Posgrado
  1. Introducción al análisis real  1.1. Teoría de conjuntos y lógica en el análisis real  1.1.1. Conjuntos y operaciones en teoría de conjuntos y lógica en análisis real  1.1.2. Relaciones y funciones  1.1.3. Lógica y cuantificadores  1.1.4. Cardinalidad de conjuntos  1.2. Espacio métrico  1.2.1. Introducción a conjuntos abiertos y cerrados en espacios métricos  1.2.2. Convergencia de secuencias en un espacio métrico  1.2.3. Función continua en un espacio métrico  1.2.4. Compacidad y completitud en espacios métricos en análisis real  1.3. Secuencias y series  1.3.1. Convergencia de secuencias  1.3.2. Series infinitas  1.3.3. Convergencia uniforme  1.3.4. Serie de potencias  1.4. Discriminación  1.4.1. Teorema del valor medio  1.4.2. Serie de Taylor  1.4.3. Funciones de varias variables  1.4.4. Derivada parcial  1.5. Integración  1.5.1. Integración de Riemann y Lebesgue  1.5.2. Integrales impropias  1.5.3. Teoría de la medida: una herramienta fundamental en la integración  1.5.4. Teorema de Fubini  1.6. Análisis funcional  1.6.1. Comprendiendo los espacios de Banach  1.6.2. Espacios de Hilbert  1.6.3. Operadores en espacios  1.6.4. Teoría espectral
  2. Álgebra abstracta  2.1. Entendiendo los grupos en el álgebra abstracta  2.1.1. Definiciones y ejemplos de grupos en álgebra abstracta  2.1.2. Homomorfismos de grupos  2.1.3. Introducción a los subgrupos normales  2.1.4. Teorema de Sylow  2.2. Anillos y campos  2.2.1. Ideales y anillos cociente  2.2.2. Extensiones de campos  2.2.3. Teoría de Galois  2.2.4. Anillos de polinomios  2.3. Introducción a los módulos en álgebra abstracta  2.3.1. Homomorfismo de módulos  2.3.2. Módulos libres  2.3.3. Introducción a los productos tensoriales  2.3.4. Secuencia exacta en módulos  2.4. Álgebra lineal  2.4.1. Espacio vectorial  2.4.2. Autovalores y autovectores  2.4.3. Espacio de producto interior  2.4.4. Diagonalización
  3. Topología  3.1. Topología general  3.1.1. Conjuntos abiertos y cerrados  3.1.2. Compacidad y conexión  3.1.3. Mapas continuos  3.1.4. Axioma de separación  3.2. Topología algebraica  3.2.1. Comprensión de los grupos fundamentales en la topología algebraica  3.2.2. Homotopía y homología  3.2.3. Complejo simplicial  3.2.4. Secuencias exactas en homología  3.3. Topología diferencial  3.3.1. Comprendiendo las variedades en topología diferencial  3.3.2. Funcionamiento suave  3.3.3. Espacio tangente y cotangente  3.3.4. Fibrados vectoriales
  4. Ecuaciones diferenciales  4.1. Ecuación diferencial ordinaria  4.1.1. Ecuaciones de primer orden  4.1.2. Ecuaciones lineales de segundo orden  4.1.3. Sistemas de ecuaciones diferenciales  4.1.4. Análisis de estabilidad en ecuaciones diferenciales ordinarias  4.2. Ecuaciones en derivadas parciales  4.2.1. Clasificación de EDP  4.2.2. Entendiendo las series de Fourier en ecuaciones diferenciales parciales  4.2.3. Introducción a las funciones de Green  4.2.4. Método de caracterización  4.3. Sistemas dinámicos en ecuaciones diferenciales  4.3.1. Teoría de la sostenibilidad  4.3.2. Ciclos límite en sistemas dinámicos  4.3.3. Teoría del caos  4.3.4. Teoría de bifurcación
  5. Probabilidad y estadística  5.1. Teoría de la probabilidad  5.1.1. Variables aleatorias  5.1.2. Distribuciones de probabilidad  5.1.3. Ley de los grandes números  5.1.4. Teorema del límite central  5.2. Inferencia estadística  5.2.1. Pruebas de hipótesis  5.2.2. Intervalo de confianza  5.2.3. Métodos bayesianos  5.2.4. Estimación de máxima verosimilitud  5.3. Procesos estocásticos  5.3.1. Cadenas de Markov  5.3.2. Movimiento browniano  5.3.3. Comprendiendo los procesos de Poisson  5.3.4. Martingalas: Un estudio integral en probabilidad y estadística
  6. Análisis numérico  6.1. Soluciones numéricas de ecuaciones  6.1.1. Descubrimiento original  6.1.2. Métodos iterativos  6.1.3. Análisis de convergencia  6.1.4. Cotas de error en soluciones numéricas de ecuaciones  6.2. Álgebra lineal numérica  6.2.1. Factorización de matrices  6.2.2. Cálculo de valores propios  6.2.3. Matrices dispersas  6.2.4. Técnicas de preacondicionamiento  6.3. Integración y diferenciación numérica  6.3.1. Métodos de cuadratura  6.3.2. Introducción a las diferencias finitas  6.3.3. Análisis de errores en la integración y diferenciación numérica  6.3.4. Métodos adaptativos en integración y diferenciación numérica
  7. Análisis complejo  7.1. Números complejos  7.1.1. Forma polar  7.1.2. Conjugados complejos  7.1.3. Forma exponencial de los números complejos  7.1.4. Raíces de la unidad  7.2. Funciones analíticas  7.2.1. Ecuaciones de Cauchy–Riemann  7.2.2. Series de potencias  7.2.3. Mapeo conforme  7.2.4. Funciones armónicas  7.3. Integración en el plano complejo  7.3.1. Teorema de Cauchy  7.3.2. Teorema del residuo  7.3.3. Integración de contornos  7.3.4. Transformaciones integrales
  8. Lógica matemática y fundamentos  8.1. Lógica proposicional  8.1.1. Tablas de verdad  8.1.2. Equivalencia lógica en la lógica proposicional  8.1.3. Técnicas de demostración en lógica proposicional  8.1.4. Solución en lógica proposicional  8.2. Lógica de predicados  8.2.1. Cuantificadores en lógica de predicados  8.2.2. Sistemas formales en lógica de predicados  8.2.3. Integridad y solidez  8.2.4. Teoría de modelos  8.3. Teoría de conjuntos  8.3.1. Cardinalidad y ordinalidad  8.3.2. Sistemas axiomáticos  8.3.3. Comprender la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel  8.3.4. Fuerzas en la teoría de conjuntos
  9. Personalización  9.1. Programación lineal  9.1.1. Método simplex  9.1.2. Dualidad en la programación lineal  9.1.3. Análisis de sensibilidad en programación lineal  9.1.4. Métodos de punto interior  9.2. Programación no lineal  9.2.1. Descenso de gradiente  9.2.2. Multiplicadores de Lagrange  9.2.3. Optimización convexa  9.2.4. Programación cuadrática  9.3. Optimización Combinatoria  9.3.1. Algoritmos de grafos  9.3.2. Programación entera  9.3.3. Flujo de red  9.3.4. Algoritmos de aproximación
  10. Matemáticas discretas  10.1. Teoría de grafos  10.1.1. Representación de grafos  10.1.2. Llanura y color  10.1.3. Algoritmo de camino más corto  10.1.4. Flujo de red  10.2. Compañerismo  10.2.1. Permutación y combinación  10.2.2. Función generadora  10.2.3. Relación de recurrencia  10.2.4. Comprendiendo el Principio de Inclusión-Exclusión  10.3. Criptografía  10.3.1. Aplicaciones de la teoría de números en criptografía  10.3.2. Criptografía Simétrica y Asimétrica  10.3.3. RSA y criptografía de curvas elípticas  10.3.4. Criptografía post-cuántica

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Técnicas de demostración en lógica proposicional


En el campo de la lógica matemática, las técnicas de demostración son métodos aplicados por los matemáticos para demostrar la veracidad de proposiciones. La lógica proposicional involucra enunciados que pueden ser verdaderos o falsos, a menudo llamados "proposiciones". Comprender las diversas técnicas de demostración es importante para analizar argumentos lógicos y formular nuevos argumentos. Este texto discute en profundidad las principales técnicas de demostración usadas en la lógica proposicional, proporcionando ejemplos basados en texto y visuales para mayor claridad.

1. Prueba directa

La prueba directa es una forma directa de establecer que una proposición dada es verdadera. Involucra una secuencia lógica de declaraciones desde un premisa asumida como verdadera hasta una conclusión.

Considera probar si A, entonces B

fase:

  1. Suponga que A es cierto.
  2. Use razonamiento lógico para mostrar que B también debe ser cierto.

Ejemplo:

Probar: Si n es un número par, entonces n 2 es par.

prueba:

  1. Sea n par. Entonces n = 2k para algún entero k.
  2. Luego n 2 = (2k) 2 = 4k 2.
  3. Note que 4k 2 = 2(2k 2 ), que es divisible por 2, por lo tanto, es par.
  4. Por lo tanto, n 2 es par.
Suponga que n es par probar n² par

2. Prueba indirecta (prueba por contradicción)

La prueba indirecta, o prueba por contradicción, implica suponer que la declaración que se desea probar es falsa, luego mostrar que esta suposición lleva a una contradicción.

Suponga que probar ¬A ⇒ falso hace que A sea verdad.

fase:

  1. Suponga que A es falso.
  2. Muéstrese que esta suposición lleva a una contradicción lógica.
  3. Concluya que A debe ser verdadero.

Ejemplo:

Probar: No hay un número entero más grande.

prueba:

  1. Para sake de contradicción suponga que hay un número entero más grande llamado N
  2. Considere N + 1 Claramente, N + 1 > N.
  3. Esto contradice la suposición de que N es el número entero más grande.
  4. Así que nuestra suposición es incorrecta. Entonces no hay un número entero más grande.
Sea ¬A contradicciones

3. Prueba por contrapeso

La prueba por contrapeso consiste en probar que si no B, entonces no A es una forma de mostrar si A, entonces B.

Ejemplo:

Probar: Si n 2 es par, entonces n es par.

prueba:

  1. Conversamente, probaremos: si n es impar, entonces n 2 es impar.
  2. Sea n impar. Entonces n = 2k + 1 para algún entero k.
  3. Luego n 2 = (2k + 1) 2 = 4k 2 + 4k + 1.
  4. Note que 4k 2 + 4k + 1 es impar ya que es de la forma 2m + 1.
  5. Por lo tanto, si n es impar, n 2 es impar.
  6. Por lo tanto, por el inverso, si n 2 es par, n es par.
Suponga que n es impar Probar que n² es impar

4. Prueba por inducción

La inducción matemática es una técnica poderosa que se usa para probar declaraciones sobre los números naturales. Consiste en dos componentes principales: el caso base y el paso inductivo.

fase:

  1. Caso base: Verifique la declaración para un valor inicial (a menudo n=0 o n=1).
  2. Paso inductivo: Suponga que la declaración es verdadera para un caso arbitrario n=k, y muestre que también es verdadera para n=k+1.

Ejemplo:

Probar: Para todos los números naturales n , 1 + 2 + ldots + n = frac{n(n + 1)}{2}.

prueba:

  1. Caso base: Para n=1, el lado izquierdo es 1 y el lado derecho frac{1(1+1)}{2} = 1 El caso base es válido.
  2. Paso inductivo: Suponga que para n=k es verdad:
    1 + 2 + ldots + k = frac{k(k+1)}{2}
  3. Probar que para n=k+1:
    1 + 2 + ldots + k + (k+1) = frac{k(k+1)}{2} + (k+1)
  4. Reescribiendo,
    frac{k(k+1)}{2} + (k+1) = frac{k(k+1) + 2(k+1)}{2} = frac{(k+1)(k+2)}{2}
  5. Por lo tanto, la fórmula es verdadera para n=k+1.
  6. Por inducción, la fórmula es válida para todos los números naturales n.
Caso Base Fase Inductiva n = k n = k+1

5. Prueba por agotamiento

La prueba por agotamiento, o análisis de casos, es una técnica en la que se demuestra una declaración abarcando todos los casos posibles.

fase:

  1. Divida la propuesta en un número limitado de casos.
  2. Demuestre que la proposición es verdadera para cada caso por separado.

Ejemplo:

Probar: Cada número entero de 1 a 4 es menor que 5.

prueba:

  1. Caso 1: n = 1 , entonces 1 < 5.
  2. Caso 2: n = 2 , entonces 2 < 5.
  3. Caso 3: n = 3 , entonces 3 < 5.
  4. Caso 4: n = 4 , entonces 4 < 5.
Caso 1 Caso 2 Caso 3 Caso 4

6. Prueba por contraejemplo

La prueba por contraejemplo es la técnica de demostrar una declaración universal falsa proporcionando un solo contraejemplo.

Ejemplo:

Rechazar: Todos los números primos son impares.

Contraejemplo:

  • 2 es un número primo pero no es impar.
2 es par

Conclusión

Entender y usar técnicas de demostración en lógica proposicional es una habilidad esencial en lógica matemática y fundamentos. Dominar estas técnicas proporciona las herramientas necesarias para analizar y construir argumentos lógicos de manera eficiente. Desde pruebas directas e indirectas hasta la inducción matemática y la prueba por contraejemplo, cada método ofrece ideas y enfoques únicos para resolver problemas lógicos. Practicar estas técnicas con ejemplos diversos ayuda a construir una base sólida para temas avanzados en matemáticas.


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