Posgrado
  1. Introducción al análisis real  1.1. Teoría de conjuntos y lógica en el análisis real  1.1.1. Conjuntos y operaciones en teoría de conjuntos y lógica en análisis real  1.1.2. Relaciones y funciones  1.1.3. Lógica y cuantificadores  1.1.4. Cardinalidad de conjuntos  1.2. Espacio métrico  1.2.1. Introducción a conjuntos abiertos y cerrados en espacios métricos  1.2.2. Convergencia de secuencias en un espacio métrico  1.2.3. Función continua en un espacio métrico  1.2.4. Compacidad y completitud en espacios métricos en análisis real  1.3. Secuencias y series  1.3.1. Convergencia de secuencias  1.3.2. Series infinitas  1.3.3. Convergencia uniforme  1.3.4. Serie de potencias  1.4. Discriminación  1.4.1. Teorema del valor medio  1.4.2. Serie de Taylor  1.4.3. Funciones de varias variables  1.4.4. Derivada parcial  1.5. Integración  1.5.1. Integración de Riemann y Lebesgue  1.5.2. Integrales impropias  1.5.3. Teoría de la medida: una herramienta fundamental en la integración  1.5.4. Teorema de Fubini  1.6. Análisis funcional  1.6.1. Comprendiendo los espacios de Banach  1.6.2. Espacios de Hilbert  1.6.3. Operadores en espacios  1.6.4. Teoría espectral
  2. Álgebra abstracta  2.1. Entendiendo los grupos en el álgebra abstracta  2.1.1. Definiciones y ejemplos de grupos en álgebra abstracta  2.1.2. Homomorfismos de grupos  2.1.3. Introducción a los subgrupos normales  2.1.4. Teorema de Sylow  2.2. Anillos y campos  2.2.1. Ideales y anillos cociente  2.2.2. Extensiones de campos  2.2.3. Teoría de Galois  2.2.4. Anillos de polinomios  2.3. Introducción a los módulos en álgebra abstracta  2.3.1. Homomorfismo de módulos  2.3.2. Módulos libres  2.3.3. Introducción a los productos tensoriales  2.3.4. Secuencia exacta en módulos  2.4. Álgebra lineal  2.4.1. Espacio vectorial  2.4.2. Autovalores y autovectores  2.4.3. Espacio de producto interior  2.4.4. Diagonalización
  3. Topología  3.1. Topología general  3.1.1. Conjuntos abiertos y cerrados  3.1.2. Compacidad y conexión  3.1.3. Mapas continuos  3.1.4. Axioma de separación  3.2. Topología algebraica  3.2.1. Comprensión de los grupos fundamentales en la topología algebraica  3.2.2. Homotopía y homología  3.2.3. Complejo simplicial  3.2.4. Secuencias exactas en homología  3.3. Topología diferencial  3.3.1. Comprendiendo las variedades en topología diferencial  3.3.2. Funcionamiento suave  3.3.3. Espacio tangente y cotangente  3.3.4. Fibrados vectoriales
  4. Ecuaciones diferenciales  4.1. Ecuación diferencial ordinaria  4.1.1. Ecuaciones de primer orden  4.1.2. Ecuaciones lineales de segundo orden  4.1.3. Sistemas de ecuaciones diferenciales  4.1.4. Análisis de estabilidad en ecuaciones diferenciales ordinarias  4.2. Ecuaciones en derivadas parciales  4.2.1. Clasificación de EDP  4.2.2. Entendiendo las series de Fourier en ecuaciones diferenciales parciales  4.2.3. Introducción a las funciones de Green  4.2.4. Método de caracterización  4.3. Sistemas dinámicos en ecuaciones diferenciales  4.3.1. Teoría de la sostenibilidad  4.3.2. Ciclos límite en sistemas dinámicos  4.3.3. Teoría del caos  4.3.4. Teoría de bifurcación
  5. Probabilidad y estadística  5.1. Teoría de la probabilidad  5.1.1. Variables aleatorias  5.1.2. Distribuciones de probabilidad  5.1.3. Ley de los grandes números  5.1.4. Teorema del límite central  5.2. Inferencia estadística  5.2.1. Pruebas de hipótesis  5.2.2. Intervalo de confianza  5.2.3. Métodos bayesianos  5.2.4. Estimación de máxima verosimilitud  5.3. Procesos estocásticos  5.3.1. Cadenas de Markov  5.3.2. Movimiento browniano  5.3.3. Comprendiendo los procesos de Poisson  5.3.4. Martingalas: Un estudio integral en probabilidad y estadística
  6. Análisis numérico  6.1. Soluciones numéricas de ecuaciones  6.1.1. Descubrimiento original  6.1.2. Métodos iterativos  6.1.3. Análisis de convergencia  6.1.4. Cotas de error en soluciones numéricas de ecuaciones  6.2. Álgebra lineal numérica  6.2.1. Factorización de matrices  6.2.2. Cálculo de valores propios  6.2.3. Matrices dispersas  6.2.4. Técnicas de preacondicionamiento  6.3. Integración y diferenciación numérica  6.3.1. Métodos de cuadratura  6.3.2. Introducción a las diferencias finitas  6.3.3. Análisis de errores en la integración y diferenciación numérica  6.3.4. Métodos adaptativos en integración y diferenciación numérica
  7. Análisis complejo  7.1. Números complejos  7.1.1. Forma polar  7.1.2. Conjugados complejos  7.1.3. Forma exponencial de los números complejos  7.1.4. Raíces de la unidad  7.2. Funciones analíticas  7.2.1. Ecuaciones de Cauchy–Riemann  7.2.2. Series de potencias  7.2.3. Mapeo conforme  7.2.4. Funciones armónicas  7.3. Integración en el plano complejo  7.3.1. Teorema de Cauchy  7.3.2. Teorema del residuo  7.3.3. Integración de contornos  7.3.4. Transformaciones integrales
  8. Lógica matemática y fundamentos  8.1. Lógica proposicional  8.1.1. Tablas de verdad  8.1.2. Equivalencia lógica en la lógica proposicional  8.1.3. Técnicas de demostración en lógica proposicional  8.1.4. Solución en lógica proposicional  8.2. Lógica de predicados  8.2.1. Cuantificadores en lógica de predicados  8.2.2. Sistemas formales en lógica de predicados  8.2.3. Integridad y solidez  8.2.4. Teoría de modelos  8.3. Teoría de conjuntos  8.3.1. Cardinalidad y ordinalidad  8.3.2. Sistemas axiomáticos  8.3.3. Comprender la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel  8.3.4. Fuerzas en la teoría de conjuntos
  9. Personalización  9.1. Programación lineal  9.1.1. Método simplex  9.1.2. Dualidad en la programación lineal  9.1.3. Análisis de sensibilidad en programación lineal  9.1.4. Métodos de punto interior  9.2. Programación no lineal  9.2.1. Descenso de gradiente  9.2.2. Multiplicadores de Lagrange  9.2.3. Optimización convexa  9.2.4. Programación cuadrática  9.3. Optimización Combinatoria  9.3.1. Algoritmos de grafos  9.3.2. Programación entera  9.3.3. Flujo de red  9.3.4. Algoritmos de aproximación
  10. Matemáticas discretas  10.1. Teoría de grafos  10.1.1. Representación de grafos  10.1.2. Llanura y color  10.1.3. Algoritmo de camino más corto  10.1.4. Flujo de red  10.2. Compañerismo  10.2.1. Permutación y combinación  10.2.2. Función generadora  10.2.3. Relación de recurrencia  10.2.4. Comprendiendo el Principio de Inclusión-Exclusión  10.3. Criptografía  10.3.1. Aplicaciones de la teoría de números en criptografía  10.3.2. Criptografía Simétrica y Asimétrica  10.3.3. RSA y criptografía de curvas elípticas  10.3.4. Criptografía post-cuántica

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Teorema de Cauchy


El teorema de Cauchy es un resultado fundamental en el análisis complejo, una rama de las matemáticas que trata con funciones de una variable compleja. Este teorema juega un papel central en la teoría de funciones analíticas y tiene muchas implicaciones profundas, especialmente en la evaluación de integrales en el plano complejo.

Comprendiendo el teorema de Cauchy

El teorema de Cauchy esencialmente establece que si tenemos una función de valor complejo f(z) que es analítica en y dentro de algún contorno cerrado C en el plano complejo, entonces la integral de f(z) alrededor de C es cero. Matemáticamente, esto se expresa como:

∮ c f(z) dz = 0

Aquí, ∮ C representa la integral de línea alrededor del contorno cerrado C, y f(z) es la función que se está integrando. La función debe ser analítica, lo que significa que es diferenciable en cada punto de su dominio en el plano complejo.

Este teorema se puede ver como la contraparte en el plano complejo del teorema fundamental del cálculo. El aspecto clave es que, bajo las condiciones del teorema, la integral de f(z) sobre un contorno es cero siempre que f(z) sea analítica.

Contornos en el plano complejo

Una línea de contorno es una curva cerrada, suavemente trazada por partes en el plano complejo. Este es un aspecto esencial del teorema de Cauchy, ya que el teorema se aplica a líneas de contorno donde la función f(z) es analítica dentro y en esta curva.

C Z0

Funciones analíticas

Una función analítica (también llamada holomorfa) es una función que localmente se da por una serie de potencias convergentes. Para la función f(z) = u(x, y) + iv(x, y), donde u y v son funciones de valor real, f(z) es analítica en un conjunto abierto si satisface las ecuaciones de Cauchy–Riemann:

∂u/∂x = ∂v/∂y
∂u/∂y = -∂v/∂x

Esto implica que la función f(z) tiene derivadas parciales continuas y puede diferenciarse como una función compleja.

Ejemplo simple e ilustración

Ejemplo 1: función estática

Considere el ejemplo más simple, una función constante f(z) = 1 Si integramos esta función sobre algún contorno cerrado C, entonces la integral es:

∮ c 1 dz = 0

Este resultado tiene sentido intuitivo, ya que moverse alrededor de un contorno en el plano complejo es lo mismo que moverse alrededor de un círculo completo, y el resultado de integrar una función constante sobre tal bucle es cero.

1

Ejemplo 2: f(z) = z

Ahora, considere la función f(z) = z. Nuevamente usando el teorema de Cauchy, si C encierra cualquier parte donde f(z) es analítica, entonces obtenemos:

∮ c z dz = 0

Este resultado surge del hecho de que las transformaciones lineales preservan la simetría de acumulación sobre caminos analíticos.

again I am

Prueba más formal

Una prueba más formal del teorema de Cauchy utiliza el teorema de Green del cálculo vectorial. Establecemos la relación convirtiendo la integral de línea sobre la región encerrada por el contorno en una integral doble.

La prueba involucra pasos importantes:

  1. Comienza expresando la integral de línea de f(z) como sigue:
    2. ∮ C f(z) dz = ∮ C (u + iv)(dx + i dy)
  2. Usando la parametrización con z(t) = x(t) + iy(t), expresa la diferencia dz como:
    3. dz = (dx/dt + idy/dt)dt
  3. Aplicando el teorema de Green, que relaciona la integral de línea alrededor de una curva cerrada con la integral doble sobre la región del plano limitada por la curva, podemos expresarlo como:
    4. ∮ C u dx + v dy = ∬ R (∂v/∂x – ∂u/∂y) dx dy
  4. Porque f(z) es analítica, las derivadas parciales ∂u/∂y y ∂v/∂x se cancelan según las ecuaciones de Cauchy–Riemann, dando:
    5. ∂v/∂x - ∂u/∂y = 0
  5. Así, concluimos:
    6. ∮ c f(z) dz = 0

Aplicaciones del teorema de Cauchy

El teorema de Cauchy sirve como base para muchos otros resultados poderosos en el análisis complejo, incluyendo la fórmula integral de Cauchy, el teorema del residuo y el concepto de analiticidad. En física e ingeniería, este teorema ayuda a resolver problemas relacionados con la dinámica de fluidos, el electromagnetismo y otros campos que tratan con potenciales complejos.

Ejemplo 3: Aplicaciones en el electromagnetismo

Considere un problema donde el campo eléctrico está definido por una función potencial compleja que es analítica. Usando el teorema de Cauchy nos permite evaluar directamente interacciones sobre caminos cerrados, dando información sobre campos potenciales:

∮ C e(z) dz = 0

donde E(z) es el campo eléctrico representado como una función compleja.

Conclusión

El teorema de Cauchy es una piedra angular del análisis complejo, afirmando que la ruta tomada al evaluar una integral no afecta el resultado, siempre que la función sea analítica. Subraya la importancia de la analiticidad en el tratamiento de funciones complejas y resalta la utilidad de la integración compleja en aplicaciones prácticas.


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