Posgrado
  1. Introducción al análisis real  1.1. Teoría de conjuntos y lógica en el análisis real  1.1.1. Conjuntos y operaciones en teoría de conjuntos y lógica en análisis real  1.1.2. Relaciones y funciones  1.1.3. Lógica y cuantificadores  1.1.4. Cardinalidad de conjuntos  1.2. Espacio métrico  1.2.1. Introducción a conjuntos abiertos y cerrados en espacios métricos  1.2.2. Convergencia de secuencias en un espacio métrico  1.2.3. Función continua en un espacio métrico  1.2.4. Compacidad y completitud en espacios métricos en análisis real  1.3. Secuencias y series  1.3.1. Convergencia de secuencias  1.3.2. Series infinitas  1.3.3. Convergencia uniforme  1.3.4. Serie de potencias  1.4. Discriminación  1.4.1. Teorema del valor medio  1.4.2. Serie de Taylor  1.4.3. Funciones de varias variables  1.4.4. Derivada parcial  1.5. Integración  1.5.1. Integración de Riemann y Lebesgue  1.5.2. Integrales impropias  1.5.3. Teoría de la medida: una herramienta fundamental en la integración  1.5.4. Teorema de Fubini  1.6. Análisis funcional  1.6.1. Comprendiendo los espacios de Banach  1.6.2. Espacios de Hilbert  1.6.3. Operadores en espacios  1.6.4. Teoría espectral
  2. Álgebra abstracta  2.1. Entendiendo los grupos en el álgebra abstracta  2.1.1. Definiciones y ejemplos de grupos en álgebra abstracta  2.1.2. Homomorfismos de grupos  2.1.3. Introducción a los subgrupos normales  2.1.4. Teorema de Sylow  2.2. Anillos y campos  2.2.1. Ideales y anillos cociente  2.2.2. Extensiones de campos  2.2.3. Teoría de Galois  2.2.4. Anillos de polinomios  2.3. Introducción a los módulos en álgebra abstracta  2.3.1. Homomorfismo de módulos  2.3.2. Módulos libres  2.3.3. Introducción a los productos tensoriales  2.3.4. Secuencia exacta en módulos  2.4. Álgebra lineal  2.4.1. Espacio vectorial  2.4.2. Autovalores y autovectores  2.4.3. Espacio de producto interior  2.4.4. Diagonalización
  3. Topología  3.1. Topología general  3.1.1. Conjuntos abiertos y cerrados  3.1.2. Compacidad y conexión  3.1.3. Mapas continuos  3.1.4. Axioma de separación  3.2. Topología algebraica  3.2.1. Comprensión de los grupos fundamentales en la topología algebraica  3.2.2. Homotopía y homología  3.2.3. Complejo simplicial  3.2.4. Secuencias exactas en homología  3.3. Topología diferencial  3.3.1. Comprendiendo las variedades en topología diferencial  3.3.2. Funcionamiento suave  3.3.3. Espacio tangente y cotangente  3.3.4. Fibrados vectoriales
  4. Ecuaciones diferenciales  4.1. Ecuación diferencial ordinaria  4.1.1. Ecuaciones de primer orden  4.1.2. Ecuaciones lineales de segundo orden  4.1.3. Sistemas de ecuaciones diferenciales  4.1.4. Análisis de estabilidad en ecuaciones diferenciales ordinarias  4.2. Ecuaciones en derivadas parciales  4.2.1. Clasificación de EDP  4.2.2. Entendiendo las series de Fourier en ecuaciones diferenciales parciales  4.2.3. Introducción a las funciones de Green  4.2.4. Método de caracterización  4.3. Sistemas dinámicos en ecuaciones diferenciales  4.3.1. Teoría de la sostenibilidad  4.3.2. Ciclos límite en sistemas dinámicos  4.3.3. Teoría del caos  4.3.4. Teoría de bifurcación
  5. Probabilidad y estadística  5.1. Teoría de la probabilidad  5.1.1. Variables aleatorias  5.1.2. Distribuciones de probabilidad  5.1.3. Ley de los grandes números  5.1.4. Teorema del límite central  5.2. Inferencia estadística  5.2.1. Pruebas de hipótesis  5.2.2. Intervalo de confianza  5.2.3. Métodos bayesianos  5.2.4. Estimación de máxima verosimilitud  5.3. Procesos estocásticos  5.3.1. Cadenas de Markov  5.3.2. Movimiento browniano  5.3.3. Comprendiendo los procesos de Poisson  5.3.4. Martingalas: Un estudio integral en probabilidad y estadística
  6. Análisis numérico  6.1. Soluciones numéricas de ecuaciones  6.1.1. Descubrimiento original  6.1.2. Métodos iterativos  6.1.3. Análisis de convergencia  6.1.4. Cotas de error en soluciones numéricas de ecuaciones  6.2. Álgebra lineal numérica  6.2.1. Factorización de matrices  6.2.2. Cálculo de valores propios  6.2.3. Matrices dispersas  6.2.4. Técnicas de preacondicionamiento  6.3. Integración y diferenciación numérica  6.3.1. Métodos de cuadratura  6.3.2. Introducción a las diferencias finitas  6.3.3. Análisis de errores en la integración y diferenciación numérica  6.3.4. Métodos adaptativos en integración y diferenciación numérica
  7. Análisis complejo  7.1. Números complejos  7.1.1. Forma polar  7.1.2. Conjugados complejos  7.1.3. Forma exponencial de los números complejos  7.1.4. Raíces de la unidad  7.2. Funciones analíticas  7.2.1. Ecuaciones de Cauchy–Riemann  7.2.2. Series de potencias  7.2.3. Mapeo conforme  7.2.4. Funciones armónicas  7.3. Integración en el plano complejo  7.3.1. Teorema de Cauchy  7.3.2. Teorema del residuo  7.3.3. Integración de contornos  7.3.4. Transformaciones integrales
  8. Lógica matemática y fundamentos  8.1. Lógica proposicional  8.1.1. Tablas de verdad  8.1.2. Equivalencia lógica en la lógica proposicional  8.1.3. Técnicas de demostración en lógica proposicional  8.1.4. Solución en lógica proposicional  8.2. Lógica de predicados  8.2.1. Cuantificadores en lógica de predicados  8.2.2. Sistemas formales en lógica de predicados  8.2.3. Integridad y solidez  8.2.4. Teoría de modelos  8.3. Teoría de conjuntos  8.3.1. Cardinalidad y ordinalidad  8.3.2. Sistemas axiomáticos  8.3.3. Comprender la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel  8.3.4. Fuerzas en la teoría de conjuntos
  9. Personalización  9.1. Programación lineal  9.1.1. Método simplex  9.1.2. Dualidad en la programación lineal  9.1.3. Análisis de sensibilidad en programación lineal  9.1.4. Métodos de punto interior  9.2. Programación no lineal  9.2.1. Descenso de gradiente  9.2.2. Multiplicadores de Lagrange  9.2.3. Optimización convexa  9.2.4. Programación cuadrática  9.3. Optimización Combinatoria  9.3.1. Algoritmos de grafos  9.3.2. Programación entera  9.3.3. Flujo de red  9.3.4. Algoritmos de aproximación
  10. Matemáticas discretas  10.1. Teoría de grafos  10.1.1. Representación de grafos  10.1.2. Llanura y color  10.1.3. Algoritmo de camino más corto  10.1.4. Flujo de red  10.2. Compañerismo  10.2.1. Permutación y combinación  10.2.2. Función generadora  10.2.3. Relación de recurrencia  10.2.4. Comprendiendo el Principio de Inclusión-Exclusión  10.3. Criptografía  10.3.1. Aplicaciones de la teoría de números en criptografía  10.3.2. Criptografía Simétrica y Asimétrica  10.3.3. RSA y criptografía de curvas elípticas  10.3.4. Criptografía post-cuántica

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Números complejos


Los números complejos son una extensión de la idea de eje y dimensión al campo de los números reales. En términos simples, amplían lo que puede ser expresado por números más allá de la tradicional línea de números reales. Los números complejos son fundamentales no solo en matemáticas sino en una amplia variedad de campos incluyendo ingeniería, física y ciencias de la computación.

Introducción a los números complejos

En la línea de números reales, cada número puede ser visto como un punto. Los números complejos introducen una dimensión adicional, conocida como el plano complejo. Formalmente, un número complejo se expresa como:

z = a + bi

Aquí, a y b son números reales, y i es la unidad imaginaria, que satisface la siguiente ecuación:

i² = -1

Plano complejo

El plano complejo es un espacio bidimensional donde cada punto representa un número complejo. El eje horizontal (eje real) corresponde a la parte real del número complejo, Re(z) = a. El eje vertical (eje imaginario) corresponde a la parte imaginaria, Im(z) = b.

Im ↑ | b | ● (a, b) = a + bi | +----→ Re a

Tipos de formas: rectangular y polar

Forma rectangular

La forma z = a + bi se conoce como la forma rectangular. Es directa y a menudo se utiliza en cálculos básicos.

Forma polar

La forma polar representa números complejos usando la magnitud r (también llamada módulo) y el ángulo θ (el argumento o fase). La relación se da como:

z = r(cosθ + i·sinθ)

La magnitud r se calcula como:

r = √(a² + b²)

El ángulo θ, que es el ángulo con el eje real, se calcula como:

θ = atan2(b, a)

Conversión entre formas

Para cambiar entre las formas rectangular y polar, use:

  • a = r cosθ
  • b = r sinθ

Visualización de operaciones en números complejos

Suma

Sumar números complejos implica sumar sus partes correspondientes. Si z₁ = a + bi y z₂ = c + di, entonces su suma es:

z₁ + z₂ = (a + c) + (b + d)i

Visualmente, esto puede representarse como una suma vectorial en el plano complejo.

Im ↑ | b | ● (a, b) | | ↗ b+d + / | / | / d | / +---● (c, d) +---→ Re

Multiplicación

Cuando dos números complejos se multiplican, sus módulos se combinan y sus ángulos se suman:

z₁z₂ = r₁r₂ [cos(θ₁ + θ₂) + i·sin(θ₁ + θ₂)]

Nuevamente, si z₁ = a + bi y z₂ = c + di, entonces el producto es:

z₁z₂ = (ac - bd) + (ad + bc)i

Conjugados complejos

El conjugado complejo de un número complejo es un número cuya parte real es igual a a y la parte imaginaria tiene el signo opuesto. El conjugado de z = a + bi es:

z* = a - bi

División de números complejos

Para dividir dos números complejos, multiplique el numerador y el denominador por el conjugado complejo del denominador:

z₁ / z₂ = (z₁z₂*) / (z₂z₂*)

Fórmula de Euler

La clave para entender los números complejos es la fórmula de Euler:

e^(iθ) = cosθ + i·sinθ

Combinando esto con la forma polar se obtiene la forma exponencial de un número complejo:

z = re^(iθ)

Aplicaciones de los números complejos

Existen varias aplicaciones importantes de los números complejos:

  • Ingeniería: Los circuitos eléctricos utilizan impedancias complejas.
  • Física: La mecánica cuántica y la relatividad a menudo involucran números complejos.
  • Procesamiento de señales: Las transformadas de Fourier utilizan números complejos para el análisis de frecuencia.

Conclusión

Los números complejos amplían el potencial de la aritmética ordinaria, ofreciendo soluciones a ecuaciones que no tienen soluciones reales. Representan una base vital para áreas avanzadas de matemáticas y ciencia. Comprender los conceptos básicos de los números complejos -cómo manipularlos y cómo verlos- es crucial para adentrarse en temas como el análisis complejo, las ecuaciones diferenciales, y más allá.


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