Pós-graduação
  1. Introdução à análise real  1.1. Teoria dos conjuntos e lógica em análise real  1.1.1. Conjuntos e operações na teoria dos conjuntos e lógica em análise real  1.1.2. Relações e funções  1.1.3. Lógica e quantificadores  1.1.4. Cardinalidade dos conjuntos  1.2. Espaço métrico  1.2.1. Introdução aos conjuntos abertos e fechados em espaços métricos  1.2.2. Convergência de sequências em um espaço métrico  1.2.3. Função contínua em um espaço métrico  1.2.4. Compacidade e completude em espaços métricos na análise real  1.3. Sequências e séries  1.3.1. Convergência de sequências  1.3.2. Séries infinitas  1.3.3. Convergência uniforme  1.3.4. Séries de potências  1.4. Discriminação  1.4.1. Teorema do valor médio  1.4.2. Série de Taylor  1.4.3. Funções de várias variáveis  1.4.4. Derivada parcial  1.5. Integração  1.5.1. Integração de Riemann e Lebesgue  1.5.2. Integrais impróprias  1.5.3. Teoria da Medida: uma ferramenta fundamental na integração  1.5.4. Teorema de Fubini  1.6. Análise funcional  1.6.1. Compreendendo espaços de Banach  1.6.2. Espaços de Hilbert  1.6.3. Operadores em espaços  1.6.4. Teoria Espectral
  2. Álgebra Abstrata  2.1. Compreendendo grupos na álgebra abstrata  2.1.1. Definições e exemplos de grupos na álgebra abstrata  2.1.2. Homomorfismos de grupos  2.1.3. Introdução aos subgrupos normais  2.1.4. Teorema de Sylow  2.2. Anéis e campos  2.2.1. Ideais e anéis quocientes  2.2.2. Extensões de campos  2.2.3. Teoria de Galois  2.2.4. Anéis de polinômios  2.3. Introdução aos módulos em álgebra abstrata  2.3.1. Homomorfismo de Módulos  2.3.2. Módulos livres  2.3.3. Introdução aos produtos tensoriais  2.3.4. Sequência exata em módulos  2.4. Álgebra linear  2.4.1. Espaço vetorial  2.4.2. Autovalores e autovetores  2.4.3. Espaço de produto interno  2.4.4. Diagonalização
  3. Topologia  3.1. Topologia Geral  3.1.1. Conjuntos abertos e fechados  3.1.2. Compacidade e conexidade  3.1.3. Mapas contínuos  3.1.4. Axioma de separação  3.2. Topologia algébrica  3.2.1. Compreendendo grupos fundamentais em topologia algébrica  3.2.2. Homotopia e homologia  3.2.3. Complexo simplicial  3.2.4. Sequências exatas em homologia  3.3. Topologia Diferencial  3.3.1. Compreendendo variedades na topologia diferencial  3.3.2. Funções Suaves  3.3.3. Espaço tangente e cotangente  3.3.4. Feixes vetoriais
  4. Equações diferenciais  4.1. Equação diferencial ordinária  4.1.1. Equações de primeira ordem  4.1.2. Equações lineares de segunda ordem  4.1.3. Sistemas de equações diferenciais  4.1.4. Análise de estabilidade em equações diferenciais ordinárias  4.2. Equações diferenciais parciais  4.2.1. Classificação de PDE  4.2.2. Compreendendo séries de Fourier em equações diferenciais parciais  4.2.3. Introdução às funções de Green  4.2.4. Método de caracterização  4.3. Sistemas dinâmicos em equações diferenciais  4.3.1. Teoria da Sustentabilidade  4.3.2. Ciclos limite em sistemas dinâmicos  4.3.3. Teoria do caos  4.3.4. Teoria da bifurcação
  5. Probabilidade e estatística  5.1. Teoria da probabilidade  5.1.1. Variáveis aleatórias  5.1.2. Distribuições de probabilidade  5.1.3. Lei dos grandes números  5.1.4. Teorema Central do Limite  5.2. Inferência estatística  5.2.1. Teste de hipótese  5.2.2. Intervalo de confiança  5.2.3. Métodos bayesianos  5.2.4. Estimativa de máxima verossimilhança  5.3. Processos estocásticos  5.3.1. Cadeias de Markov  5.3.2. Movimento Browniano  5.3.3. Compreendendo os processos de Poisson  5.3.4. Martingales: Um estudo abrangente em probabilidade e estatística
  6. Análise numérica  6.1. Soluções numéricas de equações  6.1.1. Descoberta original  6.1.2. Métodos iterativos  6.1.3. Análise de convergência  6.1.4. Limites de erro em soluções numéricas de equações  6.2. Álgebra linear numérica  6.2.1. Fatoração de matrizes  6.2.2. Cálculo de autovalores  6.2.3. Matrizes esparsas  6.2.4. Técnicas de pré-condicionamento  6.3. Integração e diferenciação numéricas  6.3.1. Métodos de quadratura  6.3.2. Introdução às diferenças finitas  6.3.3. Análise de erro na integração e diferenciação numérica  6.3.4. Métodos adaptativos em integração e diferenciação numérica
  7. Análise complexa  7.1. Números complexos  7.1.1. Forma polar  7.1.2. Conjugados Complexos  7.1.3. Forma exponencial de números complexos  7.1.4. Raízes da unidade  7.2. Funções analíticas  7.2.1. Equações de Cauchy–Riemann  7.2.2. Séries de potências  7.2.3. Mapeamento conforme  7.2.4. Funções harmônicas  7.3. Integração no plano complexo  7.3.1. Teorema de Cauchy  7.3.2. Teorema do resíduo  7.3.3. Integração de contorno  7.3.4. Transformadas integrais
  8. Lógica Matemática e Fundamentos  8.1. Lógica proposicional  8.1.1. Tabelas de verdade  8.1.2. Equivalência lógica na lógica proposicional  8.1.3. Técnicas de prova em lógica proposicional  8.1.4. Solução na lógica proposicional  8.2. Lógica de predicados  8.2.1. Quantificadores na lógica de predicados  8.2.2. Sistemas formais na lógica de predicados  8.2.3. Completude e correção  8.2.4. Teoria dos modelos  8.3. Teoria dos conjuntos  8.3.1. Cardinalidade e ordinalidade  8.3.2. Sistemas axiomáticos  8.3.3. Compreendendo a teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel  8.3.4. Forças na teoria dos conjuntos
  9. Personalização  9.1. Programação linear  9.1.1. Método simplex  9.1.2. Dualidade na programação linear  9.1.3. Análise de sensibilidade em programação linear  9.1.4. Métodos de ponto interior  9.2. Programação não linear  9.2.1. Descida do Gradiente  9.2.2. Múltiplos de Lagrange  9.2.3. Otimização convexa  9.2.4. Programação quadrática  9.3. Otimização Combinatória  9.3.1. Algoritmos de grafos  9.3.2. Programação inteira  9.3.3. Fluxo de Rede  9.3.4. Algoritmos de aproximação
  10. Matemática discreta  10.1. Teoria dos grafos  10.1.1. Representação de grafos  10.1.2. Planicidade e cor  10.1.3. Algoritmo de caminho mais curto  10.1.4. Fluxo de rede  10.2. Companheirismo  10.2.1. Percmutações e combinações  10.2.2. Função geradora  10.2.3. Relação de recorrência  10.2.4. Compreendendo o Princípio da Inclusão-Exclusão  10.3. Criptografia  10.3.1. Aplicações da teoria dos números na criptografia  10.3.2. Criptografia Simétrica e Assimétrica  10.3.3. RSA e criptografia de curva elíptica  10.3.4. Criptografia pós-quântica

Pós-graduação → Análise complexa → Números complexos ↓


Forma exponencial de números complexos


Números complexos são um conceito fundamental na matemática que estende a ideia de uma linha numérica unidimensional para um plano complexo bidimensional. Eles são escritos na forma a + bi, onde a e b são números reais, e i é a unidade imaginária, satisfazendo i 2 = -1.

Representação tradicional

Tipicamente, números complexos são representados na sua forma padrão, onde são expressos como a soma da parte real a e da parte imaginária bi. Isso é conhecido como a forma retangular. No entanto, há outra representação mais atraente e prática conhecida como forma exponencial, que tira proveito da fórmula de Euler.

Compreendendo a fórmula de Euler

A fórmula de Euler é uma equação fundamental na análise complexa que estabelece uma conexão profunda entre exponenciais complexas e funções trigonométricas. Ela é enunciada da seguinte forma:

e iθ = cos(θ) + i*sin(θ)

Exemplo 1:

Para θ = π, a fórmula de Euler dá:

e iπ = cos(π) + i*sin(π) = -1 + i*0 = -1

Portanto, e iπ + 1 = 0, conhecida como a identidade de Euler, é frequentemente celebrada por sua beleza ao conectar cinco constantes matemáticas fundamentais: 0, 1, π, e, e i.

Forma exponencial de um número complexo

Usando a fórmula de Euler, qualquer número complexo pode ser expresso na sua forma exponencial. Dado um número complexo, r(cos θ + i sin θ) em coordenadas polares, ele pode ser reescrito usando a fórmula de Euler como:

z = re iθ

Aqui, r é a magnitude (ou módulo) do número complexo, que é a distância da origem ao ponto no plano complexo. θ é o argumento (ou ângulo), medido a partir do eixo real positivo até a linha que representa o número complexo.

Exemplo 2: Transformação exponencial

Suponha que temos um número complexo z = 1 + i√3. Precisamos convertê-lo para sua forma exponencial:

  1. Calcular a magnitude r:
    r = √(1 2 + (√3) 2) = √4 = 2
  2. Calcular o argumento θ:
    θ = atan2(√3, 1) = π/3
  3. Assim, a forma exponencial é:
    z = 2e iπ/3

Vantagens de usar a forma exponencial

Uma das principais vantagens da forma exponencial dos números complexos é que ela simplifica significativamente operações como multiplicação, divisão e extração de raízes. Na forma exponencial, a multiplicação de números complexos se torna simples: basta multiplicar as magnitudes e somar os ângulos.

Operações com a forma exponencial

Suponha que temos dois números complexos na forma exponencial: z1 = r1e iθ1 e z2 = r2e iθ2. Aqui estão as operações básicas:

Multiplicação de números complexos

z1 * z2 = (r1 * r2)e i(θ1 + θ2)

Exemplo 3: Multiplicação

Seja z1 = 3e iπ/4 e z2 = 2e iπ/6.

z1 * z2 = (3 * 2)e i(π/4 + π/6) = 6e i(5π/12)

Divisão de números complexos

z1 / z2 = (r1 / r2)e i(θ1 - θ2)

Exemplo 4: Divisão

Divida por z1 = 4e iπ/3 z2 = 2e iπ/6.

z1 / z2 = (4 / 2)e i(π/3 - π/6) = 2e iπ/6

Encontrando potências

Para potências usamos a seguinte fórmula:

z n = (r n)e inθ

Exemplo 5: Potências

Seja z = 2e iπ/4. Encontre z 3.

z 3 = (2 3)e i(3π/4) = 8e i3π/4

Encontrando raízes

A n-ésima raiz do número complexo z = re iθ pode ser encontrada da seguinte forma:

z k = r 1/n e i(θ+2kπ)/n para k = 0, 1, ..., n-1

Exemplo 6: Raízes

Encontre a raiz cúbica de z = 8e iπ.

z k = 8 1/3 e i(π+2kπ)/3 para k = 0, 1, 2

Este processo dá as raízes 2e iπ/3, 2e i(π+2π)/3 e 2e i(π+4π)/3.

Visualizando números complexos na forma exponencial

A forma exponencial de um número complexo pode ser vista como uma rotação em torno da origem do plano complexo. No SVG abaixo, assume-se um círculo de raio r centrado na origem, e o ângulo θ representa a rotação em torno do eixo x positivo. Cada número complexo pode ser visto como um ponto neste círculo.

Jade θ R

Conclusão

A forma exponencial de números complexos não é apenas uma maneira diferente de escrever números complexos; ela fornece insights e simplificações, especialmente em cálculo complexo, processamento de sinais e análise de Fourier. Esta forma integra-se perfeitamente com os conceitos de ângulos e rotações, tornando-se valiosa em aplicações teóricas e práticas em vários campos da matemática e engenharia.


Pós-graduação → 7.1.3


U
username
0%
concluído em Pós-graduação

← Anterior (7.1.2)
Conjugados Complexos
Próximo (7.1.4) →
Raízes da unidade

Comentários 



Forma exponencial de números complexos

https://www.buddymath.com/g/7.1.3?bmal=pt