एकात्मक मूल

समिश्र विश्लेषण में, एकात्मक मूल की अवधारणा मौलिक होती है और इसका प्रयोग गणित के विभिन्न क्षेत्रों में किया जाता है, जैसे संख्या सिद्धांत, बीजगणित, और यहाँ तक कि भौतिकी और कंप्यूटर विज्ञान जैसे क्षेत्रों में भी। यह दस्तावेज़ एकात्मक मूल की एक व्यापक व्याख्या प्रदान करेगा, उन्हें विभिन्न उदाहरणों, सूत्रों और दृश्य प्रदर्शनों के साथ समझाएगा।

समिश्र संख्याओं का परिचय

एकात्मक मूल पर जाने से पहले, हमें समिश्र संख्याओं की अच्छी समझ होनी चाहिए। एक समिश्र संख्या का रूप होता है:

z = a + bi

जहाँ a और b वास्तविक संख्याएँ होती हैं और i काल्पनिक इकाई होती है जो i 2 = -1 को संतुष्ट करती है। समिश्र तल पर, एक समिश्र संख्या को एक बिंदु या मूल बिंदु से प्रसारित वेक्टर के रूप में प्रकट किया जाता है।

एकात्मक मूलों को समझना

nth एकात्मक मूल समीकरण के हल होते हैं:

z n = 1

एक दिए गए सकारात्मक पूर्णांक n के लिए। ये समिश्र विश्लेषण में विशेष संख्याएँ होती हैं क्योंकि ये समिश्र तल पर एकात्मक वृत्त पर स्थित होती हैं और समान दूरी पर होती हैं। एकात्मक वृत्त समिश्र तल में उन सभी बिंदुओं का समुच्चय होता है जिनकी दूरी मूल बिंदु से 1 होती है।

एकात्मक मूलों के लिए सामान्य सूत्र

nth एकात्मक मूलों को समिश्र अंकों के घातांश स्वरूप का उपयोग करते हुए प्रदर्शित किया जा सकता है। हर पूर्णांक k के लिए 0 से n-1, nth मूलों को निम्नलिखित रूप में दिया जाता है:

ω k = e 2πik/n

जहाँ e प्राकृतिक लघुगणक का आधार है, और π स्थिरांक पाई है। अधिक स्पष्ट रूप से, यह समीकरण होता है:

ω k = cos(2πk/n) + i sin(2πk/n)

यह एक्सप्रेशन यूलर के समिश्र घातांकों के सूत्र को जोड़ती है और ज्यामितीय रूप से मूलों को प्रदर्शित करने का एक शक्तिशाली तरीका प्रदान करती है।

एकात्मक मूलों का दृश्य निरूपण

समिश्र तल में, एकात्मक मूलों को एक नियमित n गिरोह (एक बहुभुज जिसमें n भुजाएँ हैं) के शिखरों के रूप में देखा जा सकता है जो एकात्मक वृत्त में अंकित होता है। नीचे एक उदाहरण दृश्य निरूपण दिया गया है:

आरेख में 6 एकात्मक मूलों को एकात्मक वृत्त पर बिंदुओं के रूप में दिखाया गया है। ये बिंदु एक नियमित षट्कोण के शिखरों का निर्माण करते हैं।

एकात्मक मूलों के गुण

चक्रीय प्रकृति

एकात्मक मूल गुणन के अंतर्गत एक चक्रीय समूह बनाते हैं। सरल शब्दों में, यदि आप एक एकात्मक मूल को दूसरे से गुणा करते हैं, तो आपको एक और एकात्मक मूल प्राप्त होगा। यह गुण संख्या सिद्धांत जैसे क्षेत्रों में अत्यधिक उपयोगी होता है।

समानता

एकात्मक मूल वास्तविक अक्ष के बारे में सममित होते हैं। उदाहरण के लिए, 6 मूलों के समूह में, ω 1 वास्तविक अक्ष के पार ω 4