplo:

Provar: Todo número inteiro de 1 a 4 é menor que 5.

prova:

  1. Caso 1: n = 1 , então 1 < 5.
  2. Caso 2: n = 2 , então 2 < 5.
  3. Caso 3: n = 3 , então 3 < 5.
  4. Caso 4: n = 4 , então 4 < 5.
Caso 1 Caso 2 Caso 3 Caso 4

6. Prova por contraexemplo

A prova por contraexemplo é a técnica de provar que uma declaração universal é falsa, fornecendo um único contraexemplo.

Exemplo:

Refutar: Todos os números primos são ímpares.

Contraexemplo:

  • 2 é um número primo, mas não é ímpar.
2 é par

Conclusão

Compreender e usar técnicas de prova em lógica proposicional é uma habilidade essencial em lógica matemática e fundamentos. Dominar essas técnicas fornece as ferramentas necessárias para analisar e construir argumentos lógicos de forma eficiente. Desde provas diretas e indiretas até indução matemática e prova por contraexemplo, cada método oferece insights e abordagens únicas para resolver problemas lógicos. Praticar essas técnicas com exemplos diversos ajuda a construir uma base sólida para tópicos avançados em matemática.


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