Магистратура
  1. Введение в математический анализ  1.1. Теория множеств и логика в реальном анализе  1.1.1. Множества и операции в теории множеств и логике в реальном анализе  1.1.2. Отношения и функции  1.1.3. Логика и кванторы  1.1.4. Мощность множеств  1.2. Метрика  1.2.1. Введение в открытые и замкнутые множества в метрических пространствах  1.2.2. Сходимость последовательностей в метрическом пространстве  1.2.3. Непрерывная функция в метрическом пространстве  1.2.4. Компактность и полнота в метрических пространствах в реальном анализе  1.3. Последовательности и ряды  1.3.1. Сходимость последовательностей  1.3.2. Бесконечные ряды  1.3.3. Равномерная сходимость  1.3.4. Ряды степеней  1.4. Дискриминация  1.4.1. Теорема о среднем значении  1.4.2. Ряд Тейлора  1.4.3. Функции нескольких переменных  1.4.4. Частная производная  1.5. Интеграция  1.5.1. Интегрирование Римана и Лебега  1.5.2. Неправильные интегралы  1.5.3. Теория меры: фундаментальный инструмент в интеграции  1.5.4. Теорема Фубини  1.6. Функциональный анализ  1.6.1. Понимание пространства Банака  1.6.2. Пространства Гильберта  1.6.3. Операторы на пространствах  1.6.4. Спектральная теория
  2. Абстрактная алгебра  2.1. Понимание групп в абстрактной алгебре  2.1.1. Определения и примеры групп в абстрактной алгебре  2.1.2. Гомоморфизмы групп  2.1.3. Введение в нормальные подгруппы  2.1.4. Теорема Силова  2.2. Кольца и поля  2.2.1. Идеалы и фактор-кольца  2.2.2. Расширения полей  2.2.3. Теория Галуа  2.2.4. Полиномиальные кольца  2.3. Введение в модули в абстрактной алгебре  2.3.1. Гомоморфизм модуля  2.3.2. Свободные модули  2.3.3. Введение в тензорные произведения  2.3.4. Точная последовательность в модулях  2.4. Линейная алгебра  2.4.1. Векторное пространство  2.4.2. Собственные значения и собственные векторы  2.4.3. Векторное пространство с внутренним произведением  2.4.4. Диагонализация
  3. Топология  3.1. Общая топология  3.1.1. Открытые и закрытые множества  3.1.2. Компактность и связность  3.1.3. Непрерывные отображения  3.1.4. Аксиома отделимости  3.2. Алгебраическая топология  3.2.1. Понимание фундаментальных групп в алгебраической топологии  3.2.2. Гомотопия и гомология  3.2.3. Симплициальный комплекс  3.2.4. Точные последовательности в гомологии  3.3. Дифференциальная топология  3.3.1. Понимание многообразий в дифференциальной топологии  3.3.2. Гладкие функции  3.3.3. Тангенциальное и котангенциальное пространство  3.3.4. Векторные расслоения
  4. Дифференциальные уравнения  4.1. Обыкновенные дифференциальные уравнения  4.1.1. Дифференциальные уравнения первого порядка  4.1.2. Линейные уравнения второго порядка  4.1.3. Системы дифференциальных уравнений  4.1.4. Анализ устойчивости в обыкновенных дифференциальных уравнениях  4.2. Частные дифференциальные уравнения  4.2.1. Классификация уравнений с частными производными  4.2.2. Понимание рядов Фурье в уравнениях с частными производными  4.2.3. Введение в функции Грина  4.2.4. Метод характеристик  4.3. Динамические системы в дифференциальных уравнениях  4.3.1. Теория устойчивости  4.3.2. Предельные циклы в динамических системах  4.3.3. Теория хаоса  4.3.4. Теория бифуркаций
  5. Теория вероятностей и статистика  5.1. Теория вероятностей  5.1.1. Случайные переменные  5.1.2. Распределения вероятностей  5.1.3. Закон больших чисел  5.1.4. Центральная предельная теорема  5.2. Статистическое вывод  5.2.1. Проверка гипотез  5.2.2. Доверительный интервал  5.2.3. Байесовские методы  5.2.4. Метод максимального правдоподобия  5.3. Стохастические процессы  5.3.1. Цепи Маркова  5.3.2. Броуновское движение  5.3.3. Понимание процессов Пуассона  5.3.4. Мартингейлы: всестороннее исследование в вероятности и статистике
  6. Численный анализ  6.1. Численное решение уравнений  6.1.1. Оригинальное открытие  6.1.2. Итерационные методы  6.1.3. Анализ сходимости  6.1.4. Границы ошибок в численных решениях уравнений  6.2. Численная линейная алгебра  6.2.1. Факторизация матриц  6.2.2. Вычисление собственных значений  6.2.3. Разреженные матрицы  6.2.4. Методы предобработки  6.3. Численное интегрирование и дифференцирование  6.3.1. Методы квадратур  6.3.2. Введение в конечные разности  6.3.3. Анализ ошибок в численном интегрировании и дифференцировании  6.3.4. Адаптивные методы в численном интегрировании и дифференцировании
  7. Комплексный анализ  7.1. Комплексные числа  7.1.1. Полярная форма  7.1.2. Комплексные сопряженные  7.1.3. Экспоненциальная форма комплексных чисел  7.1.4. Корни из единицы  7.2. Аналитические функции  7.2.1. Уравнения Коши — Римана  7.2.2. Степенные ряды  7.2.3. Конформное отображение  7.2.4. Гармонические функции  7.3. Интегрирование на комплексной плоскости  7.3.1. Теорема Коши  7.3.2. Теорема о вычетах  7.3.3. Контурное интегрирование  7.3.4. Интегральные преобразования
  8. Математическая логика и основания  8.1. Пропозициональная логика  8.1.1. Таблицы истинности  8.1.2. Логическая эквивалентность в пропозициональной логике  8.1.3. Техники доказательства в пропозициональной логике  8.1.4. Решение в пропозициональной логике  8.2. Логика предикатов  8.2.1. Кванторы в предикатной логике  8.2.2. Формальные системы в предикатной логике  8.2.3. Полнота и правильность  8.2.4. Модельная теория  8.3. Теория множеств  8.3.1. Кардинальность и ординальность  8.3.2. Аксиоматические системы  8.3.3. Понимание теории множеств Цермело-Френкеля  8.3.4. Силы в теории множества
  9. Настройка  9.1. Линейное программирование  9.1.1. Метод симплекс  9.1.2. Двойственность в линейном программировании  9.1.3. Анализ чувствительности в линейном программировании  9.1.4. Методы внутренних точек  9.2. Нелинейное программирование  9.2.1. Градиентный спуск  9.2.2. Множители Лагранжа  9.2.3. Выпуклая оптимизация  9.2.4. Квадратичное программирование  9.3. Комбинаторная оптимизация  9.3.1. Алгоритмы графов  9.3.2. Целочисленное программирование  9.3.3. Сетевой поток  9.3.4. Алгоритмы аппроксимации
  10. Дискретная математика  10.1. Теория графов  10.1.1. Представление графов  10.1.2. Плоскость и цвет  10.1.3. Алгоритм поиска кратчайшего пути  10.1.4. Сетевой поток  10.2. Компаньонство  10.2.1. Перестановка и сочетание  10.2.2. Порождающая функция  10.2.3. Рекуррентные соотношения  10.2.4. Понимание принципа включения-исключения  10.3. Криптография  10.3.1. Применение теории чисел в криптографии  10.3.2. Симметричное и асимметричное шифрование  10.3.3. RSA и криптография на эллиптических кривых  10.3.4. Постквантовая криптография

Магистратура → Комплексный анализ → Комплексные числа ↓


Комплексные сопряженные


Комплексные числа являются неотъемлемой частью современной математики, как теоретической, так и практической. Они расширяют концепцию одномерных действительных чисел на двумерную комплексную плоскость, вводя мнимую составляющую в действительную часть. Комплексные числа обычно выражаются как:

z = a + bi

Здесь a — действительная часть, а b — мнимая часть комплексного числа z. Термин i — это мнимая единица, определяющим свойством которой является i2 = -1.

Определение комплексных сопряженных

Комплексное сопряженное комплексного числа — это простая, но мощная концепция. Для заданного комплексного числа z = a + bi комплексное сопряженное записывается как:

z̅ = a - bi

Фактически, комплексное сопряженное получается путем изменения знака мнимой части при сохранении действительной части. В аналогии с действительной числовой линией это похоже на отражение через действительную часть, так как лежит на той же вертикальной линии в комплексной плоскости.

z = a + bi z̅ = a - bi снова я

Свойства комплексных сопряженных

Комплексные сопряженные обладают несколькими важными свойствами, которые делают их особенно полезными в комплексном анализе и линейной алгебре. Некоторые из этих свойств следующие:

1. Сопряженное сопряженного

Если взять сопряженное от сопряженного, то получим исходное число:

z = (z̅)̅

В словах, если взять сопряженное от комплексного числа дважды, то вернемся к исходному комплексному числу.

2. Сложение и вычитание

Сопряженное от суммы (или разности) двух комплексных чисел равно сумме (или разности) их сопряженных:

(z + w)̅ = z̅ + w̅
(z - w)̅ = z̅ - w̅

Это свойство становится простым, если подставить определения комплексных сопряженных.

3. Умножение

Сопряженное от произведения двух комплексных чисел равно произведению их сопряженных:

(zw)̅ = z̅w̅

Используя дистрибутивное свойство, можно проверить этот результат, перемножив комплексные числа и затем взяв сопряженное от результата.

4. Деление

Сопряженное от частного двух комплексных чисел равно частному от их сопряженных:

(z/w)̅ = z̅/w̅

Для этого и числитель, и знаменатель должны быть умножены на сопряженное знаменателя, что приводит к упрощению.

5. Модуль

Модуль комплексного числа инвариантен при сопряжении:

|z̅| = |z|

В геометрических терминах и z, и z̅ находятся на одинаковом расстоянии от начала координат в комплексной плоскости, поскольку они являются отражениями друг друга на действительной оси.

Применения комплексных сопряженных

Концепция комплексных сопряженных не является только теоретической; она имеет практическое применение в различных областях, таких как инженерия, физика и информатика.

Упрощенное вычисление деления

Комплексные сопряженные могут упростить деление комплексных чисел. Дано два комплексных числа:

z = a + bi
w = c + di

Деление z/w можно упростить, умножив числитель и знаменатель на сопряженное от знаменателя:

(a + bi) / (c + di) = [(a + bi)(c - di)] / [(c + di)(c - di)]

Упрощая путем перемножения, получаем результат в стандартной форме комплексного числа. Это типичное решение в электротехнике при расчете импеданса в цепях переменного тока.

Корни полиномов

В полиномиальных уравнениях с действительными коэффициентами теорема о сопряженных корнях гласит, что если комплексное число является корнем, то его сопряженное также является корнем. Например, если z = a + bi — корень, то z̅ = a - bi также должно быть корнем. Это важно в таких областях, как обработка сигналов и системы управления.

Комплексное преобразование Фурье

В цифровой обработке сигналов преобразование Фурье часто приводит к комплексным числам. Комплексное сопряженное часто используется для расчета действительных функций и энергий. В частности, симметричные свойства коэффициентов Фурье относительно нуля существенно используют комплексные сопряженные.

Геометрическая интерпретация

Геометрически комплексное сопряжение представляет собой движение точки в комплексной плоскости через действительную ось. Если точка (a, b) представлена комплексным числом a + bi, то ее сопряженное a - bi будет лежать в точке (a, -b). Это может быть интуитивный способ взглянуть на операции с комплексными сопряженными.

Заключение

Комплексные сопряженные являются фундаментом в области комплексных чисел. Они предоставляют важный инструмент в математических операциях с комплексными числами и имеют приложения от упрощения математических выражений до решения практических задач в инженерии и физике. Понимание комплексных сопряженных, их свойств и использования может значительно повысить вашу компетентность при работе с комплексными числами.


Магистратура → 7.1.2


U
username
0%
завершено в Магистратура

← предыдущая (7.1.1)
Полярная форма
следующая (7.1.3) →
Экспоненциальная форма комплексных чисел

комментарии 



Комплексные сопряженные

https://www.buddymath.com/g/7.1.2?bmal=ru