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अवशेष प्रमेय
अवशेष प्रमेय जटिल विश्लेषण में एक शक्तिशाली उपकरण है, जो समतल तल में बंद आकृतियों पर समाकलनों का मूल्यांकन करने की विधि प्रदान करता है। यह विलक्षणता की अवधारणा का उपयोग करता है - बिंदु जहां एक फ़ंक्शन अच्छा व्यवहार नहीं करता है, जैसे कि अपरिभाषित होना या अनंत की ओर बढ़ना - और उनके अवशेष। यह प्रमेय काउची के समाकलन प्रमेय को सामान्यीकृत करता है और इसे वास्तविक समाकलनों की गणना करने के लिए विशेष रूप से उपयोगी बनाता है, उन्हें जटिल विश्लेषण की अवधारणाओं से जोड़कर।
मूलभूत अवधारणाएँ
अवशेष प्रमेय को समझने के लिए हमें कुछ मूलभूत अवधारणाएँ परिभाषित करने की आवश्यकता है:
जटिल फलन और विश्लेषणशीलता
एक फलन f(z) जटिल होता है यदि वह जटिल संख्याओं को इनपुट के रूप में लेता है और जटिल संख्याओं को आउटपुट के रूप में उत्पन्न करता है। एक फलन किसी बिंदु पर विश्लेषणशील होता है यदि वह उस बिंदु पर और उसके निकट पड़ोस में अवकलनीय हो। विश्लेषणशील फलन को होलोमोर्फिक फलन के रूप में भी जाना जाता है।
कभी-कभी फलनों के बिंदु होते हैं जहाँ वे विश्लेषणशील नहीं होते; इन्हें विलक्षणताएँ कहा जाता है।
विलक्षणताएँ और अवशेष
विलक्षणताएँ वे बिंदु होते हैं जहाँ जटिल फलन विश्लेषणशील नहीं होता है। विभिन्न प्रकार की विलक्षणताएँ शामिल हैं:
- हटाने योग्य विलक्षणताएँ: बिंदु जहाँ फलन को पुन: परिभाषित करके विश्लेषणशील बनाया जा सकता है।
- ध्रुव: बिंदु जहाँ फलन अनंत की ओर बढ़ता है। ध्रुव का क्रम वह डिग्री है जिससे फलन विलक्षणता के निकट
1/(za)^nके रूप में व्यवहार करता है। - मौलिक विलक्षणताएँ: बिंदु जहाँ फलन का व्यवहार अव्यवस्थित होता है और किसी भी पुनरावृत्ति पैटर्न का पालन नहीं करता।
किसी विलक्षणता पर एक फलन का अवशेष उस बिंदु a के चारों ओर फलन के ड्यूरेंट श्रेणी विस्तार में 1/(za) का गुणांक होता है।
अवशेष प्रमेय
अवशेष प्रमेय कहता है कि यदि f(z) एक फलन है जो एक बंद क्षेत्र में एक सीमित संख्या में पृथक विलक्षणताओं को छोड़कर विश्लेषणशील है, तो बंद आकृति C पर f(z) का समाकलन है:
∮_C f(z) dz = 2πi * Σ f के C के अंदर के अवशेषयहाँ, Σ आकृति रेखा C के अंदर सभी विलक्षणताओं के योग को दर्शाता है।
दृश्य उदाहरण
चलो एक सरल दृश्य उदाहरण का विचार करते हैं जहाँ f(z) का z = a और z = b पर विलक्षणताएँ हैं, जो आकृति रेखा C के भीतर ध्रुवों को इंगित करती हैं।
यहाँ, बंद आकृति C में दो विलक्षणताएँ हैं: z = a और z = b। अवशेष प्रमेय के अनुसार, C पर समाकलन इन बिंदुओं पर अवशेषों पर निर्भर करता है।
अवशेषों की गणना
सरल ध्रुव z = a पर अवशेष निम्नानुसार पाया जा सकता है:
Res(f, a) = lim_(z → a) (z - a)f(z)अधिक ऊँचे क्रम के ध्रुवों के लिए, अवशेष व्युत्पन्न का उपयोग करके पाए जाते हैं:
Res(f, a) = 1/(n-1)! lim_(z → a) d^(n-1)/dz^(n-1)( (za)^nf(z) )उदाहरण: सरल ध्रुव
मान लें फलन
f(z) = 1 / (z - 1)इस फलन का z = 1 पर एक सरल ध्रुव है। अवशेष है:
Res(f, 1) = lim_(z → 1) (z - 1)f(z) = lim_(z → 1) 1 = 1उदाहरण: ऊँचे क्रम के ध्रुव
यह फलन मान लें:
f(z) = 2 / (z - 1)^3इसका z = 1 पर क्रम 3 का ध्रुव है। अवशेष को पाने के लिए, हम व्युत्पन्न करते हैं:
Res(f, 1) = 1/2! lim_(z → 1) d^2/dz^2((z - 1)^3 * 2/(z - 1)^3) = 1/2 lim_(z → 1) d^2/dz^2(2) = 0इस स्थिति में, कोई अवशेष नहीं जोड़ा जाता क्योंकि व्युत्पत्ति एक स्थिर पद की ओर ले जाती है।
अनुप्रयोग और वास्तविक समाकलन
अवशेष प्रमेय वास्तविक समाकलनों को हल करने में अत्यंत उपयोगी है, जो अक्सर इंजीनियरिंग, भौतिकी, और अनुप्रयुक्त गणित में देखे जाते हैं।
उदाहरण 1: अवशेषों का उपयोग करके वास्तविक समाकलन
वास्तविक रेखा पर समाकलन पर विचार करें:
∫ (e^(ix)) / (x^2 + 1) dx from -∞ to ∞इसे अवशेष प्रमेय का उपयोग करके हल करने के लिए, हम पहले जटिल फलन की पहचान करते हैं:
f(z) = e^(iz) / (z^2 + 1)z = i और z = -i पर ध्रुव हैं। केवल z = i ऊपरी अर्द्ध-समतल में है, जो कि प्रासंगिक है क्योंकि हम आकृति को ऊपरी अर्द्धवृत्त में बंद करते हैं ताकि वास्तविक अक्ष पर ध्रुवों से बचा जा सके। z = i पर अवशेष है:
Res(f, i) = lim_(z → i) (z - i)*e^(iz)/(z^2 + 1) = lim_(z → i) e^(iz)/(z + i) = e^(-1)/2iअवशेष प्रमेय के अनुसार:
∮_C f(z) dz = 2πi * Σ Res(f) = 2πi * e^(-1)/2i = πe^(-1)इस प्रकार, मूल वास्तविक समाकलन का मान πe^(-1) है।
निष्कर्ष
अवशेष प्रमेय विशेष रूप से सीमांकित फलनों या विशिष्ट ढांचों में शामिल कुछ प्रकार के जटिल समाकलनों के मूल्यांकन के कठिन कार्य को सरल करता है। इन समाकलनों को अवशेषों के योग में अनुवादित करके, यह एक सुरुचिपूर्ण और प्रभावी ढांचा प्रदान करता है जो जटिल विश्लेषण में मौलिक है।
उपरोक्त उदाहरणों के माध्यम से, आप अवशेष प्रमेय की व्यावहारिक उपयोगिता देख सकते हैं। यह गणितज्ञों और भौतिकविदों दोनों के लिए एक अनिवार्य उपकरण है, जो सीमा-मूल्य समस्याओं को हल करने, वास्तविक समाकलनों का मूल्यांकन करने और कई अन्य कार्यों में सहायक है।
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