Экспоненциальная форма комплексных чисел

Комплексные числа — это фундаментальное понятие в математике, расширяющее идею одномерной числовой линии до двумерной комплексной плоскости. Они записываются в виде a + bi, где a и b — действительные числа, а i — мнимая единица, удовлетворяющая i 2 = -1.

Традиционное представление

Как правило, комплексные числа представляются в стандартной форме, где они выражаются как сумма действительной части a и мнимой части bi. Это называется прямоугольной формой. Однако существует и другое убедительное и более практическое представление, известное как экспоненциальная форма, основанное на формуле Эйлера.

Понимание формулы Эйлера

Формула Эйлера — это фундаментальное уравнение в комплексном анализе, устанавливающее глубокую связь между комплексными экспонентами и тригонометрическими функциями. Она формулируется следующим образом:

e iθ = cos(θ) + i*sin(θ)

Пример 1:

Для θ = π, формула Эйлера дает:

e iπ = cos(π) + i*sin(π) = -1 + i*0 = -1

Следовательно, e iπ + 1 = 0, известное как тождество Эйлера, часто восхваляется за свою красоту, так как оно связывает пять фундаментальных математических констант: 0, 1, π, e и i.

Экспоненциальная форма комплексного числа

Используя формулу Эйлера, любое комплексное число может быть выражено в экспоненциальной форме. Дано комплексное число, r(cos θ + i sin θ) в полярных координатах, оно может быть переписано с использованием формулы Эйлера как:

z = re iθ

Здесь r — это величина (или модуль) комплексного числа, представляющая расстояние от начала координат до точки на комплексной плоскости. θ — это аргумент (или угол), измеряемый от положительной действительной оси до линии, представляющей комплексное число.

Пример 2: Экспоненциальное преобразование

Предположим, у нас есть комплексное число z = 1 + i√3. Нам нужно преобразовать его в экспоненциальную форму:

1. Вычислите модуль r:

   r = √(1 2 + (√3) 2) = √4 = 2

2. Вычислите аргумент θ:

   θ = atan2(√3, 1) = π/3

3. Таким образом, экспоненциальная форма следующая:

   z = 2e iπ/3

Преимущества использования экспоненциальной формы

Одно из основных преимуществ экспоненциальной формы комплексных чисел заключается в том, что она значительно упрощает операции, такие как умножение, деление и извлечение корней. В экспоненциальной форме умножение комплексных чисел становится простым: просто перемножьте модули и сложите углы.

Операции с экспоненциальной формой

Предположим, у нас есть два комплексных числа в экспоненциальной форме: z1 = r1e iθ1 и z2 = r2e iθ2. Вот основные операции:

Умножение комплексных чисел

z1 * z2 = (r1 * r2)e i(θ1 + θ2)

Пример 3: Умножение

Пусть z1 = 3e iπ/4 и z2 = 2e iπ/6.

z1 * z2 = (3 * 2)e i(π/4 + π/6) = 6e i(5π/12)

Деление комплексных чисел

z1 / z2 = (r1 / r2)e i(θ1 - θ2)

Пример 4: Деление

Разделите z1 = 4e iπ/3 на z2 = 2e iπ/6.

z1 / z2 = (4 / 2)e i(π/3 - π/6) = 2e iπ/6

Нахождение степеней

Для степеней мы используем следующую формулу:

z n = (r n)e inθ

Пример 5: Степени

Пусть z = 2e iπ/4. Найдите z 3.

z 3 = (2 3)e i(3π/4) = 8e i3π/4

Нахождение корней

n корень из комплексного числа z = re iθ можно найти следующим образом:

z k = r 1/n e i(θ+2kπ)/n for k = 0, 1, ..., n-1

Пример 6: Корни

Найдите кубический корень из z = 8e iπ.

z k = 8 1/3 e i(π+2kπ)/3 for k = 0, 1, 2

Этот процесс дает корни 2e iπ/3, 2e i(π+2π)/3 и 2e i(π+4π)/3.

Визуализация комплексных чисел в экспоненциальной форме

Экспоненциальная форма комплексного числа может быть рассмотрена как вращение вокруг начала координат комплексной плоскости. На приведенном ниже SVG представьте себе круг радиуса r, центрированный в начале координат, и угол θ представляет вращение относительно положительной оси x. Каждое комплексное число можно рассматривать как точку на этом круге.

Заключение

Экспоненциальная форма комплексных чисел — это не просто другой способ записи комплексных чисел; она предоставляет понимание и упрощения, особенно в комплексном исчислении, обработке сигналов и анализе Фурье. Эта форма безупречно интегрируется с концепциями углов и вращений, делая ее бесценной как в теоретических, так и в практических приложениях в различных областях математики и инженерии.

комментарии