Pós-graduação
  1. Introdução à análise real  1.1. Teoria dos conjuntos e lógica em análise real  1.1.1. Conjuntos e operações na teoria dos conjuntos e lógica em análise real  1.1.2. Relações e funções  1.1.3. Lógica e quantificadores  1.1.4. Cardinalidade dos conjuntos  1.2. Espaço métrico  1.2.1. Introdução aos conjuntos abertos e fechados em espaços métricos  1.2.2. Convergência de sequências em um espaço métrico  1.2.3. Função contínua em um espaço métrico  1.2.4. Compacidade e completude em espaços métricos na análise real  1.3. Sequências e séries  1.3.1. Convergência de sequências  1.3.2. Séries infinitas  1.3.3. Convergência uniforme  1.3.4. Séries de potências  1.4. Discriminação  1.4.1. Teorema do valor médio  1.4.2. Série de Taylor  1.4.3. Funções de várias variáveis  1.4.4. Derivada parcial  1.5. Integração  1.5.1. Integração de Riemann e Lebesgue  1.5.2. Integrais impróprias  1.5.3. Teoria da Medida: uma ferramenta fundamental na integração  1.5.4. Teorema de Fubini  1.6. Análise funcional  1.6.1. Compreendendo espaços de Banach  1.6.2. Espaços de Hilbert  1.6.3. Operadores em espaços  1.6.4. Teoria Espectral
  2. Álgebra Abstrata  2.1. Compreendendo grupos na álgebra abstrata  2.1.1. Definições e exemplos de grupos na álgebra abstrata  2.1.2. Homomorfismos de grupos  2.1.3. Introdução aos subgrupos normais  2.1.4. Teorema de Sylow  2.2. Anéis e campos  2.2.1. Ideais e anéis quocientes  2.2.2. Extensões de campos  2.2.3. Teoria de Galois  2.2.4. Anéis de polinômios  2.3. Introdução aos módulos em álgebra abstrata  2.3.1. Homomorfismo de Módulos  2.3.2. Módulos livres  2.3.3. Introdução aos produtos tensoriais  2.3.4. Sequência exata em módulos  2.4. Álgebra linear  2.4.1. Espaço vetorial  2.4.2. Autovalores e autovetores  2.4.3. Espaço de produto interno  2.4.4. Diagonalização
  3. Topologia  3.1. Topologia Geral  3.1.1. Conjuntos abertos e fechados  3.1.2. Compacidade e conexidade  3.1.3. Mapas contínuos  3.1.4. Axioma de separação  3.2. Topologia algébrica  3.2.1. Compreendendo grupos fundamentais em topologia algébrica  3.2.2. Homotopia e homologia  3.2.3. Complexo simplicial  3.2.4. Sequências exatas em homologia  3.3. Topologia Diferencial  3.3.1. Compreendendo variedades na topologia diferencial  3.3.2. Funções Suaves  3.3.3. Espaço tangente e cotangente  3.3.4. Feixes vetoriais
  4. Equações diferenciais  4.1. Equação diferencial ordinária  4.1.1. Equações de primeira ordem  4.1.2. Equações lineares de segunda ordem  4.1.3. Sistemas de equações diferenciais  4.1.4. Análise de estabilidade em equações diferenciais ordinárias  4.2. Equações diferenciais parciais  4.2.1. Classificação de PDE  4.2.2. Compreendendo séries de Fourier em equações diferenciais parciais  4.2.3. Introdução às funções de Green  4.2.4. Método de caracterização  4.3. Sistemas dinâmicos em equações diferenciais  4.3.1. Teoria da Sustentabilidade  4.3.2. Ciclos limite em sistemas dinâmicos  4.3.3. Teoria do caos  4.3.4. Teoria da bifurcação
  5. Probabilidade e estatística  5.1. Teoria da probabilidade  5.1.1. Variáveis aleatórias  5.1.2. Distribuições de probabilidade  5.1.3. Lei dos grandes números  5.1.4. Teorema Central do Limite  5.2. Inferência estatística  5.2.1. Teste de hipótese  5.2.2. Intervalo de confiança  5.2.3. Métodos bayesianos  5.2.4. Estimativa de máxima verossimilhança  5.3. Processos estocásticos  5.3.1. Cadeias de Markov  5.3.2. Movimento Browniano  5.3.3. Compreendendo os processos de Poisson  5.3.4. Martingales: Um estudo abrangente em probabilidade e estatística
  6. Análise numérica  6.1. Soluções numéricas de equações  6.1.1. Descoberta original  6.1.2. Métodos iterativos  6.1.3. Análise de convergência  6.1.4. Limites de erro em soluções numéricas de equações  6.2. Álgebra linear numérica  6.2.1. Fatoração de matrizes  6.2.2. Cálculo de autovalores  6.2.3. Matrizes esparsas  6.2.4. Técnicas de pré-condicionamento  6.3. Integração e diferenciação numéricas  6.3.1. Métodos de quadratura  6.3.2. Introdução às diferenças finitas  6.3.3. Análise de erro na integração e diferenciação numérica  6.3.4. Métodos adaptativos em integração e diferenciação numérica
  7. Análise complexa  7.1. Números complexos  7.1.1. Forma polar  7.1.2. Conjugados Complexos  7.1.3. Forma exponencial de números complexos  7.1.4. Raízes da unidade  7.2. Funções analíticas  7.2.1. Equações de Cauchy–Riemann  7.2.2. Séries de potências  7.2.3. Mapeamento conforme  7.2.4. Funções harmônicas  7.3. Integração no plano complexo  7.3.1. Teorema de Cauchy  7.3.2. Teorema do resíduo  7.3.3. Integração de contorno  7.3.4. Transformadas integrais
  8. Lógica Matemática e Fundamentos  8.1. Lógica proposicional  8.1.1. Tabelas de verdade  8.1.2. Equivalência lógica na lógica proposicional  8.1.3. Técnicas de prova em lógica proposicional  8.1.4. Solução na lógica proposicional  8.2. Lógica de predicados  8.2.1. Quantificadores na lógica de predicados  8.2.2. Sistemas formais na lógica de predicados  8.2.3. Completude e correção  8.2.4. Teoria dos modelos  8.3. Teoria dos conjuntos  8.3.1. Cardinalidade e ordinalidade  8.3.2. Sistemas axiomáticos  8.3.3. Compreendendo a teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel  8.3.4. Forças na teoria dos conjuntos
  9. Personalização  9.1. Programação linear  9.1.1. Método simplex  9.1.2. Dualidade na programação linear  9.1.3. Análise de sensibilidade em programação linear  9.1.4. Métodos de ponto interior  9.2. Programação não linear  9.2.1. Descida do Gradiente  9.2.2. Múltiplos de Lagrange  9.2.3. Otimização convexa  9.2.4. Programação quadrática  9.3. Otimização Combinatória  9.3.1. Algoritmos de grafos  9.3.2. Programação inteira  9.3.3. Fluxo de Rede  9.3.4. Algoritmos de aproximação
  10. Matemática discreta  10.1. Teoria dos grafos  10.1.1. Representação de grafos  10.1.2. Planicidade e cor  10.1.3. Algoritmo de caminho mais curto  10.1.4. Fluxo de rede  10.2. Companheirismo  10.2.1. Percmutações e combinações  10.2.2. Função geradora  10.2.3. Relação de recorrência  10.2.4. Compreendendo o Princípio da Inclusão-Exclusão  10.3. Criptografia  10.3.1. Aplicações da teoria dos números na criptografia  10.3.2. Criptografia Simétrica e Assimétrica  10.3.3. RSA e criptografia de curva elíptica  10.3.4. Criptografia pós-quântica

Pós-graduação ↓


Análise numérica


A análise numérica é um ramo da matemática que se concentra no desenvolvimento e análise de algoritmos para obter soluções numéricas para problemas matemáticos. Esses problemas podem variar desde equações simples até modelos complexos frequentemente encontrados na ciência e engenharia.

Introdução

O objetivo principal é desenvolver métodos que sejam eficientes em cálculos e forneçam um alto nível de precisão. A análise numérica encontra relevância em áreas onde soluções analíticas são difíceis ou impossíveis de obter.

Considere o problema de encontrar as raízes de uma equação polinomial:

f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0

Enquanto alguns polinômios podem ser facilmente fatorados, muitos requerem métodos numéricos para encontrar soluções aproximadas.

Conceitos básicos

A análise numérica envolve vários cálculos e estimativas. Vamos discutir os principais conceitos com exemplos simples.

Erros na análise numérica

Nenhum cálculo numérico pode ser completamente preciso, e erros são uma parte inerente da análise numérica. Existem principalmente dois tipos de erros:

  • Erro de truncamento: Esse tipo de erro surge quando um processo infinito é aproximado por um processo finito.
  • Erros de arredondamento: Esses erros são causados pela precisão finita usada por computadores para representar números.

Por exemplo, a expansão em série para a função exponencial ( e^x ) é:

e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...

Aproximar essa série parando em um número finito de termos leva a erro de redução.

Convergência

Convergência refere-se a se uma sequência de aproximações se aproxima da solução exata. Um algoritmo numérico é dito convergir quando o resultado se aproxima do valor verdadeiro à medida que o número de iterações aumenta.

Considere um procedimento iterativo simples para aproximar a raiz quadrada de um número ( a ), conhecido como método Babilônico:

x_0 = a/2 x_{n+1} = 0.5 * (x_n + a/x_n)

Se você aplicar esse método, verá que a sequência converge para ( sqrt{a} ).

Métodos numéricos

Diferentes métodos numéricos ajudam a resolver diferentes problemas matemáticos. Discutiremos alguns métodos comuns.

Métodos para encontrar a raiz

Encontrar as raízes de equações é um problema popular na análise numérica. A raiz da equação ( f(x) = 0 ) é um valor ( x ) tal que ( f(x) = 0 ). Métodos comuns incluem:

Método da bisseção

O método da bisseção é um método simples e robusto para encontrar as raízes de uma função. Funciona dividindo repetidamente um intervalo e, em seguida, selecionando um subintervalo no qual uma raiz deve existir.

Suponha que você queira encontrar a raiz de uma função ( f(x) ). Os passos são os seguintes:

  1. Escolha dois pontos iniciais ( a ) e ( b ) tais que ( f(a) ) e ( f(b) ) tenham sinais opostos.
  2. Calcule o ponto médio ( c = (a + b) / 2 ).
  3. Se ( f(c) = 0 ), ( c ) é a origem. Caso contrário, decida o lado a manter: se ( f(a) ) e ( f(c) ) tiverem sinais opostos, substitua ( b = c ); caso contrário, substitua ( a = c ).
  4. Continue o processo até que ( |a - b| ) seja menor que a tolerância desejada.

Este método é representado visualmente da seguinte forma:

(a, f(a)) (b, f(b)) (c, f(c))

Método de Newton

O método de Newton, ou método de Newton-Raphson, é um método iterativo eficiente para encontrar raízes, especialmente quando se começa com um bom palpite inicial. Ele usa a derivada da função para estimar as raízes.

Dada uma função ( f(x) ) com um palpite inicial ( x_0 ), o método usa a fórmula:

x_{n+1} = x_n - f(x_n)/f'(x_n)

Por exemplo, vamos aplicar o método de Newton para encontrar a raiz de ( f(x) = x^2 - 612 ).

  1. Palpite inicial ( x_0 = 10 ).
  2. Calcule ( x_1 = x_0 - (x_0^2 - 612) / (2 * x_0) ).
  3. Repita até que a precisão desejada seja alcançada.

Este método converge rapidamente, tornando-o adequado para problemas onde a derivada é fácil de avaliar.

Integração numérica

A integração numérica é importante quando a antiderivada de uma função não é fácil de encontrar ou não existe em termos de funções elementares.

Regra do trapézio

A regra do trapézio aproxima a integral de uma função ( f(x) ) sobre o intervalo ([a, b]) dividindo a área sob a curva em trapézios.

A fórmula para a regra do trapézio é:

[int_a^bf(x) ,dx approx frac{ba}{2}(f(a) + f(b))]

Este método pode ser estendido para múltiplos subintervalos para aumentar a precisão.

A B

Regra de Simpson

A regra de Simpson é outra técnica poderosa que aproxima a integral de ( f(x) ) usando uma parábola para aproximar a curva.

A fórmula para a regra de Simpson é:

[int_a^bf(x) ,dx approx frac{ba}{6}(f(a) + 4f((a+b)/2) + f(b))]

A regra de Simpson geralmente oferece melhor precisão do que a regra do trapézio em intervalos iguais.

Álgebra linear numérica

A álgebra linear numérica concentra-se em algoritmos para realizar várias operações em matrizes e resolver problemas de álgebra linear.

Resolução de sistemas de equações lineares

Muitos problemas científicos podem ser modelados como sistemas de equações lineares. Tais sistemas são frequentemente representados como:

Ax = b

onde ( A ) é uma matriz, ( x ) é um vetor de variáveis, e ( b ) é um vetor de constantes. Vários métodos são usados para resolver esses sistemas.

Eliminação gaussiana

A eliminação gaussiana reduz sistematicamente o sistema à forma triangular superior, facilitando a solução por substituição para trás.

  • Comece com o sistema de equações representado por uma matriz.
  • Use operações de linha para converter a matriz em forma escalonada por linhas.
  • Realize a substituição para trás para encontrar soluções para as variáveis.

Decomposição LU

A decomposição LU decompõe a matriz ( A ) em um produto ( LU ), onde ( L ) é uma matriz triangular inferior e ( U ) é uma matriz triangular superior. Isso torna mais simples resolver o sistema por substituição.

Aplicações no mundo real

A análise numérica é importante em uma variedade de campos. Considere a modelagem climática, onde equações diferenciais complexas não podem ser resolvidas analiticamente. Métodos numéricos aproximam as soluções, ajudando a prever padrões climáticos. Da mesma forma, na engenharia estrutural, técnicas numéricas simulam tensões e deformações para projetar edifícios mais seguros.

Conclusão

A análise numérica fornece ferramentas poderosas para resolver problemas matemáticos numericamente. Seja lidando com equações algébricas, equações diferenciais ou problemas de otimização, as técnicas discutidas são vitais. O domínio da análise numérica combina perspicácia matemática com eficiência computacional, tornando-a indispensável em aplicações científicas e de engenharia.


Pós-graduação → 6


U
username
0%
concluído em Pós-graduação

← Anterior (5.3.4)
Martingales: Um estudo abrangente em probabilidade e estatística
Próximo (6.1) →
Soluções numéricas de equações

Comentários 



Análise numérica

https://www.buddymath.com/g/6?bmal=pt