複素数の指数形

複素数は、数学における重要な概念であり、1次元の数直線の考えを2次元の複素平面に拡張します。複素数はa + biの形で表され、aとbは実数であり、iは虚数単位であり、i2 = -1を満たします。

従来の表現

一般的に、複素数は標準形で表され、実部aと虚部biの和として表現されます。これは、長方形形式として知られています。しかし、オイラーの公式を活用したより実用的で説得力のある表現として指数形があります。

オイラーの公式の理解

オイラーの公式は、複素解析における基本的な方程式であり、複素指数と三角関数の間に深い関係を確立しています。次のように述べられます:

eiθ = cos(θ) + i*sin(θ)

例1:

θ = πの場合、オイラーの公式は次を示します:

eiπ = cos(π) + i*sin(π) = -1 + i*0 = -1

したがって、eiπ + 1 = 0はオイラーの恒等式として知られ、0、1、π、e、iの5つの基本的な数学定数を結びつけるため、美しさを称賛されます。

複素数の指数形

オイラーの公式を使用すると、任意の複素数を指数形で表現できます。複素数r(cos θ + i sin θ)が極座標で与えられると、オイラーの公式を使用して次のように書き直すことができます:

z = reiθ

ここで、rは複素数の大きさ（またはモジュラス）であり、複素平面上の点から原点までの距離です。θは正の実数軸から複素数を表す線に向かう角度（または引数）です。

例2: 指数変換

複素数z = 1 + i√3を指数形式に変換する必要があります:

1. 大きさrを計算します:

   r = √(12 + (√3)2) = √4 = 2

2. 引数θを計算します:

   θ = atan2(√3, 1) = π/3

3. したがって、指数形式は次のとおりです:

   z = 2eiπ/3

指数形の利点

複素数の指数形式を使用する主な利点の1つは、掛け算、割り算、平方根抽出などの操作が大幅に簡略化されることです。指数形式では、複素数の掛け算が簡単になり、大きさを掛けて、角度を加えるだけです。

指数形式による操作

指数形式で与えられた2つの複素数z1 = r1eiθ1とz2 = r2eiθ2があるとします。基本操作は次のとおりです:

複素数の掛け算

z1 * z2 = (r1 * r2)ei(θ1 + θ2)

例3: 掛け算

z1 = 3eiπ/4とz2 = 2eiπ/6とします。

z1 * z2 = (3 * 2)ei(π/4 + π/6) = 6ei(5π/12)

複素数の割り算

z1 / z2 = (r1 / r2)ei(θ1 - θ2)

例4: 割り算

z1 = 4eiπ/3をz2 = 2eiπ/6で割ります。

z1 / z2 = (4 / 2)ei(π/3 - π/6) = 2eiπ/6

累乗を求める

累乗には次の公式を使用します:

zn = (rn)einθ

例5: 累乗

z = 2eiπ/4とします。z3を求めます。

z3 = (23)ei(3π/4) = 8ei3π/4

根の求め方

複素数z = reiθの根は次のように求められます:

zk = r1/n ei(θ+2kπ)/n for k = 0, 1, ..., n-1

例6: 根

z = 8eiπの立方根を求めます。

zk = 81/3 ei(π+2kπ)/3 for k = 0, 1, 2

このプロセスで、2eiπ/3、2ei(π+2π)/3、2ei(π+4π)/3の根が得られます。

指数形式で複素数を見る

複素数の指数形式は、複素平面の原点を中心とした回転として見ることができます。以下のSVGでは、原点を中心とし、半径rの円を仮定し、角度θは正のx軸周囲の回転を表します。各複素数は、この円上の点として見ることができます。

結論

複素数の指数形式は、単に複素数を書き換えるための別の方法ではなく、特に複素解析、信号処理、フーリエ解析において洞察と簡略化を提供します。この形式は、角度や回転の概念とシームレスに統合され、数学や工学の多くの分野の理論的および実用的な応用において貴重です。

コメント