Posgrado
  1. Introducción al análisis real  1.1. Teoría de conjuntos y lógica en el análisis real  1.1.1. Conjuntos y operaciones en teoría de conjuntos y lógica en análisis real  1.1.2. Relaciones y funciones  1.1.3. Lógica y cuantificadores  1.1.4. Cardinalidad de conjuntos  1.2. Espacio métrico  1.2.1. Introducción a conjuntos abiertos y cerrados en espacios métricos  1.2.2. Convergencia de secuencias en un espacio métrico  1.2.3. Función continua en un espacio métrico  1.2.4. Compacidad y completitud en espacios métricos en análisis real  1.3. Secuencias y series  1.3.1. Convergencia de secuencias  1.3.2. Series infinitas  1.3.3. Convergencia uniforme  1.3.4. Serie de potencias  1.4. Discriminación  1.4.1. Teorema del valor medio  1.4.2. Serie de Taylor  1.4.3. Funciones de varias variables  1.4.4. Derivada parcial  1.5. Integración  1.5.1. Integración de Riemann y Lebesgue  1.5.2. Integrales impropias  1.5.3. Teoría de la medida: una herramienta fundamental en la integración  1.5.4. Teorema de Fubini  1.6. Análisis funcional  1.6.1. Comprendiendo los espacios de Banach  1.6.2. Espacios de Hilbert  1.6.3. Operadores en espacios  1.6.4. Teoría espectral
  2. Álgebra abstracta  2.1. Entendiendo los grupos en el álgebra abstracta  2.1.1. Definiciones y ejemplos de grupos en álgebra abstracta  2.1.2. Homomorfismos de grupos  2.1.3. Introducción a los subgrupos normales  2.1.4. Teorema de Sylow  2.2. Anillos y campos  2.2.1. Ideales y anillos cociente  2.2.2. Extensiones de campos  2.2.3. Teoría de Galois  2.2.4. Anillos de polinomios  2.3. Introducción a los módulos en álgebra abstracta  2.3.1. Homomorfismo de módulos  2.3.2. Módulos libres  2.3.3. Introducción a los productos tensoriales  2.3.4. Secuencia exacta en módulos  2.4. Álgebra lineal  2.4.1. Espacio vectorial  2.4.2. Autovalores y autovectores  2.4.3. Espacio de producto interior  2.4.4. Diagonalización
  3. Topología  3.1. Topología general  3.1.1. Conjuntos abiertos y cerrados  3.1.2. Compacidad y conexión  3.1.3. Mapas continuos  3.1.4. Axioma de separación  3.2. Topología algebraica  3.2.1. Comprensión de los grupos fundamentales en la topología algebraica  3.2.2. Homotopía y homología  3.2.3. Complejo simplicial  3.2.4. Secuencias exactas en homología  3.3. Topología diferencial  3.3.1. Comprendiendo las variedades en topología diferencial  3.3.2. Funcionamiento suave  3.3.3. Espacio tangente y cotangente  3.3.4. Fibrados vectoriales
  4. Ecuaciones diferenciales  4.1. Ecuación diferencial ordinaria  4.1.1. Ecuaciones de primer orden  4.1.2. Ecuaciones lineales de segundo orden  4.1.3. Sistemas de ecuaciones diferenciales  4.1.4. Análisis de estabilidad en ecuaciones diferenciales ordinarias  4.2. Ecuaciones en derivadas parciales  4.2.1. Clasificación de EDP  4.2.2. Entendiendo las series de Fourier en ecuaciones diferenciales parciales  4.2.3. Introducción a las funciones de Green  4.2.4. Método de caracterización  4.3. Sistemas dinámicos en ecuaciones diferenciales  4.3.1. Teoría de la sostenibilidad  4.3.2. Ciclos límite en sistemas dinámicos  4.3.3. Teoría del caos  4.3.4. Teoría de bifurcación
  5. Probabilidad y estadística  5.1. Teoría de la probabilidad  5.1.1. Variables aleatorias  5.1.2. Distribuciones de probabilidad  5.1.3. Ley de los grandes números  5.1.4. Teorema del límite central  5.2. Inferencia estadística  5.2.1. Pruebas de hipótesis  5.2.2. Intervalo de confianza  5.2.3. Métodos bayesianos  5.2.4. Estimación de máxima verosimilitud  5.3. Procesos estocásticos  5.3.1. Cadenas de Markov  5.3.2. Movimiento browniano  5.3.3. Comprendiendo los procesos de Poisson  5.3.4. Martingalas: Un estudio integral en probabilidad y estadística
  6. Análisis numérico  6.1. Soluciones numéricas de ecuaciones  6.1.1. Descubrimiento original  6.1.2. Métodos iterativos  6.1.3. Análisis de convergencia  6.1.4. Cotas de error en soluciones numéricas de ecuaciones  6.2. Álgebra lineal numérica  6.2.1. Factorización de matrices  6.2.2. Cálculo de valores propios  6.2.3. Matrices dispersas  6.2.4. Técnicas de preacondicionamiento  6.3. Integración y diferenciación numérica  6.3.1. Métodos de cuadratura  6.3.2. Introducción a las diferencias finitas  6.3.3. Análisis de errores en la integración y diferenciación numérica  6.3.4. Métodos adaptativos en integración y diferenciación numérica
  7. Análisis complejo  7.1. Números complejos  7.1.1. Forma polar  7.1.2. Conjugados complejos  7.1.3. Forma exponencial de los números complejos  7.1.4. Raíces de la unidad  7.2. Funciones analíticas  7.2.1. Ecuaciones de Cauchy–Riemann  7.2.2. Series de potencias  7.2.3. Mapeo conforme  7.2.4. Funciones armónicas  7.3. Integración en el plano complejo  7.3.1. Teorema de Cauchy  7.3.2. Teorema del residuo  7.3.3. Integración de contornos  7.3.4. Transformaciones integrales
  8. Lógica matemática y fundamentos  8.1. Lógica proposicional  8.1.1. Tablas de verdad  8.1.2. Equivalencia lógica en la lógica proposicional  8.1.3. Técnicas de demostración en lógica proposicional  8.1.4. Solución en lógica proposicional  8.2. Lógica de predicados  8.2.1. Cuantificadores en lógica de predicados  8.2.2. Sistemas formales en lógica de predicados  8.2.3. Integridad y solidez  8.2.4. Teoría de modelos  8.3. Teoría de conjuntos  8.3.1. Cardinalidad y ordinalidad  8.3.2. Sistemas axiomáticos  8.3.3. Comprender la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel  8.3.4. Fuerzas en la teoría de conjuntos
  9. Personalización  9.1. Programación lineal  9.1.1. Método simplex  9.1.2. Dualidad en la programación lineal  9.1.3. Análisis de sensibilidad en programación lineal  9.1.4. Métodos de punto interior  9.2. Programación no lineal  9.2.1. Descenso de gradiente  9.2.2. Multiplicadores de Lagrange  9.2.3. Optimización convexa  9.2.4. Programación cuadrática  9.3. Optimización Combinatoria  9.3.1. Algoritmos de grafos  9.3.2. Programación entera  9.3.3. Flujo de red  9.3.4. Algoritmos de aproximación
  10. Matemáticas discretas  10.1. Teoría de grafos  10.1.1. Representación de grafos  10.1.2. Llanura y color  10.1.3. Algoritmo de camino más corto  10.1.4. Flujo de red  10.2. Compañerismo  10.2.1. Permutación y combinación  10.2.2. Función generadora  10.2.3. Relación de recurrencia  10.2.4. Comprendiendo el Principio de Inclusión-Exclusión  10.3. Criptografía  10.3.1. Aplicaciones de la teoría de números en criptografía  10.3.2. Criptografía Simétrica y Asimétrica  10.3.3. RSA y criptografía de curvas elípticas  10.3.4. Criptografía post-cuántica

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Funciones armónicas


Introducción

En el fascinante mundo del análisis complejo, las funciones armónicas juegan un papel vital. Están profundamente conectadas no solo a funciones diferenciales complejas sino también a diversos campos como la física, la ingeniería y las matemáticas. Para comenzar, entendamos qué son las funciones armónicas y luego profundicemos en sus propiedades, su relación con las funciones analíticas y sus aplicaciones.

Definición de función armónica

Una función u(x, y) se llama función armónica en un subconjunto abierto de ℝ² si tiene una segunda derivada parcial continua y satisface la ecuación de Laplace:

∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² = 0

Esto significa que la suma de las segundas derivadas parciales de u con respecto a las variables es cero. Las funciones armónicas aparecen en una variedad de campos, como la ingeniería, donde a menudo se utilizan para describir potenciales eléctricos y el flujo de fluidos.

Relación con funciones analíticas

Las funciones armónicas están muy relacionadas con las funciones analíticas. Si f(z) = u(x, y) + iv(x, y) es una función analítica (donde z = x + iy), entonces tanto u como v son armónicas. Esta relación se establece a través de las ecuaciones de Cauchy-Riemann:

∂u/∂x = ∂v/∂y 
 ∂u/∂y = -∂v/∂x

Ejemplos de funciones armónicas

Veamos algunos ejemplos de funciones armónicas:

1) Función polinómica

Considere la función u(x, y) = x² - y². Calculamos:

∂²u/∂x² = 2 
 ∂²u/∂y² = -2 
 (2) + (-2) = 0

Por lo tanto, u(x, y) = x² - y² es armónica.

2) Función exponencial

Verifique que u(x, y) = ex sin(y):

∂²u/∂x² = ex sin(y) 
 ∂²u/∂y² = -ex sin(y)

Estos también suman cero, por lo que la función es armónica.

Ejemplo visual usando una función simple: u(x, y) = x² - y²

El gráfico anterior muestra la naturaleza de la u(x, y) = x² - y² función. La curva de nivel cero forma una hipérbola en el plano cartesiano, que exhibe el comportamiento típico de una función armónica.

Propiedades de las funciones armónicas

Propiedad promedio

Las funciones armónicas tienen una notable propiedad del valor medio. Afirma que el valor de una función armónica en un punto es el promedio de sus valores en cualquier círculo centrado en ese punto.

Principio del máximo

El principio del máximo establece que si la función u(x, y) es armónica en un dominio, no puede tener un máximo local a menos que sea estacionaria. Del mismo modo, no puede tener un mínimo local a menos que sea estacionaria.

Teorema de unicidad

El Teorema de Unicidad nos dice que si dos funciones armónicas son iguales en el borde de un dominio, entonces son iguales en todo el dominio.

Aplicaciones de las funciones armónicas

Electrostática

En electrostática, las funciones armónicas describen el campo potencial generado por cargas eléctricas. Las funciones de potencial eléctrico satisfacen naturalmente la ecuación de Laplace dondequiera que la densidad de carga sea cero.

Flujo de fluidos

En dinámica de fluidos, el potencial de velocidad de un flujo de fluido incompresible e irrotacional es armónico. Esta optimización puede utilizarse en varias optimizaciones de flujo de fluidos.

Distribución de calor

En el estudio de la distribución de calor, la función de distribución de temperatura es armónica en condiciones de estado estacionario, lo que significa que no hay fuentes o sumideros de calor internos.

Conclusión

Las funciones armónicas son un aspecto importante del análisis complejo y tienen profundas implicaciones en una variedad de campos científicos. Comprender las funciones armónicas proporciona a los académicos y profesionales en matemáticas, física e ingeniería herramientas matemáticas fundamentales para resolver problemas del mundo real.


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