Pós-graduação
  1. Introdução à análise real  1.1. Teoria dos conjuntos e lógica em análise real  1.1.1. Conjuntos e operações na teoria dos conjuntos e lógica em análise real  1.1.2. Relações e funções  1.1.3. Lógica e quantificadores  1.1.4. Cardinalidade dos conjuntos  1.2. Espaço métrico  1.2.1. Introdução aos conjuntos abertos e fechados em espaços métricos  1.2.2. Convergência de sequências em um espaço métrico  1.2.3. Função contínua em um espaço métrico  1.2.4. Compacidade e completude em espaços métricos na análise real  1.3. Sequências e séries  1.3.1. Convergência de sequências  1.3.2. Séries infinitas  1.3.3. Convergência uniforme  1.3.4. Séries de potências  1.4. Discriminação  1.4.1. Teorema do valor médio  1.4.2. Série de Taylor  1.4.3. Funções de várias variáveis  1.4.4. Derivada parcial  1.5. Integração  1.5.1. Integração de Riemann e Lebesgue  1.5.2. Integrais impróprias  1.5.3. Teoria da Medida: uma ferramenta fundamental na integração  1.5.4. Teorema de Fubini  1.6. Análise funcional  1.6.1. Compreendendo espaços de Banach  1.6.2. Espaços de Hilbert  1.6.3. Operadores em espaços  1.6.4. Teoria Espectral
  2. Álgebra Abstrata  2.1. Compreendendo grupos na álgebra abstrata  2.1.1. Definições e exemplos de grupos na álgebra abstrata  2.1.2. Homomorfismos de grupos  2.1.3. Introdução aos subgrupos normais  2.1.4. Teorema de Sylow  2.2. Anéis e campos  2.2.1. Ideais e anéis quocientes  2.2.2. Extensões de campos  2.2.3. Teoria de Galois  2.2.4. Anéis de polinômios  2.3. Introdução aos módulos em álgebra abstrata  2.3.1. Homomorfismo de Módulos  2.3.2. Módulos livres  2.3.3. Introdução aos produtos tensoriais  2.3.4. Sequência exata em módulos  2.4. Álgebra linear  2.4.1. Espaço vetorial  2.4.2. Autovalores e autovetores  2.4.3. Espaço de produto interno  2.4.4. Diagonalização
  3. Topologia  3.1. Topologia Geral  3.1.1. Conjuntos abertos e fechados  3.1.2. Compacidade e conexidade  3.1.3. Mapas contínuos  3.1.4. Axioma de separação  3.2. Topologia algébrica  3.2.1. Compreendendo grupos fundamentais em topologia algébrica  3.2.2. Homotopia e homologia  3.2.3. Complexo simplicial  3.2.4. Sequências exatas em homologia  3.3. Topologia Diferencial  3.3.1. Compreendendo variedades na topologia diferencial  3.3.2. Funções Suaves  3.3.3. Espaço tangente e cotangente  3.3.4. Feixes vetoriais
  4. Equações diferenciais  4.1. Equação diferencial ordinária  4.1.1. Equações de primeira ordem  4.1.2. Equações lineares de segunda ordem  4.1.3. Sistemas de equações diferenciais  4.1.4. Análise de estabilidade em equações diferenciais ordinárias  4.2. Equações diferenciais parciais  4.2.1. Classificação de PDE  4.2.2. Compreendendo séries de Fourier em equações diferenciais parciais  4.2.3. Introdução às funções de Green  4.2.4. Método de caracterização  4.3. Sistemas dinâmicos em equações diferenciais  4.3.1. Teoria da Sustentabilidade  4.3.2. Ciclos limite em sistemas dinâmicos  4.3.3. Teoria do caos  4.3.4. Teoria da bifurcação
  5. Probabilidade e estatística  5.1. Teoria da probabilidade  5.1.1. Variáveis aleatórias  5.1.2. Distribuições de probabilidade  5.1.3. Lei dos grandes números  5.1.4. Teorema Central do Limite  5.2. Inferência estatística  5.2.1. Teste de hipótese  5.2.2. Intervalo de confiança  5.2.3. Métodos bayesianos  5.2.4. Estimativa de máxima verossimilhança  5.3. Processos estocásticos  5.3.1. Cadeias de Markov  5.3.2. Movimento Browniano  5.3.3. Compreendendo os processos de Poisson  5.3.4. Martingales: Um estudo abrangente em probabilidade e estatística
  6. Análise numérica  6.1. Soluções numéricas de equações  6.1.1. Descoberta original  6.1.2. Métodos iterativos  6.1.3. Análise de convergência  6.1.4. Limites de erro em soluções numéricas de equações  6.2. Álgebra linear numérica  6.2.1. Fatoração de matrizes  6.2.2. Cálculo de autovalores  6.2.3. Matrizes esparsas  6.2.4. Técnicas de pré-condicionamento  6.3. Integração e diferenciação numéricas  6.3.1. Métodos de quadratura  6.3.2. Introdução às diferenças finitas  6.3.3. Análise de erro na integração e diferenciação numérica  6.3.4. Métodos adaptativos em integração e diferenciação numérica
  7. Análise complexa  7.1. Números complexos  7.1.1. Forma polar  7.1.2. Conjugados Complexos  7.1.3. Forma exponencial de números complexos  7.1.4. Raízes da unidade  7.2. Funções analíticas  7.2.1. Equações de Cauchy–Riemann  7.2.2. Séries de potências  7.2.3. Mapeamento conforme  7.2.4. Funções harmônicas  7.3. Integração no plano complexo  7.3.1. Teorema de Cauchy  7.3.2. Teorema do resíduo  7.3.3. Integração de contorno  7.3.4. Transformadas integrais
  8. Lógica Matemática e Fundamentos  8.1. Lógica proposicional  8.1.1. Tabelas de verdade  8.1.2. Equivalência lógica na lógica proposicional  8.1.3. Técnicas de prova em lógica proposicional  8.1.4. Solução na lógica proposicional  8.2. Lógica de predicados  8.2.1. Quantificadores na lógica de predicados  8.2.2. Sistemas formais na lógica de predicados  8.2.3. Completude e correção  8.2.4. Teoria dos modelos  8.3. Teoria dos conjuntos  8.3.1. Cardinalidade e ordinalidade  8.3.2. Sistemas axiomáticos  8.3.3. Compreendendo a teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel  8.3.4. Forças na teoria dos conjuntos
  9. Personalização  9.1. Programação linear  9.1.1. Método simplex  9.1.2. Dualidade na programação linear  9.1.3. Análise de sensibilidade em programação linear  9.1.4. Métodos de ponto interior  9.2. Programação não linear  9.2.1. Descida do Gradiente  9.2.2. Múltiplos de Lagrange  9.2.3. Otimização convexa  9.2.4. Programação quadrática  9.3. Otimização Combinatória  9.3.1. Algoritmos de grafos  9.3.2. Programação inteira  9.3.3. Fluxo de Rede  9.3.4. Algoritmos de aproximação
  10. Matemática discreta  10.1. Teoria dos grafos  10.1.1. Representação de grafos  10.1.2. Planicidade e cor  10.1.3. Algoritmo de caminho mais curto  10.1.4. Fluxo de rede  10.2. Companheirismo  10.2.1. Percmutações e combinações  10.2.2. Função geradora  10.2.3. Relação de recorrência  10.2.4. Compreendendo o Princípio da Inclusão-Exclusão  10.3. Criptografia  10.3.1. Aplicações da teoria dos números na criptografia  10.3.2. Criptografia Simétrica e Assimétrica  10.3.3. RSA e criptografia de curva elíptica  10.3.4. Criptografia pós-quântica

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Números complexos


Os números complexos são uma extensão da ideia de eixo e dimensão para o campo dos números reais. Em termos simples, eles ampliam o que pode ser expresso por números além da tradicional linha de números reais. Os números complexos são fundamentais não apenas na matemática, mas em uma ampla variedade de campos, incluindo engenharia, física e ciência da computação.

Introdução aos números complexos

Na linha de números reais, cada número pode ser visto como um ponto. Números complexos introduzem uma dimensão adicional, conhecida como plano complexo. Formalmente, um número complexo é expresso como:

z = a + bi

Aqui, a e b são números reais, e i é a unidade imaginária, que satisfaz a seguinte equação:

i² = -1

Plano complexo

O plano complexo é um espaço bidimensional onde cada ponto representa um número complexo. O eixo horizontal (eixo real) corresponde à parte real do número complexo, Re(z) = a. O eixo vertical (eixo imaginário) corresponde à parte imaginária, Im(z) = b.

Im ↑ | b | ● (a, b) = a + bi | +----→ Re a

Tipos de formas: retangular e polar

Forma retangular

A forma z = a + bi é conhecida como a forma retangular. É direta e muitas vezes usada em cálculos básicos.

Forma polar

A forma polar representa números complexos usando a magnitude r (também chamada de módulo) e o ângulo θ (o argumento ou fase). A relação é dada como:

z = r(cosθ + i·sinθ)

A magnitude r é calculada como:

r = √(a² + b²)

O ângulo θ, que é o ângulo com o eixo real, é calculado como:

θ = atan2(b, a)

Conversão entre formas

Para alternar entre as formas retangular e polar, use:

  • a = r cosθ
  • b = r sinθ

Visualização de operações em números complexos

Adição

Adicionar números complexos envolve adicionar suas partes correspondentes. Se z₁ = a + bi e z₂ = c + di, então a soma é:

z₁ + z₂ = (a + c) + (b + d)i

Visualmente, isso pode ser representado como uma soma vetorial no plano complexo.

Im ↑ | b | ● (a, b) | | ↗ b+d + / | / | / d | / +---● (c, d) +---→ Re

Multiplicação

Quando dois números complexos são multiplicados, seus módulos são combinados e seus ângulos são somados:

z₁z₂ = r₁r₂ [cos(θ₁ + θ₂) + i·sin(θ₁ + θ₂)]

Novamente, se z₁ = a + bi e z₂ = c + di, então o produto é:

z₁z₂ = (ac - bd) + (ad + bc)i

Conjugados complexos

O conjugado complexo de um número complexo é um número cuja parte real é igual a a e a parte imaginária tem o sinal oposto. O conjugado de z = a + bi é:

z* = a - bi

Divisão de números complexos

Para dividir dois números complexos, multiplique o numerador e o denominador pelo conjugado complexo do denominador:

z₁ / z₂ = (z₁z₂*) / (z₂z₂*)

Fórmula de Euler

A chave para entender números complexos é a fórmula de Euler:

e^(iθ) = cosθ + i·sinθ

Ao combinar isso com a forma polar, obtemos a forma exponencial de um número complexo:

z = re^(iθ)

Aplicações de números complexos

Existem várias aplicações importantes de números complexos:

  • Engenharia: Circuitos elétricos usam impedâncias complexas.
  • Física: Mecânica quântica e relatividade frequentemente envolvem números complexos.
  • Processamento de sinal: Transformadas de Fourier usam números complexos para análise de frequência.

Conclusão

Os números complexos ampliam o potencial da aritmética comum, oferecendo soluções para equações que não têm soluções reais. Eles representam uma base vital para áreas avançadas da matemática e ciência. Compreender os fundamentos dos números complexos - como manipulá-los e como visualizá-los - é crucial para se aprofundar em tópicos como análise complexa, equações diferenciais e além.


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