Pós-graduação
  1. Introdução à análise real  1.1. Teoria dos conjuntos e lógica em análise real  1.1.1. Conjuntos e operações na teoria dos conjuntos e lógica em análise real  1.1.2. Relações e funções  1.1.3. Lógica e quantificadores  1.1.4. Cardinalidade dos conjuntos  1.2. Espaço métrico  1.2.1. Introdução aos conjuntos abertos e fechados em espaços métricos  1.2.2. Convergência de sequências em um espaço métrico  1.2.3. Função contínua em um espaço métrico  1.2.4. Compacidade e completude em espaços métricos na análise real  1.3. Sequências e séries  1.3.1. Convergência de sequências  1.3.2. Séries infinitas  1.3.3. Convergência uniforme  1.3.4. Séries de potências  1.4. Discriminação  1.4.1. Teorema do valor médio  1.4.2. Série de Taylor  1.4.3. Funções de várias variáveis  1.4.4. Derivada parcial  1.5. Integração  1.5.1. Integração de Riemann e Lebesgue  1.5.2. Integrais impróprias  1.5.3. Teoria da Medida: uma ferramenta fundamental na integração  1.5.4. Teorema de Fubini  1.6. Análise funcional  1.6.1. Compreendendo espaços de Banach  1.6.2. Espaços de Hilbert  1.6.3. Operadores em espaços  1.6.4. Teoria Espectral
  2. Álgebra Abstrata  2.1. Compreendendo grupos na álgebra abstrata  2.1.1. Definições e exemplos de grupos na álgebra abstrata  2.1.2. Homomorfismos de grupos  2.1.3. Introdução aos subgrupos normais  2.1.4. Teorema de Sylow  2.2. Anéis e campos  2.2.1. Ideais e anéis quocientes  2.2.2. Extensões de campos  2.2.3. Teoria de Galois  2.2.4. Anéis de polinômios  2.3. Introdução aos módulos em álgebra abstrata  2.3.1. Homomorfismo de Módulos  2.3.2. Módulos livres  2.3.3. Introdução aos produtos tensoriais  2.3.4. Sequência exata em módulos  2.4. Álgebra linear  2.4.1. Espaço vetorial  2.4.2. Autovalores e autovetores  2.4.3. Espaço de produto interno  2.4.4. Diagonalização
  3. Topologia  3.1. Topologia Geral  3.1.1. Conjuntos abertos e fechados  3.1.2. Compacidade e conexidade  3.1.3. Mapas contínuos  3.1.4. Axioma de separação  3.2. Topologia algébrica  3.2.1. Compreendendo grupos fundamentais em topologia algébrica  3.2.2. Homotopia e homologia  3.2.3. Complexo simplicial  3.2.4. Sequências exatas em homologia  3.3. Topologia Diferencial  3.3.1. Compreendendo variedades na topologia diferencial  3.3.2. Funções Suaves  3.3.3. Espaço tangente e cotangente  3.3.4. Feixes vetoriais
  4. Equações diferenciais  4.1. Equação diferencial ordinária  4.1.1. Equações de primeira ordem  4.1.2. Equações lineares de segunda ordem  4.1.3. Sistemas de equações diferenciais  4.1.4. Análise de estabilidade em equações diferenciais ordinárias  4.2. Equações diferenciais parciais  4.2.1. Classificação de PDE  4.2.2. Compreendendo séries de Fourier em equações diferenciais parciais  4.2.3. Introdução às funções de Green  4.2.4. Método de caracterização  4.3. Sistemas dinâmicos em equações diferenciais  4.3.1. Teoria da Sustentabilidade  4.3.2. Ciclos limite em sistemas dinâmicos  4.3.3. Teoria do caos  4.3.4. Teoria da bifurcação
  5. Probabilidade e estatística  5.1. Teoria da probabilidade  5.1.1. Variáveis aleatórias  5.1.2. Distribuições de probabilidade  5.1.3. Lei dos grandes números  5.1.4. Teorema Central do Limite  5.2. Inferência estatística  5.2.1. Teste de hipótese  5.2.2. Intervalo de confiança  5.2.3. Métodos bayesianos  5.2.4. Estimativa de máxima verossimilhança  5.3. Processos estocásticos  5.3.1. Cadeias de Markov  5.3.2. Movimento Browniano  5.3.3. Compreendendo os processos de Poisson  5.3.4. Martingales: Um estudo abrangente em probabilidade e estatística
  6. Análise numérica  6.1. Soluções numéricas de equações  6.1.1. Descoberta original  6.1.2. Métodos iterativos  6.1.3. Análise de convergência  6.1.4. Limites de erro em soluções numéricas de equações  6.2. Álgebra linear numérica  6.2.1. Fatoração de matrizes  6.2.2. Cálculo de autovalores  6.2.3. Matrizes esparsas  6.2.4. Técnicas de pré-condicionamento  6.3. Integração e diferenciação numéricas  6.3.1. Métodos de quadratura  6.3.2. Introdução às diferenças finitas  6.3.3. Análise de erro na integração e diferenciação numérica  6.3.4. Métodos adaptativos em integração e diferenciação numérica
  7. Análise complexa  7.1. Números complexos  7.1.1. Forma polar  7.1.2. Conjugados Complexos  7.1.3. Forma exponencial de números complexos  7.1.4. Raízes da unidade  7.2. Funções analíticas  7.2.1. Equações de Cauchy–Riemann  7.2.2. Séries de potências  7.2.3. Mapeamento conforme  7.2.4. Funções harmônicas  7.3. Integração no plano complexo  7.3.1. Teorema de Cauchy  7.3.2. Teorema do resíduo  7.3.3. Integração de contorno  7.3.4. Transformadas integrais
  8. Lógica Matemática e Fundamentos  8.1. Lógica proposicional  8.1.1. Tabelas de verdade  8.1.2. Equivalência lógica na lógica proposicional  8.1.3. Técnicas de prova em lógica proposicional  8.1.4. Solução na lógica proposicional  8.2. Lógica de predicados  8.2.1. Quantificadores na lógica de predicados  8.2.2. Sistemas formais na lógica de predicados  8.2.3. Completude e correção  8.2.4. Teoria dos modelos  8.3. Teoria dos conjuntos  8.3.1. Cardinalidade e ordinalidade  8.3.2. Sistemas axiomáticos  8.3.3. Compreendendo a teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel  8.3.4. Forças na teoria dos conjuntos
  9. Personalização  9.1. Programação linear  9.1.1. Método simplex  9.1.2. Dualidade na programação linear  9.1.3. Análise de sensibilidade em programação linear  9.1.4. Métodos de ponto interior  9.2. Programação não linear  9.2.1. Descida do Gradiente  9.2.2. Múltiplos de Lagrange  9.2.3. Otimização convexa  9.2.4. Programação quadrática  9.3. Otimização Combinatória  9.3.1. Algoritmos de grafos  9.3.2. Programação inteira  9.3.3. Fluxo de Rede  9.3.4. Algoritmos de aproximação
  10. Matemática discreta  10.1. Teoria dos grafos  10.1.1. Representação de grafos  10.1.2. Planicidade e cor  10.1.3. Algoritmo de caminho mais curto  10.1.4. Fluxo de rede  10.2. Companheirismo  10.2.1. Percmutações e combinações  10.2.2. Função geradora  10.2.3. Relação de recorrência  10.2.4. Compreendendo o Princípio da Inclusão-Exclusão  10.3. Criptografia  10.3.1. Aplicações da teoria dos números na criptografia  10.3.2. Criptografia Simétrica e Assimétrica  10.3.3. RSA e criptografia de curva elíptica  10.3.4. Criptografia pós-quântica

Pós-graduação → Análise complexa → Números complexos ↓


Raízes da unidade


Na análise complexa, o conceito de raízes da unidade é fundamental e é amplamente usado em vários campos da matemática, incluindo teoria dos números, álgebra, e até mesmo em campos como física e ciência da computação. Este documento fornecerá uma exploração abrangente das raízes da unidade, explicando-as com vários exemplos, fórmulas e ilustrações visuais.

Introdução aos números complexos

Antes de entrar nas raízes da unidade, precisamos ter uma boa compreensão dos números complexos. Um número complexo é da forma:

z = a + bi

onde a e b são números reais e i é a unidade imaginária que satisfaz i 2 = -1. No plano complexo, um número complexo é representado como um ponto ou vetor emanando da origem.

Compreendendo as raízes da unidade

As n-ésimas raízes da unidade são as soluções da equação:

z n = 1

para um dado inteiro positivo n. Esses são números especiais na análise complexa porque estão no círculo unitário no plano complexo e são igualmente espaçados. O círculo unitário é o conjunto de todos os pontos no plano complexo que têm distância 1 da origem.

Fórmula geral para raízes da unidade

As n-ésimas raízes da unidade podem ser expressas usando a forma exponencial dos números complexos. Para cada inteiro k de 0 a n-1, as n-ésimas raízes são dadas por:

ω k = e 2πik/n

onde e é a base do logaritmo natural, e π é a constante pi. Em termos mais explícitos, esta equação é equivalente a:

ω k = cos(2πk/n) + i sin(2πk/n)

Esta expressão combina a fórmula de Euler para exponenciais complexas e fornece uma maneira poderosa de representar raízes geometricamente.

Visualizando as raízes da unidade

No plano complexo, as raízes da unidade podem ser vistas como os vértices de um n gono regular (um polígono com n lados) inscrito no círculo unitário. Abaixo está um exemplo de visualização:

O diagrama mostra 6 raízes da unidade como pontos no círculo unitário. Esses pontos formam os vértices de um hexágono regular.

Propriedades das raízes da unidade

Natureza cíclica

As raízes da unidade formam um grupo cíclico sob multiplicação. Em termos simples, se você multiplicar uma raiz da unidade por outra, obterá outra raiz da unidade. Esta propriedade é altamente útil em campos como a teoria dos números.

Simetria

As raízes da unidade são simétricas em relação ao eixo real. Por exemplo, no conjunto de 6 raízes, a raiz ω 1 está diretamente oposta à raiz ω 4 no eixo real.

Soma das raízes

Uma propriedade interessante das n-ésimas raízes é que sua soma é zero. Matematicamente:

ω 0 + ω 1 + ... + ω n-1 = 0

Isto pode ser mostrado usando o fato de que essas raízes são as raízes do polinômio x n - 1 = 0, que tem os seguintes fatores:

(x - ω 0 )(x - ω 1 )...(x - ω n-1 ) = x n - 1

Exemplos de raízes da unidade

Exemplo 1: Raiz quadrada da unidade

2 raízes da unidade são soluções da equação:

z 2 = 1

Isso nos dá as soluções z = 1 e z = -1. Estas podem ser representadas como:

ω 0 = e 0πi = 1
ω 1 = e πi = -1

Exemplo 2: Raiz cúbica da unidade

Da mesma forma, as 3 raízes da unidade satisfazem:

z 3 = 1

Essas são as raízes 1, ω, e ω 2, onde ω satisfaz:

ω = e 2πi/3 = -1/2 + (√3/2)i
ω 2 = e 4πi/3 = -1/2 - (√3/2)i

As raízes cúbicas são representadas como pontos nos vértices de um triângulo equilátero no círculo unitário.

Aplicação das raízes da unidade

Raízes primordiais da unidade

Das n-ésimas raízes da unidade, aquelas que geram todo o conjunto quando elevadas a potências distintas são chamadas de raízes primitivas da unidade. Por exemplo, das 3 raízes da unidade, ω é uma raiz primitiva, pois ω, ω 2 geram todas as raízes.

Transformada discreta de Fourier (DFT)

As raízes da unidade desempenham um papel importante na transformada discreta de Fourier, que é uma técnica matemática usada para transformar sinais entre o domínio do tempo e o domínio da frequência. A DFT é amplamente usada em processamento de sinais digitais e análise de dados.

Produtos e identidades matemáticas

As raízes da unidade aparecem em muitas identidades e teoremas matemáticos, incluindo aqueles que relacionam produtos e somas simples a números complexos.

Conclusão

As raízes da unidade são um conceito essencial na análise complexa e têm amplas aplicações em matemática e ciência. Compreender suas propriedades, como a natureza cíclica e a simetria, ajuda na representação visual, bem como na abordagem de vários problemas teóricos e práticos. Com a base fornecida por fórmulas gerais e exemplos, pode-se explorar seus casos de uso em contextos matemáticos mais avançados.


Pós-graduação → 7.1.4


U
username
0%
concluído em Pós-graduação

← Anterior (7.1.3)
Forma exponencial de números complexos
Próximo (7.2) →
Funções analíticas

Comentários 



Raízes da unidade

https://www.buddymath.com/g/7.1.4?bmal=pt