Equações de Cauchy–Riemann

As equações de Cauchy–Riemann são fundamentais na análise complexa e são centrais para entender o comportamento das funções analíticas. Essas equações fornecem as condições necessárias para que uma função seja diferenciável complexamente e, por extensão, seja analítica.

Introdução aos números complexos

Para entender as equações de Cauchy-Riemann, primeiro precisamos nos familiarizar com os números complexos. Um número complexo z é expresso como:

z = x + yi

onde x e y são números reais, e i é uma unidade imaginária com a propriedade:

i 2 = -1

A parte real do número complexo é x (representada por Re(z) = x) e a parte imaginária é y (representada por Im(z) = y).

Funções de uma variável complexa

Uma função f de uma variável complexa z é escrita como:

f(z) = u(x, y) + v(x, y)i

onde u e v são funções em valores reais de duas variáveis reais.

Diferenciabilidade complexa

Para que uma função f seja diferenciável no ponto z_0 no plano complexo, o limite:

lim_{{h to 0}} frac{f(z_0 + h) - f(z_0)}{h}

deve existir, onde h é um número complexo próximo de zero.

Equações de Cauchy–Riemann

As equações de Cauchy-Riemann são as condições que as derivadas parciais das partes real e imaginária de f(z) = u(x, y) + v(x, y)i devem satisfazer para que a função f seja diferenciável em um ponto. Essas equações são:

frac{partial u}{partial x} = frac{partial v}{partial y} frac{partial u}{partial y} = -frac{partial v}{partial x}

Se essas equações forem válidas e as derivadas parciais forem contínuas, então f(z) é analítica.

Derivação das equações de Cauchy–Riemann

Vamos derivar as equações de Cauchy-Riemann considerando uma função complexa f(z) = u(x, y) + v(x, y)i.

A diferença de f pode ser obtida a partir de dois caminhos diferentes: um ao longo do eixo x e o outro ao longo do eixo y.

Quando o crescimento é ao longo do eixo x, temos:

f(z + Delta x) - f(z) = u(x + Delta x, y) - u(x, y) + i(v(x + Delta x, y) - v(x, y)) approx frac{partial u}{partial x}Delta x + ifrac{partial v}{partial x}Delta x

assim,

frac{f(z + Delta x) - f(z)}{Delta x} approx frac{partial u}{partial x} + ifrac{partial v}{partial x}

Quando o crescimento é ao longo do eixo y, a abordagem é semelhante:

f(z + iDelta y) - f(z) = u(x, y + Delta y) - u(x, y) + i(v(x, y + Delta y) - v(x, y)) approx frac{partial u}{partial y}Delta y + ifrac{partial v}{partial y}Delta y

O que nos dá:

frac{f(z + iDelta y) - f(z)}{iDelta y} approx ileft(frac{partial u}{partial y} + ifrac{partial v}{partial y}right)

assim:

frac{f(z + iDelta y) - f(z)}{Delta y} approx -frac{partial v}{partial y} + ifrac{partial u}{partial y}

Como a derivada de f(z) deve ser independente do caminho, igualando as duas expressões obtemos as equações de Cauchy-Riemann.

Visualizando a variação complexa

Considere uma função complexa, e imagine um pequeno círculo no domínio. Se f(z) é diferenciável, então a imagem deste círculo através de f será uma pequena elipse. A orientação desta elipse é determinada pelas condições de Cauchy-Riemann.

Exemplos de funções analíticas

Exemplo 1: Polinômio

Considere uma função polinomial:

f(z) = z^n = (x + yi)^n

Usando o teorema binomial, podemos expandir isto e ver que as equações de Cauchy–Riemann se aplicam.

Exemplo 2: Função exponencial

Considere a função exponencial f(z) = e^z, onde e^z = e^x cdot e^{yi}.

Aplicando a fórmula de Euler, e^{yi} = cos(y) + isin(y), obtemos:

f(z) = e^x(cos(y) + isin(y))

Aqui, a parte real u(x, y) = e^x cos(y) e a parte imaginária v(x, y) = e^x sin(y). Calculando as derivadas parciais e aplicando as equações de Cauchy-Riemann, confirmamos que a função é analítica em todos os lugares.

Importância das equações de Cauchy–Riemann

As equações de Cauchy-Riemann são a porta de entrada para a rica teoria das funções analíticas no plano complexo. As soluções dessas equações revelam insights incríveis sobre as propriedades das funções holomórficas, como preservação de ângulos (mapeamento conforme) e a existência de representações por séries de Taylor.

Aplicação

Algumas aplicações notáveis das equações de Cauchy–Riemann incluem seu uso em física e engenharia, particularmente em problemas que envolvem dinâmica de fluidos e eletrostática, onde funções potenciais são frequentemente analíticas.

Conclusão

Em resumo, as equações de Cauchy-Riemann são importantes na análise complexa, fornecendo condições necessárias e suficientes para funções analíticas. Entendê-las fornece um insight fundamental em uma ampla gama de aplicações em matemática e ciência.

Comentários