जटिल संख्याओं का घातीय रूप

जटिल संख्याएँ गणित में एक मूलभूत अवधारणा हैं जो एक-आयामी संख्या रेखा के विचार को दो-आयामी जटिल विमान तक बढ़ाती हैं। इन्हें a + bi के रूप में लिखा जाता है, जहाँ a और b वास्तविक संख्या हैं, और i काल्पनिक इकाई है, जो i 2 = -1 को संतुष्ट करती है।

परंपरागत निरूपण

आम तौर पर, जटिल संख्याओं को उनके मानक रूप में दर्शाया जाता है, जहाँ इन्हें वास्तविक भाग a और काल्पनिक भाग bi के योग के रूप में व्यक्त किया जाता है। इसे आयताकार रूप के रूप में जाना जाता है। हालांकि, घातीय रूप के रूप में एक दिन के लिए एक आकर्षक और अधिक व्यावहारिक अभ्यrepresentation है, जो यूर की सूत्र का उपयोग करता है।

यूलर का सूत्र समझना

यूलर का सूत्र जटिल विश्लेषण में एक मूलभूत समीकरण है जो जटिल घातांक और त्रिकोणमितीय कार्यों के बीच एक गहरा संबंध स्थापित करता है। इसे निम्नलिखित के रूप में कहा गया है:

e iθ = cos(θ) + i*sin(θ)

उदाहरण 1:

θ = π के लिए, यूलर के सूत्र से मिलता है:

e iπ = cos(π) + i*sin(π) = -1 + i*0 = -1

इसलिए, e iπ + 1 = 0, जिसे यूलर की पहचान के रूप में जाना जाता है, अपनी सुंदरता के लिए अक्सर मनाया जाता है क्योंकि यह पांच मौलिक गणितीय स्थिरांक: 0, 1, π, e, और i को जोड़ता है।

जटिल संख्या का घातीय रूप

यूलर के सूत्र का उपयोग करके, किसी भी जटिल संख्या को उसके घातीय रूप में व्यक्त किया जा सकता है। एक जटिल संख्या r(cos θ + i sin θ) को ध्रुवीय निर्देशांकों में दिया गया, इसे यूलर के सूत्र का उपयोग करके पुनर्लेखित किया जा सकता है:

z = re iθ

यहाँ, r जटिल संख्या का परिमाण (या मानांक) है, जो जटिल विमान में बिंदु से उद्गम की दूरी है। θ तर्क (या कोण) है, जो उद्गम से जटिल संख्या का प्रतिनिधित्व करने वाली रेखा को मापता है।

उदाहरण 2: घातीय परिवर्तन

मान लें कि हमारे पास एक जटिल संख्या z = 1 + i√3 है। हमें इसे इसके घातीय रूप में परिवर्तित करना है:

1. परिमाण r की गणना करें:

   r = √(1 2 + (√3) 2) = √4 = 2

2. तर्क θ की गणना करें:

   θ = atan2(√3, 1) = π/3

3. इस प्रकार, घातीय रूप है:

   z = 2e iπ/3

घातीय रूप के उपयोग के लाभ

जटिल संख्याओं के घातीय रूप के मुख्य लाभों में से एक यह है कि यह गुणा, भाजन, और मूल निष्कर्षण जैसे संचालन को बहुत सरल करता है। घातीय रूप में, जटिल संख्या गुणा सरल बन जाता है: बस परिमाण को गुणा करें और कोणों को जोड़ दें।

घातीय रूप के साथ संक्रियाएँ

मान लें कि हमारे पास दो जटिल संख्याएँ घातीय रूप में हैं: z1 = r1e iθ1 और z2 = r2e iθ2। यहाँ मूल संचालन हैं:

जटिल संख्याओं का गुणा

z1 * z2 = (r1 * r2)e i(θ1 + θ2)

उदाहरण 3: गुणा

मान लें कि z1 = 3e iπ/4 और z2 = 2e iπ/6 ।

z1 * z2 = (3 * 2)e i(π/4 + π/6) = 6e i(5π/12)

जटिल संख्याओं का भाजन

z1 / z2 = (r1 / r2)e i(θ1 - θ2)

उदाहरण 4: भाजन

z1 = 4e iπ/3 z2 = 2e iπ/6 द्वारा भाग दें।

z1 / z2 = (4 / 2)e i(π/3 - π/6) = 2e iπ/6

घातों का पता लगाना

घातों के लिए हम निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करते हैं:

z n = (r n)e i nθ

उदाहरण 5: घात

मान लें कि z = 2e iπ/4। z 3 ज्ञात करें।

z3 = (23)e i(3π/4) = 8e i3π/4

मूल निष्कर्षण

z = re iθ जटिल संख्या का n मूल निम्नलिखित प्रकार से निकाला जा सकता है:

z k = r 1/n e i(θ+2kπ)/n for k = 0, 1, ..., n-1

उदाहरण 6: मूल

z = 8e iπ का घन मूल निकालें।

z k = 8 1/3 e i(π+2kπ)/3 for k = 0, 1, 2

यह प्रक्रिया निम्नलिखित मूल देती है: 2e iπ/3, 2e i(π+2π)/3, और 2e i(π+4π)/3।

घातीय रूप में जटिल संख्याओं को देखना

एक जटिल संख्या का घातीय रूप जटिल विमान के उद्गम के चारों ओर घूमने के रूप में देखा जा सकता है। नीचे दिए गए एसवीजी में, उद्गम पर केंद्रित r त्रिज्या के घेरा मान लें, और θ कोण सकारात्मक x-अक्ष के बारे में घुमाव को दर्शाता है। प्रत्येक जटिल संख्या को इस घेरे के एक बिंदु के रूप में देखा जा सकता है।

निष्कर्ष

जटिल संख्याओं का घातीय रूप केवल जटिल संख्याओं को लिखने का एक अलग तरीका नहीं है; यह अंतर्दृष्टि और सरलीकरण प्रदान करता है, विशेष रूप से जटिल कलन, सिग्नल प्रोसेसिंग, और फूरियर विश्लेषण में। यह रूप कोणों और घूर्णनों की अवधारणाओं के साथ निर्बाध रूप से एकीकृत होता है, जिससे यह गणित और इंजीनियरिंग के विभिन्न क्षेत्रों में सैद्धांतिक और व्यावहारिक अनुप्रयोगों में अमूल्य बन जाता है।

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