Posgrado
  1. Introducción al análisis real  1.1. Teoría de conjuntos y lógica en el análisis real  1.1.1. Conjuntos y operaciones en teoría de conjuntos y lógica en análisis real  1.1.2. Relaciones y funciones  1.1.3. Lógica y cuantificadores  1.1.4. Cardinalidad de conjuntos  1.2. Espacio métrico  1.2.1. Introducción a conjuntos abiertos y cerrados en espacios métricos  1.2.2. Convergencia de secuencias en un espacio métrico  1.2.3. Función continua en un espacio métrico  1.2.4. Compacidad y completitud en espacios métricos en análisis real  1.3. Secuencias y series  1.3.1. Convergencia de secuencias  1.3.2. Series infinitas  1.3.3. Convergencia uniforme  1.3.4. Serie de potencias  1.4. Discriminación  1.4.1. Teorema del valor medio  1.4.2. Serie de Taylor  1.4.3. Funciones de varias variables  1.4.4. Derivada parcial  1.5. Integración  1.5.1. Integración de Riemann y Lebesgue  1.5.2. Integrales impropias  1.5.3. Teoría de la medida: una herramienta fundamental en la integración  1.5.4. Teorema de Fubini  1.6. Análisis funcional  1.6.1. Comprendiendo los espacios de Banach  1.6.2. Espacios de Hilbert  1.6.3. Operadores en espacios  1.6.4. Teoría espectral
  2. Álgebra abstracta  2.1. Entendiendo los grupos en el álgebra abstracta  2.1.1. Definiciones y ejemplos de grupos en álgebra abstracta  2.1.2. Homomorfismos de grupos  2.1.3. Introducción a los subgrupos normales  2.1.4. Teorema de Sylow  2.2. Anillos y campos  2.2.1. Ideales y anillos cociente  2.2.2. Extensiones de campos  2.2.3. Teoría de Galois  2.2.4. Anillos de polinomios  2.3. Introducción a los módulos en álgebra abstracta  2.3.1. Homomorfismo de módulos  2.3.2. Módulos libres  2.3.3. Introducción a los productos tensoriales  2.3.4. Secuencia exacta en módulos  2.4. Álgebra lineal  2.4.1. Espacio vectorial  2.4.2. Autovalores y autovectores  2.4.3. Espacio de producto interior  2.4.4. Diagonalización
  3. Topología  3.1. Topología general  3.1.1. Conjuntos abiertos y cerrados  3.1.2. Compacidad y conexión  3.1.3. Mapas continuos  3.1.4. Axioma de separación  3.2. Topología algebraica  3.2.1. Comprensión de los grupos fundamentales en la topología algebraica  3.2.2. Homotopía y homología  3.2.3. Complejo simplicial  3.2.4. Secuencias exactas en homología  3.3. Topología diferencial  3.3.1. Comprendiendo las variedades en topología diferencial  3.3.2. Funcionamiento suave  3.3.3. Espacio tangente y cotangente  3.3.4. Fibrados vectoriales
  4. Ecuaciones diferenciales  4.1. Ecuación diferencial ordinaria  4.1.1. Ecuaciones de primer orden  4.1.2. Ecuaciones lineales de segundo orden  4.1.3. Sistemas de ecuaciones diferenciales  4.1.4. Análisis de estabilidad en ecuaciones diferenciales ordinarias  4.2. Ecuaciones en derivadas parciales  4.2.1. Clasificación de EDP  4.2.2. Entendiendo las series de Fourier en ecuaciones diferenciales parciales  4.2.3. Introducción a las funciones de Green  4.2.4. Método de caracterización  4.3. Sistemas dinámicos en ecuaciones diferenciales  4.3.1. Teoría de la sostenibilidad  4.3.2. Ciclos límite en sistemas dinámicos  4.3.3. Teoría del caos  4.3.4. Teoría de bifurcación
  5. Probabilidad y estadística  5.1. Teoría de la probabilidad  5.1.1. Variables aleatorias  5.1.2. Distribuciones de probabilidad  5.1.3. Ley de los grandes números  5.1.4. Teorema del límite central  5.2. Inferencia estadística  5.2.1. Pruebas de hipótesis  5.2.2. Intervalo de confianza  5.2.3. Métodos bayesianos  5.2.4. Estimación de máxima verosimilitud  5.3. Procesos estocásticos  5.3.1. Cadenas de Markov  5.3.2. Movimiento browniano  5.3.3. Comprendiendo los procesos de Poisson  5.3.4. Martingalas: Un estudio integral en probabilidad y estadística
  6. Análisis numérico  6.1. Soluciones numéricas de ecuaciones  6.1.1. Descubrimiento original  6.1.2. Métodos iterativos  6.1.3. Análisis de convergencia  6.1.4. Cotas de error en soluciones numéricas de ecuaciones  6.2. Álgebra lineal numérica  6.2.1. Factorización de matrices  6.2.2. Cálculo de valores propios  6.2.3. Matrices dispersas  6.2.4. Técnicas de preacondicionamiento  6.3. Integración y diferenciación numérica  6.3.1. Métodos de cuadratura  6.3.2. Introducción a las diferencias finitas  6.3.3. Análisis de errores en la integración y diferenciación numérica  6.3.4. Métodos adaptativos en integración y diferenciación numérica
  7. Análisis complejo  7.1. Números complejos  7.1.1. Forma polar  7.1.2. Conjugados complejos  7.1.3. Forma exponencial de los números complejos  7.1.4. Raíces de la unidad  7.2. Funciones analíticas  7.2.1. Ecuaciones de Cauchy–Riemann  7.2.2. Series de potencias  7.2.3. Mapeo conforme  7.2.4. Funciones armónicas  7.3. Integración en el plano complejo  7.3.1. Teorema de Cauchy  7.3.2. Teorema del residuo  7.3.3. Integración de contornos  7.3.4. Transformaciones integrales
  8. Lógica matemática y fundamentos  8.1. Lógica proposicional  8.1.1. Tablas de verdad  8.1.2. Equivalencia lógica en la lógica proposicional  8.1.3. Técnicas de demostración en lógica proposicional  8.1.4. Solución en lógica proposicional  8.2. Lógica de predicados  8.2.1. Cuantificadores en lógica de predicados  8.2.2. Sistemas formales en lógica de predicados  8.2.3. Integridad y solidez  8.2.4. Teoría de modelos  8.3. Teoría de conjuntos  8.3.1. Cardinalidad y ordinalidad  8.3.2. Sistemas axiomáticos  8.3.3. Comprender la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel  8.3.4. Fuerzas en la teoría de conjuntos
  9. Personalización  9.1. Programación lineal  9.1.1. Método simplex  9.1.2. Dualidad en la programación lineal  9.1.3. Análisis de sensibilidad en programación lineal  9.1.4. Métodos de punto interior  9.2. Programación no lineal  9.2.1. Descenso de gradiente  9.2.2. Multiplicadores de Lagrange  9.2.3. Optimización convexa  9.2.4. Programación cuadrática  9.3. Optimización Combinatoria  9.3.1. Algoritmos de grafos  9.3.2. Programación entera  9.3.3. Flujo de red  9.3.4. Algoritmos de aproximación
  10. Matemáticas discretas  10.1. Teoría de grafos  10.1.1. Representación de grafos  10.1.2. Llanura y color  10.1.3. Algoritmo de camino más corto  10.1.4. Flujo de red  10.2. Compañerismo  10.2.1. Permutación y combinación  10.2.2. Función generadora  10.2.3. Relación de recurrencia  10.2.4. Comprendiendo el Principio de Inclusión-Exclusión  10.3. Criptografía  10.3.1. Aplicaciones de la teoría de números en criptografía  10.3.2. Criptografía Simétrica y Asimétrica  10.3.3. RSA y criptografía de curvas elípticas  10.3.4. Criptografía post-cuántica

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Análisis complejo


El análisis complejo es un campo fascinante y esencial de las matemáticas, principalmente relacionado con los números complejos y las funciones de variables complejas. Aunque suena complicado, es una extensión del análisis real con algunas diferencias importantes e interesantes.

Números complejos

Los números complejos forman la base del análisis complejo. Un número complejo es de la forma a + bi, donde a y b son números reales, y i es una unidad imaginaria que tiene la propiedad i2 = -1.

Por ejemplo, el número complejo 3 + 4i tiene parte real 3 y parte imaginaria 4.

Visualización de números complejos

3 + 4i

El punto rojo representa el número complejo 3 + 4i en el plano complejo. La línea horizontal es el eje real y la línea vertical es el eje imaginario.

Tareas complejas

Las funciones complejas son funciones que toman números complejos como entrada y devuelven números complejos. Un ejemplo simple de esto es f(z) = z2 + 1.

Dominio y rango

Al igual que las funciones reales, las funciones complejas tienen un dominio y un rango. El dominio es el conjunto de entradas donde la función está definida. El rango es el conjunto de posibles salidas.

f(z) = z^2 + 1

Para la función anterior, si el dominio es todos los números complejos, entonces el rango también incluirá todos los números complejos.

Funciones analíticas

Un tipo importante de funciones complejas son las funciones analíticas, también conocidas como funciones holomorfas. Estas funciones son diferenciables en su dominio, al igual que las funciones reales son diferenciables.

El concepto de diferenciabilidad en el análisis complejo es más fuerte que en el análisis real. Una función que es diferenciable complejamente en un punto es automáticamente diferenciable en un vecindario de ese punto.

Ecuaciones de Cauchy–Riemann

Para que una función compleja f(z) = u(x, y) + iv(x, y) sea diferenciable, las funciones u y v deben satisfacer las ecuaciones de Cauchy–Riemann:

ux = vy uy = -vx

Estas ecuaciones proporcionan un conjunto de condiciones necesarias para que una función sea analítica.

Ejemplo

Considere f(z) = z2, que puede expresarse como f(x + iy) = (x + iy)2 = x2 - y2 + 2xyi. Entonces u(x, y) = x2 - y2 y v(x, y) = 2xy.

Verifique la ecuación de Cauchy-Riemann:

ux = 2x, vy = 2x uy = -2y, vx = 2y

Estas satisfacen las ecuaciones, por lo que f(z) = z2 es analítica.

Especificación

Las singularidades son puntos donde una función no es analítica. Existen varias clasificaciones de singularidades:

  • Singularidades removibles: puntos donde una función puede definirse o redefinirse de modo que se vuelva analítica.
  • Polo: El punto donde una función tiende a infinito.
  • Singularidades esenciales: puntos donde la función se comporta de manera irregular.

Ejemplo de un polo

La función f(z) = 1/z tiene un polo en z = 0 porque se vuelve indefinida (tiende a infinito) cuando z se aproxima a 0.

Integración de contornos

La integración de contornos es una técnica clave utilizada para evaluar integrales complejas. La integral de una función compleja se calcula a lo largo de un camino o contorno en el plano complejo.

La integral de línea de una función compleja sobre un contorno C se da por:

∫C f(z) dz

Teorema de integración de Cauchy

Un teorema fundamental en la integración de contornos es el teorema integral de Cauchy. Afirma que si una función f(z) es analítica en todas partes dentro y sobre un contorno cerrado C, entonces:

∫C f(z) dz = 0

Ejemplo de integración de contornos

C

Considere la integral de f(z) = z sobre la línea de contorno C, un círculo de radio 1 centrado en el origen.

∫C z dz = 0

Dado que f(z) = z es analítica en todas partes, el teorema de integración de Cauchy nos dice que esta integral es cero.

Teorema del residuo

El teorema del residuo es una herramienta poderosa en el análisis complejo. Se utiliza para evaluar integrales complejas utilizando residuos, que son valores especiales asociados con las singularidades de la función.

Si f(z) tiene singularidades aisladas dentro de la línea de contorno C, entonces:

∫C f(z) dz = 2πi ∑ Res(f, ak)

donde Res(f, ak) es el residuo de f en la singularidad ak.

Aplicaciones del análisis complejo

El análisis complejo tiene amplias aplicaciones tanto en matemáticas puras como aplicadas, incluyendo:

  • Física: en mecánica cuántica, electromagnetismo y dinámica de fluidos.
  • Ingeniería: especialmente en teoría de control y procesamiento de señales.
  • Teoría de números: El análisis complejo es importante para entender la distribución de números primos a través de la función zeta de Riemann.
  • Otras áreas: Usado en ecuaciones diferenciales, sistemas dinámicos y varias áreas de matemáticas computacionales.

Conclusión

El análisis complejo no solo se basa en los conceptos fundamentales aprendidos en cálculo y análisis real, formando una puerta de entrada a áreas más avanzadas de las matemáticas, sino que también tiene numerosas aplicaciones en disciplinas científicas e ingenieriles. Su combinación de perspectivas geométricas con técnicas algebraicas lo convierte en una herramienta única y poderosa para resolver muchos tipos de problemas.


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