Posgrado
  1. Introducción al análisis real  1.1. Teoría de conjuntos y lógica en el análisis real  1.1.1. Conjuntos y operaciones en teoría de conjuntos y lógica en análisis real  1.1.2. Relaciones y funciones  1.1.3. Lógica y cuantificadores  1.1.4. Cardinalidad de conjuntos  1.2. Espacio métrico  1.2.1. Introducción a conjuntos abiertos y cerrados en espacios métricos  1.2.2. Convergencia de secuencias en un espacio métrico  1.2.3. Función continua en un espacio métrico  1.2.4. Compacidad y completitud en espacios métricos en análisis real  1.3. Secuencias y series  1.3.1. Convergencia de secuencias  1.3.2. Series infinitas  1.3.3. Convergencia uniforme  1.3.4. Serie de potencias  1.4. Discriminación  1.4.1. Teorema del valor medio  1.4.2. Serie de Taylor  1.4.3. Funciones de varias variables  1.4.4. Derivada parcial  1.5. Integración  1.5.1. Integración de Riemann y Lebesgue  1.5.2. Integrales impropias  1.5.3. Teoría de la medida: una herramienta fundamental en la integración  1.5.4. Teorema de Fubini  1.6. Análisis funcional  1.6.1. Comprendiendo los espacios de Banach  1.6.2. Espacios de Hilbert  1.6.3. Operadores en espacios  1.6.4. Teoría espectral
  2. Álgebra abstracta  2.1. Entendiendo los grupos en el álgebra abstracta  2.1.1. Definiciones y ejemplos de grupos en álgebra abstracta  2.1.2. Homomorfismos de grupos  2.1.3. Introducción a los subgrupos normales  2.1.4. Teorema de Sylow  2.2. Anillos y campos  2.2.1. Ideales y anillos cociente  2.2.2. Extensiones de campos  2.2.3. Teoría de Galois  2.2.4. Anillos de polinomios  2.3. Introducción a los módulos en álgebra abstracta  2.3.1. Homomorfismo de módulos  2.3.2. Módulos libres  2.3.3. Introducción a los productos tensoriales  2.3.4. Secuencia exacta en módulos  2.4. Álgebra lineal  2.4.1. Espacio vectorial  2.4.2. Autovalores y autovectores  2.4.3. Espacio de producto interior  2.4.4. Diagonalización
  3. Topología  3.1. Topología general  3.1.1. Conjuntos abiertos y cerrados  3.1.2. Compacidad y conexión  3.1.3. Mapas continuos  3.1.4. Axioma de separación  3.2. Topología algebraica  3.2.1. Comprensión de los grupos fundamentales en la topología algebraica  3.2.2. Homotopía y homología  3.2.3. Complejo simplicial  3.2.4. Secuencias exactas en homología  3.3. Topología diferencial  3.3.1. Comprendiendo las variedades en topología diferencial  3.3.2. Funcionamiento suave  3.3.3. Espacio tangente y cotangente  3.3.4. Fibrados vectoriales
  4. Ecuaciones diferenciales  4.1. Ecuación diferencial ordinaria  4.1.1. Ecuaciones de primer orden  4.1.2. Ecuaciones lineales de segundo orden  4.1.3. Sistemas de ecuaciones diferenciales  4.1.4. Análisis de estabilidad en ecuaciones diferenciales ordinarias  4.2. Ecuaciones en derivadas parciales  4.2.1. Clasificación de EDP  4.2.2. Entendiendo las series de Fourier en ecuaciones diferenciales parciales  4.2.3. Introducción a las funciones de Green  4.2.4. Método de caracterización  4.3. Sistemas dinámicos en ecuaciones diferenciales  4.3.1. Teoría de la sostenibilidad  4.3.2. Ciclos límite en sistemas dinámicos  4.3.3. Teoría del caos  4.3.4. Teoría de bifurcación
  5. Probabilidad y estadística  5.1. Teoría de la probabilidad  5.1.1. Variables aleatorias  5.1.2. Distribuciones de probabilidad  5.1.3. Ley de los grandes números  5.1.4. Teorema del límite central  5.2. Inferencia estadística  5.2.1. Pruebas de hipótesis  5.2.2. Intervalo de confianza  5.2.3. Métodos bayesianos  5.2.4. Estimación de máxima verosimilitud  5.3. Procesos estocásticos  5.3.1. Cadenas de Markov  5.3.2. Movimiento browniano  5.3.3. Comprendiendo los procesos de Poisson  5.3.4. Martingalas: Un estudio integral en probabilidad y estadística
  6. Análisis numérico  6.1. Soluciones numéricas de ecuaciones  6.1.1. Descubrimiento original  6.1.2. Métodos iterativos  6.1.3. Análisis de convergencia  6.1.4. Cotas de error en soluciones numéricas de ecuaciones  6.2. Álgebra lineal numérica  6.2.1. Factorización de matrices  6.2.2. Cálculo de valores propios  6.2.3. Matrices dispersas  6.2.4. Técnicas de preacondicionamiento  6.3. Integración y diferenciación numérica  6.3.1. Métodos de cuadratura  6.3.2. Introducción a las diferencias finitas  6.3.3. Análisis de errores en la integración y diferenciación numérica  6.3.4. Métodos adaptativos en integración y diferenciación numérica
  7. Análisis complejo  7.1. Números complejos  7.1.1. Forma polar  7.1.2. Conjugados complejos  7.1.3. Forma exponencial de los números complejos  7.1.4. Raíces de la unidad  7.2. Funciones analíticas  7.2.1. Ecuaciones de Cauchy–Riemann  7.2.2. Series de potencias  7.2.3. Mapeo conforme  7.2.4. Funciones armónicas  7.3. Integración en el plano complejo  7.3.1. Teorema de Cauchy  7.3.2. Teorema del residuo  7.3.3. Integración de contornos  7.3.4. Transformaciones integrales
  8. Lógica matemática y fundamentos  8.1. Lógica proposicional  8.1.1. Tablas de verdad  8.1.2. Equivalencia lógica en la lógica proposicional  8.1.3. Técnicas de demostración en lógica proposicional  8.1.4. Solución en lógica proposicional  8.2. Lógica de predicados  8.2.1. Cuantificadores en lógica de predicados  8.2.2. Sistemas formales en lógica de predicados  8.2.3. Integridad y solidez  8.2.4. Teoría de modelos  8.3. Teoría de conjuntos  8.3.1. Cardinalidad y ordinalidad  8.3.2. Sistemas axiomáticos  8.3.3. Comprender la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel  8.3.4. Fuerzas en la teoría de conjuntos
  9. Personalización  9.1. Programación lineal  9.1.1. Método simplex  9.1.2. Dualidad en la programación lineal  9.1.3. Análisis de sensibilidad en programación lineal  9.1.4. Métodos de punto interior  9.2. Programación no lineal  9.2.1. Descenso de gradiente  9.2.2. Multiplicadores de Lagrange  9.2.3. Optimización convexa  9.2.4. Programación cuadrática  9.3. Optimización Combinatoria  9.3.1. Algoritmos de grafos  9.3.2. Programación entera  9.3.3. Flujo de red  9.3.4. Algoritmos de aproximación
  10. Matemáticas discretas  10.1. Teoría de grafos  10.1.1. Representación de grafos  10.1.2. Llanura y color  10.1.3. Algoritmo de camino más corto  10.1.4. Flujo de red  10.2. Compañerismo  10.2.1. Permutación y combinación  10.2.2. Función generadora  10.2.3. Relación de recurrencia  10.2.4. Comprendiendo el Principio de Inclusión-Exclusión  10.3. Criptografía  10.3.1. Aplicaciones de la teoría de números en criptografía  10.3.2. Criptografía Simétrica y Asimétrica  10.3.3. RSA y criptografía de curvas elípticas  10.3.4. Criptografía post-cuántica

Posgrado → Análisis complejo → Funciones analíticas ↓


Series de potencias


En el análisis complejo, las series de potencias juegan un papel importante en la comprensión de la naturaleza y el comportamiento de las funciones analíticas. Estas series proporcionan un marco para describir funciones que son holomorfas, lo que significa que tienen derivadas de todos los órdenes y pueden expresarse como series de potencias en el vecindario de cada punto dentro de su dominio.

¿Qué es una serie de potencias?

Una serie de potencias es una serie infinita que tiene la forma:

f(z) = a_0 + a_1(z - c) + a_2(z - c)^2 + a_3(z - c)^3 + ldots = sum_{n=0}^{infty} a_n(z - c)^n

Donde:

  • a_n son los coeficientes, que pueden ser números reales o complejos.
  • c es el centro de la cadena, un punto distinguido en el plano complejo.
  • z es la variable de la función.
  • n denota el orden del término.

Radio de convergencia

La serie solo convergerá, lo que significa que se acercará a un valor finito dentro de cierta distancia desde el centro c. Esta distancia se conoce como el radio de convergencia. Para encontrar el radio de convergencia, R, para una serie de potencias, un método común es la prueba de razón:

R = frac{1}{limsup_{n to infty} |a_{n+1} / a_n|}

La serie converge cuando |z - c| < R y diverge cuando |z - c| > R.

Un ejemplo simple

Considere la siguiente serie de potencias:

f(z) = 1 + z + z^2 + z^3 + ldots = sum_{n=0}^{infty} z^n

Esta es una serie geométrica con razón común z. Para una serie geométrica, sabemos que converge cuando |z| < 1 Por lo tanto, el radio de convergencia, R, es 1.

La idea de convergencia

Considere el círculo de convergencia en el plano complejo. La función convergerá dentro de este círculo:

Zona de convergencia C

En este diagrama, la serie de potencias converge dentro de la región sombreada (la región de convergencia), que está centrada en el punto c en el plano complejo y tiene radio R

Comportamiento en el borde

El comportamiento de una serie de potencias en el límite de un ciclo de convergencia puede ser complicado y variar de un caso a otro. Algunas series pueden converger a un punto en el límite, a cualquier punto, o a todos los puntos.

Por ejemplo, la serie:

sum_{n=1}^{infty} frac{z^n}{n}

converge en el círculo unitario excepto en z = 1.

Series de potencias para funciones generales

Muchas funciones elementales tienen representaciones de series de potencias. Por ejemplo, la función exponencial puede expresarse como una serie de potencias:

e^z = sum_{n=0}^{infty} frac{z^n}{n!}

Para la función coseno, tenemos:

cos(z) = sum_{n=0}^{infty} frac{(-1)^nz^{2n}}{(2n)!}

Estas expansiones, que son válidas en todo el plano complejo, muestran cómo las series de potencias se utilizan ampliamente en la derivación de otras propiedades de las funciones y en la resolución de ecuaciones diferenciales.

Funciones analíticas

Una función es analítica u holomorfa en un punto si tiene una derivada en ese punto y en algún entorno alrededor de él. Una función entera es una función que es analítica en todo el plano complejo. Ejemplos de funciones enteras incluyen las funciones exponencial, seno y coseno.

Las series de potencias son los bloques de construcción de estas funciones, ya que proporcionan una forma sencilla de manejar derivadas y realizar aritmética compleja manipulando sus coeficientes.

Operaciones con series de potencias

Las series de potencias se pueden manejar de varias maneras, como adición, sustracción, diferenciación e integración, lo que ofrece una visión del carácter de las funciones analíticas.

Discriminación

Diferenciar una serie de potencias es simple. Si tienes:

f(z) = sum_{n=0}^{infty} a_n (z - c)^n

Por lo tanto, la derivada es:

f'(z) = sum_{n=1}^{infty} n a_n (z - c)^{n-1}

Esto muestra que las series de potencias conservan su forma incluso después de la diferenciación.

Integración

Integrar series de potencias también es manejable de manera similar. Si:

f(z) = sum_{n=0}^{infty} a_n (z - c)^n

La integral indefinida es:

int f(z) dz = C + sum_{n=0}^{infty} frac{a_n}{n+1} (z - c)^{n+1}

Aquí, C es la constante de integración.

Ejemplos y aplicaciones

Veamos más ejemplos y cómo las series de potencias pueden aplicarse en el análisis complejo y otras áreas.

Ejemplo 1: Encontrar la serie de una función

Encuentra la serie de potencias para la función g(z) = (1 + z)^2 alrededor de c = 0.

Usando el teorema del binomio, que establece:

(1 + z)^n = sum_{k=0}^{n} binom{n}{k}z^k

Para g(z), esto se convierte en:

(1 + z)^2 = binom{2}{0} z^0 + binom{2}{1} z^1 + binom{2}{2} z^2 = 1 + 2z + z^2

Ejemplo 2: Aplicaciones en ecuaciones diferenciales

La solución de series de potencias se utiliza en la resolución de ecuaciones diferenciales. Considere la sencilla ecuación diferencial:

f''(z) - f(z) = 0

f(z) puede considerarse como una expansión de serie de potencias, y las soluciones obtenidas al manipular los coeficientes satisfacen condiciones de frontera física en problemas aplicados.

Conclusión

Las series de potencias forman la columna vertebral de la teoría de funciones analíticas en el análisis complejo. Permiten formas precisas y flexibles de realizar cálculos y comprender sistemas complejos. A través de la diferenciación, la integración u otras operaciones, podemos obtener ricos conocimientos sobre el comportamiento de una función.

A lo largo de la vasta extensión de las matemáticas, las series de potencias sirven como un hilo conector, desde su papel fundamental en el cálculo hasta sus aplicaciones esenciales en ecuaciones diferenciales y análisis matemático.


Posgrado → 7.2.2


U
username
0%
completado en Posgrado

← Anterior (7.2.1)
Ecuaciones de Cauchy–Riemann
Siguiente (7.2.3) →
Mapeo conforme

Comentarios 



Series de potencias

https://www.buddymath.com/g/7.2.2?bmal=es