Posgrado
  1. Introducción al análisis real  1.1. Teoría de conjuntos y lógica en el análisis real  1.1.1. Conjuntos y operaciones en teoría de conjuntos y lógica en análisis real  1.1.2. Relaciones y funciones  1.1.3. Lógica y cuantificadores  1.1.4. Cardinalidad de conjuntos  1.2. Espacio métrico  1.2.1. Introducción a conjuntos abiertos y cerrados en espacios métricos  1.2.2. Convergencia de secuencias en un espacio métrico  1.2.3. Función continua en un espacio métrico  1.2.4. Compacidad y completitud en espacios métricos en análisis real  1.3. Secuencias y series  1.3.1. Convergencia de secuencias  1.3.2. Series infinitas  1.3.3. Convergencia uniforme  1.3.4. Serie de potencias  1.4. Discriminación  1.4.1. Teorema del valor medio  1.4.2. Serie de Taylor  1.4.3. Funciones de varias variables  1.4.4. Derivada parcial  1.5. Integración  1.5.1. Integración de Riemann y Lebesgue  1.5.2. Integrales impropias  1.5.3. Teoría de la medida: una herramienta fundamental en la integración  1.5.4. Teorema de Fubini  1.6. Análisis funcional  1.6.1. Comprendiendo los espacios de Banach  1.6.2. Espacios de Hilbert  1.6.3. Operadores en espacios  1.6.4. Teoría espectral
  2. Álgebra abstracta  2.1. Entendiendo los grupos en el álgebra abstracta  2.1.1. Definiciones y ejemplos de grupos en álgebra abstracta  2.1.2. Homomorfismos de grupos  2.1.3. Introducción a los subgrupos normales  2.1.4. Teorema de Sylow  2.2. Anillos y campos  2.2.1. Ideales y anillos cociente  2.2.2. Extensiones de campos  2.2.3. Teoría de Galois  2.2.4. Anillos de polinomios  2.3. Introducción a los módulos en álgebra abstracta  2.3.1. Homomorfismo de módulos  2.3.2. Módulos libres  2.3.3. Introducción a los productos tensoriales  2.3.4. Secuencia exacta en módulos  2.4. Álgebra lineal  2.4.1. Espacio vectorial  2.4.2. Autovalores y autovectores  2.4.3. Espacio de producto interior  2.4.4. Diagonalización
  3. Topología  3.1. Topología general  3.1.1. Conjuntos abiertos y cerrados  3.1.2. Compacidad y conexión  3.1.3. Mapas continuos  3.1.4. Axioma de separación  3.2. Topología algebraica  3.2.1. Comprensión de los grupos fundamentales en la topología algebraica  3.2.2. Homotopía y homología  3.2.3. Complejo simplicial  3.2.4. Secuencias exactas en homología  3.3. Topología diferencial  3.3.1. Comprendiendo las variedades en topología diferencial  3.3.2. Funcionamiento suave  3.3.3. Espacio tangente y cotangente  3.3.4. Fibrados vectoriales
  4. Ecuaciones diferenciales  4.1. Ecuación diferencial ordinaria  4.1.1. Ecuaciones de primer orden  4.1.2. Ecuaciones lineales de segundo orden  4.1.3. Sistemas de ecuaciones diferenciales  4.1.4. Análisis de estabilidad en ecuaciones diferenciales ordinarias  4.2. Ecuaciones en derivadas parciales  4.2.1. Clasificación de EDP  4.2.2. Entendiendo las series de Fourier en ecuaciones diferenciales parciales  4.2.3. Introducción a las funciones de Green  4.2.4. Método de caracterización  4.3. Sistemas dinámicos en ecuaciones diferenciales  4.3.1. Teoría de la sostenibilidad  4.3.2. Ciclos límite en sistemas dinámicos  4.3.3. Teoría del caos  4.3.4. Teoría de bifurcación
  5. Probabilidad y estadística  5.1. Teoría de la probabilidad  5.1.1. Variables aleatorias  5.1.2. Distribuciones de probabilidad  5.1.3. Ley de los grandes números  5.1.4. Teorema del límite central  5.2. Inferencia estadística  5.2.1. Pruebas de hipótesis  5.2.2. Intervalo de confianza  5.2.3. Métodos bayesianos  5.2.4. Estimación de máxima verosimilitud  5.3. Procesos estocásticos  5.3.1. Cadenas de Markov  5.3.2. Movimiento browniano  5.3.3. Comprendiendo los procesos de Poisson  5.3.4. Martingalas: Un estudio integral en probabilidad y estadística
  6. Análisis numérico  6.1. Soluciones numéricas de ecuaciones  6.1.1. Descubrimiento original  6.1.2. Métodos iterativos  6.1.3. Análisis de convergencia  6.1.4. Cotas de error en soluciones numéricas de ecuaciones  6.2. Álgebra lineal numérica  6.2.1. Factorización de matrices  6.2.2. Cálculo de valores propios  6.2.3. Matrices dispersas  6.2.4. Técnicas de preacondicionamiento  6.3. Integración y diferenciación numérica  6.3.1. Métodos de cuadratura  6.3.2. Introducción a las diferencias finitas  6.3.3. Análisis de errores en la integración y diferenciación numérica  6.3.4. Métodos adaptativos en integración y diferenciación numérica
  7. Análisis complejo  7.1. Números complejos  7.1.1. Forma polar  7.1.2. Conjugados complejos  7.1.3. Forma exponencial de los números complejos  7.1.4. Raíces de la unidad  7.2. Funciones analíticas  7.2.1. Ecuaciones de Cauchy–Riemann  7.2.2. Series de potencias  7.2.3. Mapeo conforme  7.2.4. Funciones armónicas  7.3. Integración en el plano complejo  7.3.1. Teorema de Cauchy  7.3.2. Teorema del residuo  7.3.3. Integración de contornos  7.3.4. Transformaciones integrales
  8. Lógica matemática y fundamentos  8.1. Lógica proposicional  8.1.1. Tablas de verdad  8.1.2. Equivalencia lógica en la lógica proposicional  8.1.3. Técnicas de demostración en lógica proposicional  8.1.4. Solución en lógica proposicional  8.2. Lógica de predicados  8.2.1. Cuantificadores en lógica de predicados  8.2.2. Sistemas formales en lógica de predicados  8.2.3. Integridad y solidez  8.2.4. Teoría de modelos  8.3. Teoría de conjuntos  8.3.1. Cardinalidad y ordinalidad  8.3.2. Sistemas axiomáticos  8.3.3. Comprender la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel  8.3.4. Fuerzas en la teoría de conjuntos
  9. Personalización  9.1. Programación lineal  9.1.1. Método simplex  9.1.2. Dualidad en la programación lineal  9.1.3. Análisis de sensibilidad en programación lineal  9.1.4. Métodos de punto interior  9.2. Programación no lineal  9.2.1. Descenso de gradiente  9.2.2. Multiplicadores de Lagrange  9.2.3. Optimización convexa  9.2.4. Programación cuadrática  9.3. Optimización Combinatoria  9.3.1. Algoritmos de grafos  9.3.2. Programación entera  9.3.3. Flujo de red  9.3.4. Algoritmos de aproximación
  10. Matemáticas discretas  10.1. Teoría de grafos  10.1.1. Representación de grafos  10.1.2. Llanura y color  10.1.3. Algoritmo de camino más corto  10.1.4. Flujo de red  10.2. Compañerismo  10.2.1. Permutación y combinación  10.2.2. Función generadora  10.2.3. Relación de recurrencia  10.2.4. Comprendiendo el Principio de Inclusión-Exclusión  10.3. Criptografía  10.3.1. Aplicaciones de la teoría de números en criptografía  10.3.2. Criptografía Simétrica y Asimétrica  10.3.3. RSA y criptografía de curvas elípticas  10.3.4. Criptografía post-cuántica

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Análisis numérico


El análisis numérico es una rama de las matemáticas que se enfoca en desarrollar y analizar algoritmos para obtener soluciones numéricas a problemas matemáticos. Estos problemas pueden variar desde ecuaciones simples hasta modelos complejos que a menudo se encuentran en la ciencia y la ingeniería.

Introducción

El objetivo principal es desarrollar métodos que sean eficientes en cálculos y proporcionen un alto nivel de precisión. El análisis numérico encuentra relevancia en áreas donde las soluciones analíticas son difíciles o imposibles de obtener.

Considere el problema de encontrar las raíces de una ecuación polinomial:

f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0

Mientras que algunos polinomios pueden factorizarse fácilmente, muchos requieren métodos numéricos para encontrar soluciones aproximadas.

Conceptos básicos

El análisis numérico implica varios cálculos y estimaciones. Discutamos los conceptos principales con ejemplos simples.

Errores en el análisis numérico

Ningún cálculo numérico puede ser completamente preciso, y los errores son una parte inherente del análisis numérico. Principalmente hay dos tipos de errores:

  • Error de truncamiento: Este tipo de error surge cuando un proceso infinito es aproximado por un proceso finito.
  • Errores de redondeo: Estos errores son causados por la precisión finita utilizada por las computadoras para representar números.

Por ejemplo, la expansión en serie para la función exponencial ( e^x ) es:

e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...

Aproximar esta serie deteniéndola en un número finito de términos lleva a errores de reducción.

Convergencia

Convergencia se refiere a si una secuencia de aproximaciones se acerca a la solución exacta. Un algoritmo numérico se dice que converge cuando el resultado se aproxima al valor verdadero a medida que el número de iteraciones aumenta.

Considere un procedimiento iterativo simple para aproximar la raíz cuadrada de un número ( a ), conocido como el método babilónico:

x_0 = a/2;   x_{n+1} = 0.5 * (x_n + a/x_n)

Si aplica este método, encontrará que la secuencia converge a ( sqrt{a} ).

Métodos numéricos

Diferentes métodos numéricos ayudan a resolver diferentes problemas matemáticos. Discutiremos algunos métodos comunes.

Métodos para encontrar la raíz

Encontrar las raíces de ecuaciones es un problema popular en análisis numérico. La raíz de la ecuación ( f(x) = 0 ) es un valor ( x ) tal que ( f(x) = 0 ). Los métodos comunes incluyen:

Método de bisección

El método de bisección es un método simple y robusto para encontrar las raíces de una función. Funciona bisecando repetidamente un intervalo y luego seleccionando un subintervalo en el cual debe existir una raíz.

Suponga que desea encontrar la raíz de una función ( f(x) ). Los pasos son los siguientes:

  1. Elija dos puntos iniciales ( a ) y ( b ) tales que ( f(a) ) y ( f(b) ) tengan signos opuestos.
  2. Calcule el punto medio ( c = (a + b) / 2 ).
  3. Si ( f(c) = 0 ), ( c ) es el origen. De lo contrario, decida el lado a mantener: si ( f(a) ) y ( f(c) ) tienen signos opuestos, sustituya ( b = c ); de lo contrario, sustituya ( a = c ).
  4. Continúe el proceso hasta que ( |a - b| ) sea menor que la tolerancia deseada.

Este método se representa visualmente de la siguiente manera:

(a, f(a)) (b, f(b)) (c, f(c))

Método de Newton

El método de Newton, o método de Newton-Raphson, es un método iterativo de búsqueda de raíces eficiente, especialmente cuando se comienza con una buena aproximación inicial. Utiliza la derivada de la función para estimar las raíces.

Dada una función ( f(x) ) con una aproximación inicial ( x_0 ), el método utiliza la fórmula:

x_{n+1} = x_n - f(x_n)/f'(x_n)

Por ejemplo, apliquemos el método de Newton para encontrar la raíz de ( f(x) = x^2 - 612 ).

  1. Aproximación inicial ( x_0 = 10 ).
  2. Calcule ( x_1 = x_0 - (x_0^2 - 612) / (2 * x_0) ).
  3. Repita hasta alcanzar la precisión deseada.

Este método converge rápidamente, lo que lo hace adecuado para problemas donde la derivada es fácil de evaluar.

Integración numérica

La integración numérica es importante cuando la antiderivada de una función no es fácil de encontrar o no existe en términos de funciones elementales.

Regla del trapecio

La regla del trapecio aproxima la integral de una función ( f(x) ) sobre el intervalo ([a, b]) dividiendo el área bajo la curva en trapecios.

La fórmula para la regla del trapecio es:

[int_a^b f(x) ,dx approx frac{b-a}{2}(f(a) + f(b))]

Este método puede extenderse a múltiples subintervalos para aumentar la precisión.

A B

Regla de Simpson

La regla de Simpson es otra técnica poderosa que aproxima la integral de ( f(x) ) utilizando una parábola para aproximar la curva.

La fórmula para la regla de Simpson es:

[int_a^b f(x) ,dx approx frac{b-a}{6}(f(a) + 4f((a+b)/2) + f(b))]

La regla de Simpson generalmente ofrece una mejor precisión que la regla del trapecio en intervalos iguales.

Álgebra lineal numérica

El álgebra lineal numérica se centra en algoritmos para realizar varias operaciones en matrices y resolver problemas de álgebra lineal.

Resolución de sistemas de ecuaciones lineales

Muchos problemas científicos pueden modelarse como sistemas de ecuaciones lineales. Tales sistemas a menudo se representan como:

Ax = b

donde ( A ) es una matriz, ( x ) es un vector de variables y ( b ) es un vector de constantes. Se utilizan varios métodos para resolver estos sistemas.

Eliminación gaussiana

La eliminación gaussiana reduce sistemáticamente el sistema a la forma triangular superior, lo que facilita la resolución mediante sustitución hacia atrás.

  • Comience con el sistema de ecuaciones representado por una matriz.
  • Utilice operaciones de fila para convertir la matriz en forma escalonada.
  • Realice sustitución hacia atrás para encontrar soluciones para las variables.

Descomposición LU

La descomposición LU descompone la matriz ( A ) en un producto ( LU ), donde ( L ) es una matriz triangular inferior y ( U ) es una matriz triangular superior. Esto facilita la resolución del sistema mediante sustitución.

Aplicaciones en el mundo real

El análisis numérico es importante en una variedad de campos. Considere la modelización climática, donde las ecuaciones diferenciales complejas no se pueden resolver analíticamente. Los métodos numéricos aproximan las soluciones, ayudando a predecir patrones climáticos. De manera similar, en la ingeniería estructural, las técnicas numéricas simulan tensiones y deformaciones para diseñar edificios más seguros.

Conclusión

El análisis numérico proporciona herramientas poderosas para resolver problemas matemáticos numéricamente. Ya sea tratando con ecuaciones algebraicas, ecuaciones diferenciales o problemas de optimización, las técnicas discutidas son vitales. El dominio del análisis numérico combina la intuición matemática con la eficiencia computacional, haciéndolo indispensable en aplicaciones científicas y de ingeniería.


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