सम्पर्क संख्या

सम्पर्क संख्याएं वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र में धुरी और आयाम की धारणा का विस्तार हैं। सरल शब्दों में, वे पारंपरिक वास्तविक संख्या रेखा के परे संख्याओं द्वारा व्यक्त किए जा सकने वाली चीज़ों का विस्तार करती हैं। संपर्क संख्याएं न केवल गणित में बल्कि इंजीनियरिंग, भौतिकी और कम्प्यूटर विज्ञान सहित कई क्षेत्रों में महत्वपूर्ण भूमिका निभाती हैं।

संपर्क संख्याओं का परिचय

वास्तविक संख्या रेखा पर, प्रत्येक संख्या को बिंदु के रूप में देखा जा सकता है। संपर्क संख्याएं एक अतिरिक्त आयाम की धारणा लाती हैं, जिसे संपर्क विमान कहा जाता है। औपचारिक रूप से, एक संपर्क संख्या इस प्रकार व्यक्त की जाती है:

z = a + bi

यहाँ, a और b वास्तविक संख्याएं हैं, और i काल्पनिक इकाई है, जो निम्नलिखित समीकरण को संतुष्ट करती है:

i² = -1

संपर्क विमान

संपर्क विमान एक द्वि-आयामी स्थान है जहाँ प्रत्येक बिंदु एक संपर्क संख्या का प्रतिनिधित्व करता है। क्षैतिज धुरी (वास्तविक धुरी) संपर्क संख्या के वास्तविक भाग के अनुरूप है, Re(z) = a। ऊर्ध्वाधर धुरी (काल्पनिक धुरी) काल्पनिक भाग के अनुरूप है, Im(z) = b।

Im ↑ | b | ● (a, b) = a + bi | +----→ Re a

प्रकार के रूप: आयताकार और ध्रुवीय

आयताकार रूप

रूप z = a + bi को आयताकार रूप कहा जाता है। यह सीधा है और अक्सर मूल गणनाओं में उपयोग किया जाता है।

ध्रुवीय रूप

ध्रुवीय रूप संपर्क संख्याओं को परिमाण r (जिसे मूलांक भी कहते हैं) और कोण θ (तर्क या चरण) का उपयोग करता है। संबंध निम्नानुसार दिया जाता है:

z = r(cosθ + i·sinθ)

परिमाण r की गणना इस प्रकार की जाती है:

r = √(a² + b²)

कोण θ, जो वास्तविक धुरी के साथ का कोण है, इस प्रकार की गणना की जाती है:

θ = atan2(b, a)

रूपों के बीच रूपांतरण

आयताकार और ध्रुवीय रूपों के बीच बदलने के लिए, निम्नलिखित का उपयोग करें:

• a = r cosθ
• b = r sinθ

संपर्क संख्याओं पर कार्यों की दृष्टांत

जोड़

संपर्क संख्याओं को जोड़ने का मतलब उनके संगत भागों को जोड़ना होता है। यदि z₁ = a + bi और z₂ = c + di, तो उनकी योगफल है:

z₁ + z₂ = (a + c) + (b + d)i

दृश्यतः, इसे संपर्क विमान में वेक्टर योग के रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है।

Im ↑ | b | ● (a, b) | | ↗ b+d + / | / | / d | / +---● (c, d) +---→ Re

गुणन

जब दो संपर्क संख्याएं गुणा की जाती हैं, तो उनके मूलांक संयुक्त होते हैं और उनके कोण जोड़े जाते हैं:

z₁z₂ = r₁r₂ [cos(θ₁ + θ₂) + i·sin(θ₁ + θ₂)]

फिर भी, यदि z₁ = a + bi और z₂ = c + di, तो उत्पाद है:

z₁z₂ = (ac - bd) + (ad + bc)i

संपर्क संयुग्म

एक संपर्क संख्या का संपर्क संयुग्म एक संख्या है जिसका वास्तविक भाग a के बराबर होता है और काल्पनिक भाग में विपरीत चिन्ह होता है। z = a + bi का संयुग्म इस प्रकार है:

z* = a - bi

संपर्क संख्याओं का भागफल

दो संपर्क संख्याओं को भाग करने के लिए, हर के अंश और हर का गुणन संपर्क संख्या के संयुग्म से गुणन करें:

z₁ / z₂ = (z₁z₂*) / (z₂z₂*)

ऑयलर का सूत्र

संपर्क संख्याओं को समझने की कुंजी ऑयलर का सूत्र है:

e^(iθ) = cosθ + i·sinθ

इसे ध्रुवीय रूप के साथ संयोजन करने पर संपर्क संख्या का घातीय रूप मिलता है:

z = re^(iθ)

संपर्क संख्याओं के अनुप्रयोग

संपर्क संख्याओं के विभिन्न महत्वपूर्ण अनुप्रयोग होते हैं:

• इंजीनियरिंग: विद्युत परिपथ संपर्क प्रतिरोधों का उपयोग करते हैं।
• भौतिकी: क्वांटम यांत्रिकी और आपेक्षिकता में अकसर संपर्क संख्याएं शामिल होती हैं।
• संकेत प्रसंस्करण: फूरियर रूपांतरण फ्रीक्वेंसी विश्लेषण के लिए संपर्क संख्याओं का उपयोग करते हैं।

निष्कर्ष

संपर्क संख्याएं सामान्य अंकगणित की संभावना को बढ़ाती हैं, ऐसी समीकरणों का समाधान प्रस्तुत करती हैं जिनका वास्तविक समाधान नहीं होता। वे गणित और विज्ञान के उन्नत क्षेत्रों के लिए एक आवश्यक आधार प्रस्तुत करती हैं। संपर्क संख्याओं की आधारभूत जानकारी - उन्हें कैसे संभालें और उन्हें कैसे देखें - विषयों जैसे संपर्क विश्लेषण, अवकल समीकरणों और उससे परे जाने के लिए महत्वपूर्ण है।

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