Уравнения Коши — Римана

Уравнения Коши — Римана являются фундаментальными в комплексном анализе и играют центральную роль в понимании поведения аналитических функций. Эти уравнения обеспечивают необходимые условия для комплексной дифференцируемости функции, а следовательно, для ее аналитичности.

Введение в комплексные числа

Чтобы понять уравнения Коши-Римана, сначала необходимо ознакомиться с комплексными числами. Комплексное число z выражается как:

z = x + yi

где x и y — действительные числа, а i — воображаемая единица, обладающая свойством:

i 2 = -1

Действительная часть комплексного числа — это x (представляется как Re(z) = x), а мнимая часть — это y (представляется как Im(z) = y).

Функции комплексного переменного

Функция f комплексного переменного z записывается как:

f(z) = u(x, y) + v(x, y)i

где u и v — действительные функции от двух действительных переменных.

Комплексная дифференцируемость

Для того чтобы функция f была дифференцируемой в точке z_0 на комплексной плоскости, предел:

lim_{{h to 0}} frac{f(z_0 + h) - f(z_0)}{h}

должен существовать, где h — комплексное число, близкое к нулю.

Уравнения Коши — Римана

Уравнения Коши-Римана — это условия, которые должны удовлетворяться частные производные действительной и мнимой части f(z) = u(x, y) + v(x, y)i, чтобы функция f была дифференцируемой в точке. Эти уравнения следующие:

frac{partial u}{partial x} = frac{partial v}{partial y} frac{partial u}{partial y} = -frac{partial v}{partial x}

Если эти уравнения справедливы и частные производные непрерывны, то f(z) является аналитической.

Вывод уравнений Коши — Римана

Давайте выведем уравнения Коши-Римана, рассматривая комплексную функцию f(z) = u(x, y) + v(x, y)i.

Разница f может быть получена двумя различными путями: вдоль оси x и вдоль оси y.

Когда прирост идет вдоль оси x, мы имеем:

f(z + Delta x) - f(z) = u(x + Delta x, y) - u(x, y) + i(v(x + Delta x, y) - v(x, y)) approx frac{partial u}{partial x}Delta x + ifrac{partial v}{partial x}Delta x

так что,

frac{f(z + Delta x) - f(z)}{Delta x} approx frac{partial u}{partial x} + ifrac{partial v}{partial x}

Когда прирост идет вдоль оси y, подход аналогичен:

f(z + iDelta y) - f(z) = u(x, y + Delta y) - u(x, y) + i(v(x, y + Delta y) - v(x, y)) approx frac{partial u}{partial y}Delta y + ifrac{partial v}{partial y}Delta y

Что дает нам:

frac{f(z + iDelta y) - f(z)}{iDelta y} approx ileft(frac{partial u}{partial y} + ifrac{partial v}{partial y}right)

так что:

frac{f(z + iDelta y) - f(z)}{Delta y} approx -frac{partial v}{partial y} + ifrac{partial u}{partial y}

Поскольку производная f(z) должна быть независимой от пути, уравнение двух выражений приводит нас к уравнениям Коши-Римана.

Просмотр комплексных изменений

Рассмотрим комплексную функцию и вообразим маленький круг в области определения. Если f(z) дифференцируется, то изображение этого круга через f будет малым эллипсом. Ориентация этого эллипса определяется условиями Коши-Римана.

Примеры аналитических функций

Пример 1: Полином

Рассмотрим полиномиальную функцию:

f(z) = z^n = (x + yi)^n

Используя биномиальную теорию, мы можем разложить это и увидеть, что уравнения Коши — Римана применимы.

Пример 2: Показательная функция

Рассмотрим показательную функцию f(z) = e^z, где e^z = e^x cdot e^{yi}.

Применяя формулу Эйлера, e^{yi} = cos(y) + isin(y), мы получаем:

f(z) = e^x(cos(y) + isin(y))

Здесь действительная часть u(x, y) = e^x cos(y) и мнимая часть v(x, y) = e^x sin(y). Вычисляя частные производные и применяя уравнения Коши — Римана, мы подтверждаем, что функция является аналитической везде.

Значение уравнений Коши — Римана

Уравнения Коши-Римана являются воротами в богатую теорию аналитических функций на комплексной плоскости. Решения этих уравнений раскрывают удивительные понимания свойств голоморфных функций, таких как сохранение углов (конформное отображение) и существование представлений рядом Тейлора.

Применение

Некоторые заметные применения уравнений Коши — Римана включают их использование в физике и инженерии, особенно в задачах, связанных с динамикой жидкости и электростатикой, где потенциальные функции часто являются аналитическими.

Заключение

В заключение, уравнения Коши-Римана важны в комплексном анализе, предоставляя необходимые и достаточные условия для аналитических функций. Их понимание предоставляет фундаментальные инсайты в широкий спектр приложений в математике и науке.

комментарии