Posgrado
  1. Introducción al análisis real  1.1. Teoría de conjuntos y lógica en el análisis real  1.1.1. Conjuntos y operaciones en teoría de conjuntos y lógica en análisis real  1.1.2. Relaciones y funciones  1.1.3. Lógica y cuantificadores  1.1.4. Cardinalidad de conjuntos  1.2. Espacio métrico  1.2.1. Introducción a conjuntos abiertos y cerrados en espacios métricos  1.2.2. Convergencia de secuencias en un espacio métrico  1.2.3. Función continua en un espacio métrico  1.2.4. Compacidad y completitud en espacios métricos en análisis real  1.3. Secuencias y series  1.3.1. Convergencia de secuencias  1.3.2. Series infinitas  1.3.3. Convergencia uniforme  1.3.4. Serie de potencias  1.4. Discriminación  1.4.1. Teorema del valor medio  1.4.2. Serie de Taylor  1.4.3. Funciones de varias variables  1.4.4. Derivada parcial  1.5. Integración  1.5.1. Integración de Riemann y Lebesgue  1.5.2. Integrales impropias  1.5.3. Teoría de la medida: una herramienta fundamental en la integración  1.5.4. Teorema de Fubini  1.6. Análisis funcional  1.6.1. Comprendiendo los espacios de Banach  1.6.2. Espacios de Hilbert  1.6.3. Operadores en espacios  1.6.4. Teoría espectral
  2. Álgebra abstracta  2.1. Entendiendo los grupos en el álgebra abstracta  2.1.1. Definiciones y ejemplos de grupos en álgebra abstracta  2.1.2. Homomorfismos de grupos  2.1.3. Introducción a los subgrupos normales  2.1.4. Teorema de Sylow  2.2. Anillos y campos  2.2.1. Ideales y anillos cociente  2.2.2. Extensiones de campos  2.2.3. Teoría de Galois  2.2.4. Anillos de polinomios  2.3. Introducción a los módulos en álgebra abstracta  2.3.1. Homomorfismo de módulos  2.3.2. Módulos libres  2.3.3. Introducción a los productos tensoriales  2.3.4. Secuencia exacta en módulos  2.4. Álgebra lineal  2.4.1. Espacio vectorial  2.4.2. Autovalores y autovectores  2.4.3. Espacio de producto interior  2.4.4. Diagonalización
  3. Topología  3.1. Topología general  3.1.1. Conjuntos abiertos y cerrados  3.1.2. Compacidad y conexión  3.1.3. Mapas continuos  3.1.4. Axioma de separación  3.2. Topología algebraica  3.2.1. Comprensión de los grupos fundamentales en la topología algebraica  3.2.2. Homotopía y homología  3.2.3. Complejo simplicial  3.2.4. Secuencias exactas en homología  3.3. Topología diferencial  3.3.1. Comprendiendo las variedades en topología diferencial  3.3.2. Funcionamiento suave  3.3.3. Espacio tangente y cotangente  3.3.4. Fibrados vectoriales
  4. Ecuaciones diferenciales  4.1. Ecuación diferencial ordinaria  4.1.1. Ecuaciones de primer orden  4.1.2. Ecuaciones lineales de segundo orden  4.1.3. Sistemas de ecuaciones diferenciales  4.1.4. Análisis de estabilidad en ecuaciones diferenciales ordinarias  4.2. Ecuaciones en derivadas parciales  4.2.1. Clasificación de EDP  4.2.2. Entendiendo las series de Fourier en ecuaciones diferenciales parciales  4.2.3. Introducción a las funciones de Green  4.2.4. Método de caracterización  4.3. Sistemas dinámicos en ecuaciones diferenciales  4.3.1. Teoría de la sostenibilidad  4.3.2. Ciclos límite en sistemas dinámicos  4.3.3. Teoría del caos  4.3.4. Teoría de bifurcación
  5. Probabilidad y estadística  5.1. Teoría de la probabilidad  5.1.1. Variables aleatorias  5.1.2. Distribuciones de probabilidad  5.1.3. Ley de los grandes números  5.1.4. Teorema del límite central  5.2. Inferencia estadística  5.2.1. Pruebas de hipótesis  5.2.2. Intervalo de confianza  5.2.3. Métodos bayesianos  5.2.4. Estimación de máxima verosimilitud  5.3. Procesos estocásticos  5.3.1. Cadenas de Markov  5.3.2. Movimiento browniano  5.3.3. Comprendiendo los procesos de Poisson  5.3.4. Martingalas: Un estudio integral en probabilidad y estadística
  6. Análisis numérico  6.1. Soluciones numéricas de ecuaciones  6.1.1. Descubrimiento original  6.1.2. Métodos iterativos  6.1.3. Análisis de convergencia  6.1.4. Cotas de error en soluciones numéricas de ecuaciones  6.2. Álgebra lineal numérica  6.2.1. Factorización de matrices  6.2.2. Cálculo de valores propios  6.2.3. Matrices dispersas  6.2.4. Técnicas de preacondicionamiento  6.3. Integración y diferenciación numérica  6.3.1. Métodos de cuadratura  6.3.2. Introducción a las diferencias finitas  6.3.3. Análisis de errores en la integración y diferenciación numérica  6.3.4. Métodos adaptativos en integración y diferenciación numérica
  7. Análisis complejo  7.1. Números complejos  7.1.1. Forma polar  7.1.2. Conjugados complejos  7.1.3. Forma exponencial de los números complejos  7.1.4. Raíces de la unidad  7.2. Funciones analíticas  7.2.1. Ecuaciones de Cauchy–Riemann  7.2.2. Series de potencias  7.2.3. Mapeo conforme  7.2.4. Funciones armónicas  7.3. Integración en el plano complejo  7.3.1. Teorema de Cauchy  7.3.2. Teorema del residuo  7.3.3. Integración de contornos  7.3.4. Transformaciones integrales
  8. Lógica matemática y fundamentos  8.1. Lógica proposicional  8.1.1. Tablas de verdad  8.1.2. Equivalencia lógica en la lógica proposicional  8.1.3. Técnicas de demostración en lógica proposicional  8.1.4. Solución en lógica proposicional  8.2. Lógica de predicados  8.2.1. Cuantificadores en lógica de predicados  8.2.2. Sistemas formales en lógica de predicados  8.2.3. Integridad y solidez  8.2.4. Teoría de modelos  8.3. Teoría de conjuntos  8.3.1. Cardinalidad y ordinalidad  8.3.2. Sistemas axiomáticos  8.3.3. Comprender la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel  8.3.4. Fuerzas en la teoría de conjuntos
  9. Personalización  9.1. Programación lineal  9.1.1. Método simplex  9.1.2. Dualidad en la programación lineal  9.1.3. Análisis de sensibilidad en programación lineal  9.1.4. Métodos de punto interior  9.2. Programación no lineal  9.2.1. Descenso de gradiente  9.2.2. Multiplicadores de Lagrange  9.2.3. Optimización convexa  9.2.4. Programación cuadrática  9.3. Optimización Combinatoria  9.3.1. Algoritmos de grafos  9.3.2. Programación entera  9.3.3. Flujo de red  9.3.4. Algoritmos de aproximación
  10. Matemáticas discretas  10.1. Teoría de grafos  10.1.1. Representación de grafos  10.1.2. Llanura y color  10.1.3. Algoritmo de camino más corto  10.1.4. Flujo de red  10.2. Compañerismo  10.2.1. Permutación y combinación  10.2.2. Función generadora  10.2.3. Relación de recurrencia  10.2.4. Comprendiendo el Principio de Inclusión-Exclusión  10.3. Criptografía  10.3.1. Aplicaciones de la teoría de números en criptografía  10.3.2. Criptografía Simétrica y Asimétrica  10.3.3. RSA y criptografía de curvas elípticas  10.3.4. Criptografía post-cuántica

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Funciones analíticas


En el campo del análisis complejo, un campo de las matemáticas que trata con números complejos y funciones de variables complejas, uno de los conceptos fundamentales es el de funciones analíticas. Las funciones analíticas son importantes de entender porque exhiben propiedades elegantes y poderosas que forman la base de muchos teoremas y aplicaciones de análisis complejo.

¿Qué es una función analítica?

Una función analítica, también conocida como función holomorfa, es una función compleja que localmente se da mediante una serie de potencias convergente. Esto significa que alrededor de cualquier punto dentro de su dominio, la función puede expresarse como una serie de potencias. Más formalmente, una función f se llama analítica en un punto z_0 si existe un radio r > 0 tal que dentro de un disco de radio r centrado en z_0, la función f(z) puede escribirse como:

f(z) = a_0 + a_1(z - z_0) + a_2(z - z_0)^2 + ...

Aquí, a_0, a_1, a_2,... son coeficientes complejos, y la serie converge a f(z) para todos los puntos z dentro del disco.

Derivadas de funciones analíticas

Una de las propiedades notables de las funciones analíticas es que son infinitamente diferenciables. Si una función f es analítica en el punto z_0, esto implica la existencia no solo de la primera derivada en z_0, sino de derivadas de todos los órdenes. Esto contrasta marcadamente con una función de valores reales, donde la diferenciabilidad no implica diferenciabilidad de orden superior.

Por ejemplo, considere la función f(z) = e^z. Esta función es analítica en todo el plano complejo, y su derivada es:

f'(z) = e^z

Las derivadas de orden superior pueden calcularse de manera similar, y todas son la misma función:

f''(z) = e^z, f'''(z) = e^z, ...

Ecuaciones de Cauchy–Riemann

Para determinar si una función compleja es analítica o no, a menudo se utilizan las ecuaciones de Cauchy-Riemann. Estas son un conjunto de dos ecuaciones diferenciales parciales que la función debe satisfacer para ser diferenciable. Sea f(z) = u(x, y) + iv(x, y), donde u y v son funciones de valores reales de variables reales x e y, y z = x + yi. Las ecuaciones de Cauchy-Riemann son:

∂u/∂x = ∂v/∂y, ∂u/∂y = -∂v/∂x

Si estas ecuaciones se satisfacen en algún vecindario de un punto, y las derivadas parciales de u y v son continuas, entonces f es analítica en ese punto.

Ejemplo de Cauchy–Riemann

Considere la función f(z) = z^2 = (x + yi)^2. La expandemos para obtener:

z^2 = x^2 - y^2 + 2xyi

De esto, u(x, y) = x^2 - y^2 y v(x, y) = 2xy. Verificamos las ecuaciones de Cauchy-Riemann:

∂u/∂x = 2x, ∂v/∂y = 2x
∂u/∂y = -2y, ∂v/∂x = 2y

Las ecuaciones de Cauchy–Riemann se satisfacen, lo que muestra que la función es analítica en todo el plano complejo.

Representación de la serie de potencias

Como se mencionó anteriormente, una función analítica se puede representar como una serie de potencias. Esto forma la base de muchos resultados potentes en análisis complejo, como las series de Taylor y Laurent.

Serie de Taylor

Si una función f es analítica en un disco centrado en z_0, entonces se puede representar como una serie de Taylor alrededor de z_0:

f(z) = ∑ (f^n(z_0) / n!) (z - z_0)^n

Aquí, f^n(z_0) denota la n-ésima derivada de f evaluada en z_0.

Ejemplo de serie de Taylor

Considere f(z) = e^z. La serie de Taylor alrededor de z_0 = 0 es:

f(z) = ∑(z^n / n!)

Esta serie converge para todos los números complejos z, lo que muestra que e^z es analítica en todo el plano complejo.

Serie de Laurent

En casos donde una función tiene singularidades (puntos donde la función no está definida o no es analítica), la serie de Laurent proporciona una representación. Contiene términos de potencias negativas y es particularmente útil para entender el comportamiento de la función cerca de tales singularidades.

Visualización

Consideremos la función f(z) = z^2 y veamos cómo transforma el plano complejo:

Ray(z) im(z) 2

En este diagrama, la línea azul representa el eje real, mientras que la línea roja representa el eje imaginario. El círculo muestra cómo z^2 afecta las transformaciones geométricas, duplicando ángulos y cuadrando distancias desde el origen.

Aplicaciones de funciones analíticas

Las funciones analíticas desempeñan un papel importante en varias áreas de las matemáticas y la ciencia aplicada. Aquí hay algunas aplicaciones:

  • Mapeo conformal: Las funciones analíticas preservan ángulos, lo que las hace importantes en transformaciones que preservan la forma de las estructuras sobre pequeñas regiones. El mapeo conformal se utiliza ampliamente en aerodinámica y dinámica de fluidos.
  • Procesamiento de señales: Las funciones complejas analíticas se utilizan para transformar y analizar señales, incluyendo aplicaciones como la transformada de Fourier.
  • Física teórica: Las funciones analíticas ayudan a resolver ecuaciones diferenciales complejas, las cuales son importantes en física teórica.

Propiedades de las funciones analíticas

Las funciones analíticas tienen muchas propiedades atractivas, entre ellas:

  • Teorema de Liouville: Si una función es entera (analítica en todo el plano complejo) y acotada, entonces debe ser constante.
  • Principio del módulo máximo: Si una función es analítica y no constante dentro de un dominio dado, entonces el módulo máximo (valor absoluto) de la función ocurre en el borde del dominio.
  • Teorema de la identidad: Si dos funciones analíticas coinciden en cualquier conjunto de puntos que tengan puntos límite dentro de sus dominios, entonces son iguales.

Conclusión

Las funciones analíticas ocupan un lugar central en el análisis complejo debido a sus propiedades y aplicaciones de amplio alcance. Ya sea expresadas a través de series de potencias, utilizadas en mapeos conformales, o empleadas en las ciencias teóricas y aplicadas, estas funciones proporcionan un conjunto de herramientas versátiles para resolver problemas complejos. Para obtener una comprensión más profunda, se recomienda la exploración continua y resolución de problemas que involucren estas funciones. Las funciones analíticas interrelacionan de manera elegante varias áreas de las matemáticas, lo que las convierte en un emocionante tema de estudio.


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